【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第13章 空间向量与立体几何13．2空间向量在立体几何中的应用教学案 苏教版.doc

13.2空间向量在立体几何中的应用1理解直线的方向向量与平面的法向量2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用1直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：直线l上的向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量(2)平面的法向量：如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n垂直于平面，记作n.此时，我们把向量n叫做平面的法向量注意：(1)一条直线的方向向量与一个平面的法向量都有无穷多个，它们都是共线向量(2)直线的方向向量与平面的法向量是用来刻画直线和平面的“方向”的在判断和证明线、面关系及求空间角中有着重要作用因此要深刻理解这两个概念2利用空间向量判定线面关系的方法我们通常利用直线的方向向量和平面的法向量判定线面关系设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面1，2的法向量分别为n1，n2，则有下表：平行垂直l1与l2_l1与1_1与2_3.两条异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点o，作直线aa，bb，我们把直线a与b所成的_叫做异面直线a，b所成的角(2)范围：两异面直线所成角的取值范围是_(3)向量求法：设两异面直线a，b所成的角为，且其方向向量为a，b，其夹角为，则有cos |cos |.4直线与平面所成的角(1)定义平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的_，叫做这条直线与这个平面所成的角一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是_；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是_的角(2)范围：直线和平面所成角的取值范围是_(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为，a与n的夹角为，则有sin |cos |.5二面角(1)二面角的取值范围为0，(2)二面角的向量求法：若ab，cd分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角(如图甲所示)设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图乙、丙所示)1直线l过点a(1，1,2)和b(x，y,0)，l的方向向量为a(1，2,3)，则xy_.2已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面abc的单位法向量是_3p是平行四边形abcd所在平面外一点，(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)，对于结论：apab；apad；是平面abcd的法向量；b.其中正确的是_4如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是cd，cc1的中点，则异面直线a1m与dn所成的角的大小是_5已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为_1利用空间向量处理平行问题有哪些常用方法？提示：(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示(3)面面平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题2利用空间向量处理垂直问题有哪些常用方法？提示：(1)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，即abab0(a，b均为非零向量)(2)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(3)面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题3利用空间向量处理立体几何中角的问题有哪些常用方法？提示：在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等关于角的计算，均可归结为两个向量的夹角对于空间向量a，b，有cosa，b，利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题(1)线线角：要求两条异面直线所成的角，可先求两条异面直线的方向向量的数量积，要求两向量的数量积，可以求得两向量的坐标，也可以把所求向量用一组已知模和夹角的基向量表示出来进行求解(2)线面角：直线l与平面的夹角为，直线l的方向向量l与平面的法向量n的夹角为，则，故有sin |cos |.(3)二面角：设n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则n1，n2与所求二面角的平面角相等或互补一、利用空间向量处理平行问题【例1】如图，在四棱锥oabcd中，底面abcd是四边长为1的菱形，abc，oa底面abcd，oa2，m为oa的中点，n为bc的中点证明直线mn平面ocd.方法提炼用向量法证明直线l与平面平行，一般有两种思路：一是在平面内构造向量与直线l的方向向量平行；二是设出平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直请做针对训练1二、利用空间向量处理垂直问题【例2】如图所示，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中点证明：(1)aecd；(2)pd平面abe.方法提炼ab0ab是利用向量证明线线垂直的依据通常是用一组基底把两个向量表示出来，或建立空间直角坐标系求出两向量的坐标，再判断数量积是否为零利用直线的方向向量与平面的法向量平行是证明线面垂直的有效方法请做针对训练2三、利用空间向量求角【例3】如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，ab5，aa14.(1)设，异面直线ac1与cd所成角的余弦值为，求的值；(2)若点d是ab的中点，求二面角dcb1b的余弦值方法提炼利用空间向量求线线角、线面角、面面角的关键是转化为直线的方向向量之间的角、直线的方向向量与平面的法向量之间的角、及两平面的法向量之间的角，然后通过夹角公式等向量的运算求解请做针对训练3四、利用空间向量求距离【例4】 在三棱锥sabc中，abc是边长为4的正三角形，平面sac平面abc，sasc2，m，n分别为ab，sb的中点，如图所示求点b到平面cmn的距离方法提炼空间中的距离问题一般都可以转化成点到点的距离、点到线的距离、点到面的距离其中点到点、点到线的距离可用空间向量的模来求解，而点到面的距离则借助平面的法向量求解请做针对训练4利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是近几年高考的热点题型主要为解答题，难度属中等偏高，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象以及运算能力1如图所示，平面pad平面abcd，abcd为正方形，pad是直角三角形，且paad2，e，f，g分别是线段pa，pd，cd的中点求证：pb平面efg.2(2012江苏南京四校联考)如图，直三棱柱abca1b1c1中，底面是等腰直角三角形，abbc，bb13，d为a1c1的中点，f在线段aa1上(1)af为何值时，cf平面b1df?(2)设af1，求平面b1cf与平面abc所成的锐二面角的余弦值3(2012苏州调研考试)如图，在底面是直角梯形的四棱锥sabcd中，已知abc90，sa平面abcd，abbc2，ad1.(1)当sa2时，求直线sa与平面scd所成角的正弦值；(2)若平面scd与平面sab所成角的余弦值为，求sa的长4(2012江苏江都中学质检)如图，abcd是菱形，pa平面abcd，paad2，bad60.(1)求点a到平面pbd的距离；(2)求二面角apbd的平面角的余弦值参考答案基础梳理自测知识梳理2e1e2e1e2e1n1e1n1n1n2n1n23(1)锐角(或直角)(2)04(1)锐角直角0(2)0基础自测1.解析：由a，得a，所以x1，y12，23，所以x，y，xy.2.或，解析：设n(x，y，z)，|n|1，则可得3解析：2240，4400，所以正确(2,3,4)，所以不正确490解析：以d为原点，分别以da，dc，dd1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系dxyz.设正方体边长为2，则d(0,0,0)，n(0,2,1)，m(0,1,0)，a1(2,0,2)，所以(0,2,1)，(2，1,2)所以cos，0，故dna1m，所以所求夹角为90.530解析：设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，30.考点探究突破【例1】 证明：作apcd于点p，如图，分别以ab，ap，ao所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，p，d，o(0,0,2)，m(0,0,1)，n，.设平面ocd的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即取z，解得n(0,4，)n(0,4，)0，mn平面ocd.【例2】 证明：ab，ad，ap两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设paabbc1，则p(0,0,1)(1)abc60，abc为正三角形c，e.设d(0，y,0)，由accd，得0，即y，则d，.又，0，即aecd.(2)p(0,0,1)，.又(1)0，即pdae.(1,0,0)，0，pdab.又abaea，pd平面aeb.【例3】 解：(1)因为ac2bc2ab2，所以acb90.以ca，cb，cc1为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，因为ac3，bc4，aa14，所以a(3,0,0)，b(0,4,0)，c(0,0,0)，c1(0,0,4)，所以(3,0,4)因为，所以点d(33,4，0)，所以(33,4，0)因为异面直线ac1与cd所成角的余弦值为，所以|cos，|，解得.(2)由(1)得b1(0,4,4)，因为d是ab的中点，所以d，所以，(0,4,4)，平面cbb1c1的法向量n1(1,0,0)设平面db1c的一个法向量n2(x0，y0，z0)，由得令x04，则y03，z03，所以n2(4，3,3)，cosn1，n2，所以二面角db1cb的余弦值为.【例4】解：取ac的中点o，连结os，ob.sasc，abbc，acso，acbo.平面sac平面abc，平面sac平面abcac，so平面abc.又bo平面abc，sobo.如图所示，建立空间直角坐标系oxyz，则b(0,2，0)，c(2,0,0)，s(0,0，2)，m(1，0)，n(0，)(3，0)，(1,0，)，(1，0)设n(x，y，z)为平面cmn的一个法向量，则取z1，则x，y，n(，1)点b到平面cmn的距离d.演练巩固提升针对训练1证明：平面pad平面abcd且abcd为正方形，ab，ap，ad两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)，e(0,0,1)，f(0,1,1)，g(1，2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，设st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2.22.又与不共线，与共面pb平面efg，pb平面efg.2解：(1)因为直三棱柱abca1b1c1中，以b点为原点，ba，bc，bb1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系b(0,0,0)，a(，0,0)，c(0，0)，b1(0,0,3)，a1(，0,3)，c1(0，3)，d，所以(，3)设afx，则f(，0，x)，(，x)，(，0，x3)，.()x00，所以.要使cf平面b1df，只需cfb1f.由2x(x3)0，得x1或x2，故当af1或2时，cf平面b1df.(2)由(1)知平面abc的法向量为n1(0,0,1)设平面b1cf的法向量为n(x，y，z)，则由得令z1得n，所以平面b1cf与平面abc所成的锐二面角的余弦值cosn，n1.3解：由题意知ab，ad，as两两互相垂直，以a为原点建立如图直角坐标系(1)当sa2时，a(0,0,0)，s(0,0,2)，则(0,0,2)又d(0,1,0)，c(2,2,0)，所以(0,1，2)，(2,2，2)设平面scd的法向量为n(x，y，z)，则解得y2x，zx.取x1，则n(1,2,1)，设sa与平面scd所成角为，则sin .(2)设sat，则s点坐标为(0,0，t)因为平面sab的一个法向量为n1(0,1,0)，所以(0,1，t)，(2,2，t)设平面scd的一个法向量为n2(x，y，z)，则令z1，可解得即n2.设平面scd与平面sab所成角为，则cos ，所以t2，t，即sa.4解：以oa，