高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（二）学案 苏教版必修4.doc

1.2.1任意角的三角函数(二)学习目标1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题知识链接什么叫做单位圆？答以坐标原点为圆心，以一个单位长度为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆预习导引1任意角的三角函数的定义域正弦函数ysin x的定义域是r；余弦函数ycos x的定义域是r；正切函数ytan x的定义域是x|xr且xk，kz2有向线段(1)定义：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段若有向线段ab在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段ab与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量(2)方向：在坐标系中，规定：有向线段的方向与坐标系的方向相同时，数量为正；反向时，数量为负3三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点a，与角的终边交于p点过点p作x轴的垂线pm，垂足为m，过a作单位圆的切线交op的延长线(或反向延长线)于t点单位圆中的有向线段mp、om、at分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线记作：sin mp，cos om，tan at.要点一利用三角函数线比较大小例1分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小解如图，sinmp，cosom，tanat，sinmp，cosom，tanat.显然|mp|mp|，符号皆正，sinsin；|om|cos；|at|at|，符号皆负，tantan.规律方法利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：角的位置要“对号入座”；比较三角函数线的长度；确定有向线段的正负跟踪演练1sin ，cos ，tan 从小到大的顺序是_答案cos sin tan 解析分别在单位圆中作出它们的三角函数线，由图可知：cos 0，sin 0.|mp|at|，sin tan .故cos sin tan .要点二利用三角函数线解不等式例2利用单位圆中的三角函数线，分别确定角的取值范围(1)sin ；(2)cos .解(1)图中阴影部分就是满足条件的角的范围，即.(2)图中阴影部分就是满足条件的角的范围，即|2k2k或2k2k，kz规律方法用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即02间满足条件的角的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间跟踪演练2已知点p(sin cos ，tan )在第一象限，若0,2)，求的取值范围解点p在第一象限内，结合单位圆(如图所示)中三角函数线及02，可知或0，sin2x，sin x.如图所示x (kz)，即x (nz)1.如图在单位圆中角的正弦线、正切线、余弦线依次是_答案mp、at、om2角(0”或“(2)(3)1.三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便2三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角的三角函数线的画法即先找到p、m、t点，再画出mp、om、at.注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒3三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解容易了一、基础达标1有三个命题：和的正弦线相等；和的正切线相等；和的余弦线相等其中正确说法有_答案解析和的正弦线关于y轴对称，大小相等；和两角的正切线关于原点对称，大小相等；和的余弦线互为相反数故和正确2函数ytan的定义域为_答案解析xk，kz，xk，kz.3设asin(1)，bcos(1)，ctan(1)，则a、b、c按从小到大的顺序排列是_答案ca0，amp0，catat.故cab.4cos 1，sin 1，tan 1的大小关系是_答案cos 1sin 1tan 1解析分析1弧度角的范围，作出单位圆及三角函数线，如图所示，设1弧度角的终边与单位圆交于点p(x，y)，x轴正半轴与单位圆交于点a(1,0)，过p作pmox，垂足为m，过a作单位圆的切线与op的延长线交于点t，则有ommpat，即cos 1sin 1tan 1.5sin 2cos 3tan 4的符号是_答案负号解析20，3，cos 30，40.sin 2cos 3tan 40.6集合a0,2，b|sin 且cos x；(2)tan x1.解(1)由图(1)知：当sin x且cos x时，角x满足的集合：.(2)由图(2)知：当tan x1时，角x满足的集合为.即.二、能力提升8如果，那么下列不等式成立的是_cos sin tan ；tan sin cos ；tan ()sin ()cos ()；cos ()sin ()0的解集是_答案解析不等式的解集如图所示(阴影部分)，即.10把sin ，sin ，cos ，tan 由小到大排列为_答案cos sin sin 0，sin m2p20，tan at0，cos om30.而0m1p1m2p2at，0sin sin tan .而cos 0，cos sin sin tan .11求函数ylogsin x(2cos x1)的定义域解由题意得，要使函数有意义，则须如图所示，阴影部分(不含边界与y轴)即为所求所以所求函数的定义域为x|2kx2k，或2kx2k，kz12利用三角函数线，写出满足下列条件的角的集合：(1)sin ；(2)cos .解(1)由图知：当sin 时，角满足的集合为.(2)由图知：当cos 时，角满足的集合为.三、探究与创新13当时，求证：sin tan .证明如图所示，在直