高中数学 第三章 空间向量与立体几何测评B 新人教A版选修21.doc

【优化设计】2015-2016学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何测评b 新人教a版选修2-1 (高考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014广东高考)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60夹角的是()a.(-1,1,0)b.(1,-1,0)c.(0,-1,1)d.(-1,0,1)解析:对于a中的向量a1=(-1,1,0),cos=-,a1与a的夹角为120,不合题意;对于b中的向量a2=(1,-1,0),cos=,a2与a的夹角为60,符合题意;对于c中的向量a3=(0,-1,1),cos=-,a3与a的夹角为120,不合题意;对于d中的向量a4=(-1,0,1),cos=-1,a4与a的夹角为180,不合题意,故选b.答案:b2.(2014广东高考)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()a.(-2,1)b.(2,-1)c.(2,0)d.(4,3)解析:由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故选b.答案:b3.(2015吉林模拟)已知向量m,n分别是直线l和平面的方向向量、法向量,若cos=-,则l与所成的角为()a.30b.60c.120d.150解析:设l与所成的角为,则sin =|cos|=,故=30.答案:a4.(2014云南昆明模拟)如图,正方形abcd与矩形acef所在平面互相垂直,ab=,af=1,m在ef上,且am平面bde.则m点的坐标为()a.(1,1,1)b.c.d.解析:设ac与bd相交于o点,连接oe,由am平面bde,且am平面acef,平面acef平面bde=oe,ameo.又o是正方形abcd对角线交点,m为线段ef的中点.在空间坐标系中,e(0,0,1),f(,1),由中点坐标公式,知点m的坐标.答案:c5.(2012陕西高考)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱abc-a1b1c1,ca=cc1=2cb,则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为()a.b.c.d.解析:不妨设cb=1,则b(0,0,1),a(2,0,0),c1(0,2,0),b1(0,2,1).=(0,2,-1),=(-2,2,1).cos=,故选a.答案:a6.(2014福建泉州二模)设正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为2,则点d1到平面a1bd的距离是()a.b.c.d.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则d1(0,0,2),a1(2,0,2),d(0,0,0),b(2,2,0),=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0),设平面a1bd的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则n=(1,-1,-1),点d1到平面a1bd的距离是d=.答案:d7.(2015广西桂林模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c三向量共面,则实数等于()a.b.c.d.解析:不妨设c=xa+yb,则得解得x=,y=,从而求得=.答案:d8.(2015山西太原模拟)三棱锥a-bcd中,ab=ac=ad=2,bad=90,bac=60,则等于()a.-2b.2c.-2d.2解析:()=22cos 90-22cos 60=-2.答案:a9.(2015山东潍坊模拟)如图,甲站在水库底面上的点d处,乙站在水坝斜面上的点c处,已知库底与水坝所成的二面角为120,测得从d,c到库底与水坝的交线的距离分别为da=30米,cb=40米,又已知ab=20米,则甲、乙两人相距()a.50米b.10米c.60米d.70米解析:由于,所以|2=()2=|2+|2+|2+2()=302+(20)2+402+2(0+0+3040cos 60)=4 900,于是|=70,故甲、乙两人相距70米.答案:d10.(2015深圳模拟)动点e在正方体abcd-a1b1c1d1的棱bc上,f是cd的中点,则二面角c1-ef-c的余弦值的取值范围是()a.b.c.d.解析:建立如图所示的空间直角坐标系.设棱长为1,|ce|=x(0x1),则点e(x,1,0),f,c(0,1,0),c1(0,1,1),=(x,0,-1),.设平面c1ef的法向量n=(1,y,z),则得n=(1,-2x,x).而平面cef的法向量为m=(0,0,1),故cos=.答案:a第卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.(2015湖北武汉模拟)已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面abc的单位法向量是.解析:设平面abc的法向量n=(x,y,z),则令z=1,得所以n=,故平面abc的单位法向量为=.答案:12.(2013上海高考)在正方体abcd-a1b1c1d1中,异面直线a1b与b1c所成角的大小为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则a1(1,0,1),b(1,1,0),c(0,1,0),b1(1,1,1),故=(0,1,-1),=(-1,0,-1),cos=,即a1b与b1c夹角为.答案:13.(2015辽宁大连模拟)设点c(2a+1,a+1,2)在点p(2,0,0),a(1,-3,2),b(8,-1,4)确定的平面上,则a=.解析:=(-1,-3,2),=(6,-1,4).根据共面向量定理,设=x+y(x,yr),则(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4)=(-x+6y,-3x-y,2x+4y),解得x=-7,y=4,a=16.答案:1614.(2013云南玉溪一中月考)设动点p在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1的对角线bd1上,记=.当apc为钝角时,则的取值范围是.解析:由已知建立如图所示的空间直角坐标系,则a(1,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0),d1(0,0,1),则=(1,1,-1),=(,-),=(1,0,-1),=(0,1,-1).故=(1-,-,-1),=(-,-,)+(0,1,-1)=(-,1-,-1).显然apc不是平角,由apc为钝角,得0,即-(1-)-(1-)+(-1)20,故(-1)(3-1)0,解得1.答案:15.(2014四川资阳三模)abc和dbc所在的平面相互垂直,且ab=bc=bd,cba=dbc=120,则ad和平面bcd所成的角为.解析:设ab=1,作aobc于点o,连接do,则aobc,odbc.又平面abc平面dbc,ao平面dbc,得aodo,故以点o为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图.得下列坐标:o(0,0,0),d,b,c,a.设n1=(x,y,z),为平面bcd的一个法向量,则故可设n1=(0,0,1).则|cos|=.直线ad与平面bcd所成角的大小为90-45=45.答案:45三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)(2015天津高考)如图,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,侧棱a1a底面abcd,abac,ab=1,ac=aa1=2,ad=cd=,且点m和n分别为b1c和d1d的中点.(1)求证:mn平面abcd;(2)求二面角d1-ac-b1的正弦值;(3)设e为棱a1b1上的点,若直线ne和平面abcd所成角的正弦值为,求线段a1e的长.解:如图,以a为原点建立空间直角坐标系,依题意可得a(0,0,0),b(0,1,0),c(2,0,0),d(1,-2,0),a1(0,0,2),b1(0,1,2),c1(2,0,2),d1(1,-2,2).又因为m,n分别为b1c和d1d的中点,得m,n(1,-2,1).(1)证明:依题意,可得n=(0,0,1)为平面abcd的一个法向量.由此可得n=0,又因为直线mn平面abcd,所以mn平面abcd.(2)=(1,-2,2),=(2,0,0).设n1=(x1,y1,z1)为平面acd1的法向量,则不妨设z1=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平面acb1的法向量,则又=(0,1,2),得不妨设z2=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos=-,于是sin=.所以,二面角d1-ac-b1的正弦值为.(3)依题意,可设=,其中0,1,则e(0,2),从而=(-1,+2,1).又n=(0,0,1)为平面abcd的一个法向量,由已知,得cos=,整理得2+4-3=0,又因为0,1,解得=-2.所以,线段a1e的长为-2.17.(6分)(2015山东高考)如图,在三棱台def-abc中,ab=2de,g,h分别为ac,bc的中点.(1)求证:bd平面fgh;(2)若cf平面abc,abbc,cf=de,bac=45,求平面fgh与平面acfd所成的角(锐角)的大小.(1)证法一:连接dg,cd,设cdgf=o,连接oh.在三棱台def-abc中,ab=2de,g为ac的中点,可得dfgc,df=gc,所以四边形dfcg为平行四边形.则o为cd的中点,又h为bc的中点,所以ohbd,又oh平面fgh,bd平面fgh,所以bd平面fgh.证法二:在三棱台def-abc中,由bc=2ef,h为bc的中点,可得bhef,bh=ef,所以四边形bhfe为平行四边形.可得behf.在abc中,g为ac的中点,h为bc的中点,所以ghab.又ghhf=h,所以平面fgh平面abed.因为bd平面abed,所以bd平面fgh.(2)解法一:设ab=2,则cf=1.在三棱台def-abc中,g为ac的中点,由df=ac=gc,可得四边形dgcf为平行四边形,因此dgfc.又fc平面abc,所以dg平面abc.在abc中,由abbc,bac=45,g是ac中点,所以ab=bc,gbgc,因此gb,gc,gd两两垂直.以g为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系g-xyz.所以g(0,0,0),b(,0,0),c(0,0),d(0,0,1).可得h,f(0,1),故=(0,1).设n=(x,y,z)是平面fgh的一个法向量,则由可得可得平面fgh的一个法向量n=(1,-1,).因为是平面acfd的一个法向量,=(,0,0),所以cos=.所以平面fgh与平面acfd所成角(锐角)的大小为60.解法二:作hmac于点m,作mngf于点n,连接nh.由fc平面abc,得hmfc,又fcac=c,所以hm平面acfd.因此gfnh,所以mnh即为所求的角.在bgc中,mhbg,mh=bg=,由gnmgcf,可得,从而mn=.由hm平面acfd,mn平面acfd,得hmmn,因此tanmnh=,所以mnh=60.所以平面fgh与平面acfd所成角(锐角)的大小为60.18.(6分)(2015浙江高考)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,bac=90,ab=ac=2,a1a=4,a1在底面abc的射影为bc的中点,d是b1c1的中点.(1)证明:a1d平面a1bc;(2)求二面角a1-bd-b1的平面角的余弦值.(1)证明:设e为bc的中点,由题意得a1e平面abc,所以a1eae.因为ab=ac,所以aebc.故ae平面a1bc.由d,e分别为b1c1,bc的中点,得deb1b且de=b1b,从而dea1a且de=a1a,所以a1aed为平行四边形.故a1dae.又因为ae平面a1bc,所以a1d平面a1bc.(2)解:方法一:作a1fbd且a1fbd=f,连接b1f.由ae=eb=,a1ea=a1eb=90,得a1b=a1a=4.由a1d=b1d,a1b=b1b,得a1db与b1db全等.由a1fbd,得b1fbd,因此a1fb1为二面角a1-bd-b1的平面角.由a1d=,a1b=4,da1b=90,得bd=3,a1f=b1f=,由余弦定理得cosa1fb1=-.方法二:以cb的中点e为原点,分别以射线ea,eb为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系e-xyz,如图所示.由题意知各点坐标如下:a1(0,0,),b(0,0),d(-,0,),b1(-).因此=(0,-),=(-,-),=(0,0).设平面a1bd的法向量为m=(x1,y1,z1),平面b1bd的法向量为n=(x2,y2,z2).由可取m=(0,1).由可取n=(,0,1).于是|cos|=.由题意可知,所求二面角的平面角是钝角,故二面角a1-bd-b1的平面角的余弦值为-.19.(7分)(2015北京高考)如图,在四棱锥a-efcb中,aef为等边三角形,平面aef平面efcb,efbc,bc=4,ef=2a,ebc=fcb=60,o为ef的中点.(1)求证:aobe;(2)求二面角f-ae-b的余弦值;(3)若be平面aoc,求a的值.解:(1)因为aef是等边三角形,o为ef的中点,所以aoef.又因为平面aef平面efcb,ao平面aef,所以ao平面efcb,所以aobe.(2)取bc中点g,连接og.由题设知efcb是等腰梯形,所以ogef.由(1)知ao平面e