高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题四 数列 1.4.1 等差数列、等比数列课件 理 新人教版.ppt

第一讲等差数列 等比数列 知识回顾 1 等差数列 1 通项公式 an am 2 等差中项公式 2an n n n 2 3 前n项和公式 sn a1 n 1 d n m d an 1 an 1 4 性质 n m l k p均为正整数 若m n l k 则am an 反之不一定成立 特别地 当m n 2p时 有am an 若 an bn 是等差数列 则 kan tbn k t是非零常数 是等差数列 al ak 2ap 等差数列的 依次每m项的和 即sm s2m sm s3m s2m 仍是等差数列 2 等比数列 1 等比数列的通项公式 an 2 等比中项公式 an2 n n n 2 3 等比数列的前n项和公式 sn q 1 q 1 a1qn 1 amqn m an 1 an 1 na1 4 性质 n m l k p均为正整数 若m n l k 则am an 反之不一定成立 特别地 当m n 2p时 有am an 当n为偶数时 q 公比 sm s2m sm s3m s2m sm 0 成等比数列 al ak ap2 易错提醒 1 忽略条件致误 应用公式an sn sn 1时忽略其成立的条件n 2 n n 2 不能准确掌握数列的单调性致误 等差数列的单调性只取决于公差d的正负 等比数列的单调性既要考虑公比q 又要考虑首项 3 忽略对公比的讨论致误 求等比数列的前n项和时 一定要先讨论公比q是否为1 然后选用相应的公式求解 4 注意隐含条件 利用二次函数求an或sn的最值时 易忽略条件n n 考题回访 1 2016 全国卷 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 a 100b 99c 98d 97 解析 选c 方法一 由题意可知 解得a1 1 d 1 所以a100 1 99 1 98 方法二 由等差数列性质可知 s9 9a5 27 故a5 3 而a10 8 因此公差d 1 所以a100 a10 90d 98 2 2015 全国卷 设sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 a3 a5 3 则s5 a 5b 7c 9d 11 解析 选a a1 a3 a5 3a3 3 a3 1 s5 5a3 5 3 2014 全国卷 等差数列 an 的公差为2 若a2 a4 a8成等比数列 则 an 的前n项和sn a n n 1 b n n 1 c d 解析 选a 因为d 2 a2 a4 a8成等比 所以a42 a2a8 即 a2 2d 2 a2 a2 6d 解得a2 4 a1 2 所以利用等差数列的求和公式可求得sn n n 1 4 2016 江苏高考 已知 an 是等差数列 sn是其前n项和 若a1 a22 3 s5 10 则a9的值是 解析 设等差数列的公差为d 则由s5 10得a3 2 因为a1 a22 3 所以 2 2d 2 d 2 3 整理解得d 3 所以a9 a3 6d 2 18 20 答案 20 5 2015 全国卷 数列 an 中 a1 2 an 1 2an sn为 an 的前n项和 若sn 126 则n 解析 因为an 1 2an 所以数列 an 是首项a1 2 公比q 2的等比数列 由sn 126 可得n 6 答案 6 热点考向一等差 比 数列的基本运算命题解读 主要考查利用等差 等比数列的通项公式 前n项和公式 在这两种数列中的五个基本量的 知三求二 运算以及求最值 以选择题 填空题为主 典例1 1 2015 全国卷 已知 an 是公差为1的等差数列 sn为 an 的前n项和 若s8 4s4 则a10 a b c 10d 12 2 2016 全国卷 设等比数列 an 满足a1 a3 10 a2 a4 5 则a1a2 an的最大值为 解题导引 1 依据等差数列的通项公式及前n项和公式求解 2 先利用等比数列的通项公式构建首项a1与公式q的方程组 求出a1 q 得到 an 的通项公式 再将a1a2 an表示为n的函数 进而求最大值 规范解答 1 选b 设等差数列的首项为a1 则s8 8a1 8a1 28 s4 4a1 4a1 6 因为s8 4s4 即8a1 28 16a1 24 所以a1 则a10 a1 10 1 d 2 由于 an 是等比数列 设an a1qn 1 其中a1是首项 q是公比 所以a1 a2 an 当n 3或4时 取到最小值 6 此时取到最大值26 所以a1 a2 an的最大值为64 答案 64 规律方法 等差 比 数列基本运算的解题思路 1 设基本量a1和公差d 公比q 2 列 解方程组 把条件转化为关于a1和d q 的方程 组 然后求解 注意整体计算 以减少运算量 题组过关 1 2016 吕梁一模 已知sn是公差不为0的等差数列 an 的前n项和 且s1 s2 s4成等比数列 则等于 a 4b 6c 8d 10 解析 选c 设公差为d 则s1 a1 s2 2a1 d s4 4a1 6d 因为s1 s2 s4成等比数列 所以s22 s1s4 即 2a1 d 2 a1 4a1 6d 解得d 0 舍去 或d 2a1 所以 2 2016 邯郸一模 设 an 是首项为a1 公差为 1的等差数列 sn为其前n项和 若s1 s2 s4成等比数列 则a1 a 2b 2c d 解析 选d 因为s1 s2 s4成等比数列 所以s22 s1s4 即 a1 a1 1 2 a1 解得a1 3 已知数列 an 中 a1 1 an an 1 n 2 则数列 an 的前9项和等于 解析 当n 2时 an an 1 且a2 a1 所以 an 是首项为1 公差是的等差数列 所以s9 9 1 9 18 27 答案 27 加固训练 1 等差数列 an 的前n项和sn 若a1 2 s3 12 则a6 a 8b 10c 12d 14 解析 选c 由题意得 解得所以a6 a1 5d 12 2 2016 重庆一模 在等差数列 an 中 a1 2 a3 a5 10 则a7 a 5b 8c 10d 14 解析 选b 设公差为d 因为a1 2 所以a3 a5 2 2d 2 4d 4 6d 10 解得d 1 所以a7 a1 6d 2 6 8 3 2016 唐山二模 设x y z是实数 若9x 12y 15z成等比数列 且成等差数列 则 解析 由题意知解得从而答案 热点考向二等差 比 数列的性质命题解读 主要考查利用性质求解基本量及前n项和的最值问题 以选择题 填空题为主 典例2 1 2016 长沙一模 等差数列 an 中 若a4 a6 a8 a10 a12 120 则s15的值为 a 180b 240c 360d 720 2 2016 开封一模 设等比数列 an 的前n项和为sn 若sm 1 5 sm 11 sm 1 21 则m a 3b 4c 5d 6 解题导引 1 利用等差数列的性质及前n项和公式求解 2 根据等比数列的通项公式和前n项和公式 建立方程组即可解得m的值 规范解答 1 选c 因为数列 an 是等差数列 所以a4 a6 a8 a10 a12 5a8 又因为a4 a6 a8 a10 a12 120 所以5a8 120 s15 15a8 3 120 360 2 选c 在等比数列中 因为sm 1 5 sm 11 sm 1 21 所以am sm sm 1 11 5 16 am 1 sm 1 sm 21 11 32 则公比q 2 因为sm 11 所以 11 又am 1 a1 2 m 32 两式联立解得m 5 a1 1 规律方法 等差 等比数列性质问题的求解策略 1 解题关键 抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系 从这些特点入手选择恰当的性质进行求解 2 运用函数性质 数列是一种特殊的函数 具有函数的一些性质 如单调性 周期性等 可利用函数的性质解题 题组过关 1 2016 太原一模 在等差数列 an 中 有3 a3 a5 2 a7 a10 a13 48 则此数列的前13项和为 a 24b 39c 52d 104 解析 选c 因为3 a3 a5 2 a7 a10 a13 48 利用等差数列的性质可得6a4 6a10 48 所以a1 a13 a4 a10 8 所以s13 52 2 设等差数列的公差为d 若数列 为递减数列 则 a d 0b d0d a1d 0 解析 选d 由于数列 为递减数列 得再由指数函数性质得a1an a1an 1 由等差数列的公差为d知 an an 1 d 所以a1an a1an 1 a1an a1an 1 0 所以a1 an an 1 0 即a1d 0 3 等比数列 an 的各项均为正数 且a1a5 4 则log2a1 log2a2 log2a3 log2a4 log2a5 解析 方法一 各项均为正数的等比数列 an 中 a1a5 a2a4 a32 4 则a1a2a3a4a5 25 log2a1 log2a2 log2a3 log2a4 log2a5 log2a1a2a3a4a5 log225 5 答案 5 方法二 各项均为正数的等比数列 an 中 a1a5 a2a4 a32 4 设log2a1 log2a2 log2a3 log2a4 log2a5 s 则log2a5 log2a4 log2a3 log2a2 log2a1 s 2s 5log2 a1a5 10 s 5 答案 5 加固训练 1 等比数列 an 的各项均为正数 且a5a6 a4a7 18 则log3a1 log3a2 log3a10 a 12b 10c 8d 2 log35 解析 选b 由题意可知a5a6 a4a7 又a5a6 a4a7 18得a5a6 a4a7 9 而log3a1 log3a2 log3a10 log3 a1 a2 a10 log3 a5a6 5 log3 9 5 log3310 10 母题变式 1 若把本题中的条件 a5a6 a4a7 18 变为 a5a6 a4a7 a3a8 18 其他条件不变 求log3a1 log3a2 log3a10的值 解析 由题意可知a5a6 a4a7 a3a8 又a5a6 a4a7 a3a8 18得a5a6 a4a7 a3a8 6 而log3a1 log3a2 log3a10 log3 a1 a2 a10 log3 a5a6 5 log3 6 5 5log36 5log3 2 3 5log32 5 2 若把本题中 则log3a1 log3a2 log3a10 改为 求log3a1 log3a4 log3a7 log3a10的值 解析 由题意可知a5a6 a4a7 又a5a6 a4a7 18得a5a6 a4a7 9 而log3a1 log3a4 log3a7 log3a10 log3 a1 a4 a7 a10 log3 a4a7 2 log3 9 2 2log39 4 2 2016 银川二模 等差数列 an 中的a1 a4031是函数f x x3 4x2 6x 1的极值点 则log2a2016 a 2b 3c 4d 5 解析 选a 因为f x x2 8x 6 所以a1 a4031 8 即2a2016 8 所以a2016 4 所以log2a2016 log24 2 3 2016 烟台一模 已知数列 an 是等比数列 且每一项都是正数 若a1 a49是2x2 7x 6 0的两个根 则a1 a2 a25 a48 a49的值为 解析 选b 因为 an 是等比数列 且a1 a49是方程2x2 7x 6 0的两根 所以a1 a49 a25 2 3 而an 0 所以a25 所以a1 a2 a25 a48 a49 a25 5 9 4 2016 衡阳二模 设等差数列 an 的前n项和为sn 若 a20150 且s20170c a2015 0 且a20170 解析 选a 因为 a20150 a1 a20170 s2017 0 5 若等比数列 an 的各项均为正数 且a10a11 a9a12 2e5 则lna1 lna2 lna20 解析 方法一 各项均为正数的等比数列 an 中 a10a11 a9a12 a1a20 则a1a20 e5 lna1 lna2 lna20 ln a1a20 10 lne50 50 答案 50 方法二 各项均为正数的等比数列 an 中 a10a11 a9a12 a1a20 则a1a20 e5 设lna1 lna2 lna20 s 则lna20 lna19 lna1 s 2s 20ln a1a20 100 s 50 答案 50 热点考向三等差 比 数列的判断与证明命题解读 主要考查等差 比 数列的定义 三种题型都有可能出现 如果出现在解答题的第一问 一般是为求通项作准备 命题角度一等差数列的判断与证明 典例3 2014 全国卷 已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 an 0 anan 1 sn 1 其中 为常数 1 证明 an 2 an 2 是否存在 使得 an 为等差数列 并说明理由 题目拆解 解答本题第 2 问 可拆解成三个小题 假设存在 求 的值 求a2n 1 a2n的通项公式 求an的通项公式 判断an 1 an 常数 规范解答 1 由题设 anan 1 sn 1 得an 1an 2 sn 1 1 两式相减得an 1 an 2 an an 1 因为an 1 0 所以an 2 an 2 由题设a1 1 a1a2 s1 1 可得a2 1 由 1 知 a3 1 若 an 为等差数列 则2a2 a1 a3 解得 4 故an 2 an 4 由此可得 a2n 1 是首项为1 公差为4的等差数列 a2n 1 4n 3 a2n 是首项为3 公差为4的等差数列 a2n 4n 1 所以an 2n 1 an 1 an 2 因此存在 4 使得数列 an 为等差数列 易错警示 解答本题易出现以下两种错误 1 忽略an 1 0 由an 1 an 2 an an 1直接得出an 2 an 2 由 a2n 1 是等差数列 a2n 是等差数列 直接得出数列 an 为等差数列 母题变式 1 若把本例题的条件a1 1变为a1 2 求解问题 2 解析 由题设 a1 2 a1a2 s1 1 可得a2 由 1 知a3 a1 则a3 2 若 an 为等差数列 则2a2 a1 a3 即2 1 2 2 解得 5 此时a1 2 a2 a3 7 所以等差数列 sn 1 显然anan 1与 sn 1恒相等 所以存在 5 使得 an 为等差数列 2 在本例题 2 中是否存在 使得 an 为等比数列 并说明理由 解析 由题设 a1 1 a1a2 s1 1 可得a2 1 由 1 知 a3 1 若 an 为等比数列 则a22 a1a3 即 1 2 1 解得 0或3 当 0时 由anan 1 sn 1 得 anan 1 1 又a1 1 所以a2 1 a3 1 an 1 n 1 所以数列 an 是首项为1 公比为 1的等比数列 当 3时 由a1 1 a2 1 3 1 2 a3 1 4 显然an 2n 1 此时anan 1 2n 12n 22n 1 sn 1 1 3 2n 4 显然anan 1与 sn 1不是恒相等 与已知条件矛盾 所以 3 综上可知 0 命题角度二等比数列的判断与证明 典例4 2016 武汉一模 若数列 an 的前n项和为sn an 1 a 0 则这个数列的特征是 a 等比数列b 等差数列c 等比或等差数列d 非等差数列 解题导引 先求出通项公式 再根据通项公式求解 规范解答 选c 因为sn an 1 所以a1 s1 a 1 当n 2时 an sn sn 1 an an 1 a 1 an 1 而a1 a 1适合上式 所以an a 1 an 1 当a 1时 数列各项都为0 则数列是等差数列 当a 1 0时 数列 an 是以a为公比的等比数列 规律方法 判断和证明数列是等差 比 数列的方法 1 定义法 对于n 1的任意自然数 验证an 1 an为与正整数n无关的一常数 2 中项公式法 若2an an 1 an 1 n n n 2 则 an 为等差数列 若an2 an 1 an 1 n n n 2 则 an 为等比数列 题组过关 1 2016 郑州一模 若正数a b c成公差不为零的等差数列 则 a lga lgb lgc成等差数列b lga lgb lgc成等比数列c 2a 2b 2c成等差数列d 2a 2b 2c成等比数列 解析 选d 因为正数a b c成公差不为零的等差数列 设公差为d 则b a c b d 则2b 2a 2b a 2d 2c 2b 2c b 2d 所以2b a 2c b 所以2a 2b 2c成等比数列 2 2016 合肥二模 已知数列 an 满足a1 1 an 1 2an 1 设bn 求证 数列 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 3 设cn an 1 2an 求数列 cn 的前n项和sn 解析 1 an 1 2 an 所以bn 1 2bn 所以数列 bn 是公比为2的等比数列 2 由 1 知 bn 是公比为2的等比数列 又b1 a1 1 所以bn b1 2n 1 2n 1 所以 2n 1 所以an n2 2n 1 3 cn n 1 2