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数列 第五章 第30讲等比数列及其前n项和 栏目导航 1 等比数列的有关概念 1 等比数列的有关概念一般地 如果一个数列从 起 每一项与它的前一项的比等于 常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 通常用字母 表示 2 等比中项如果三个数a g b成等比数列 则g叫做a和b的等比中项 那么 即 第2项 同一 公比 q g2 ab a1 qn 1 na1 qn m qn 解析 1 常数列0 0 0 不是等比数列 故错误 2 由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项 故正确 3 当q 0时 an 不是等比数列 故错误 4 当g2 ab 0时 g不是a b的等比中项 故错误 5 等比数列的通项公式为an a1qn 1 故错误 6 当a 1时 sn n 故错误 7 当q 1 a 0时 等比数列递减 故错误 8 若an 1 a1 a3 a4 a5 1 但1 3 4 5故错误 2 已知数列a a 1 a a 1 a 2 是等比数列 则实数a满足的条件是 a a 1b a 0或a 1c a 0d a 0且a 1解析 由等比数列定义可知 a 0且1 a 0 即a 0且a 1 故选d 3 设等比数列 an 的前n项和为sn 若s6 s3 1 2 则s9 s3 a 1 2b 2 3c 3 4d 1 3 d c 4 51 解析 由等比数列的性质知 a8 a11 a9 a10 a7 a12 5 a8 a9 a10 a11 25 25 一等比数列基本量的运算 b 1022 6 二等比数列的性质及应用 1 在解决等比数列的有关问题时 要注意挖掘隐含条件 利用性质 特别是性质 若m n p q 则am an ap aq 可以减少运算量 提高解题速度 2 在应用相应性质解题时 要注意性质成立的前提条件 有时需要进行适当变形 此外 解题时注意设而不求思想的运用 c a a 三等比数列的判定与证明 1 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法 其他方法只用于选择题 填空题中的判定 若证明某数列不是等比数列 则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 2 利用递推关系时要注意对n 1时的情况进行验证 d 解析 由sn a1 2an 得an sn sn 1 2an 2an 1 n 2 即an 2an 1 n 2 从而a2 2a1 a3 2a2 4a1 又因为a1 a2 1 a3成等差数列 所以a1 a3 2 a2 1 所以a1 4a1 2 2a1 1 解得a1 2 所以数列 an 是首项为2 公比为2的等比数列 故an 2n 所以a1 a5 2 25 34 34 错因分析 等比数列中所有奇数项的符号都相同 所有偶数项的符号也都相同 只有同号两数才有等比中项 且有两个 它们互为
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