高中数学 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算课件 新人教A版选修21.ppt

3 1 3空间向量的数量积运算 1 掌握空间向量的夹角与长度的概念 2 掌握空间向量的数量积的定义 性质 运算律及计算方法 3 能用向量的数量积判断向量共线与垂直 知识拓展 1 当 0时 两个向量同向共线 当 时 两个向量反向共线 若a b 则 0或 2 对空间任意两个向量a b 有以下两个特点 做一做1 已知向量a 3b 则 解析 a 3b a与b反向 答案 2 向量的数量积 1 已知两个非零向量a b 则 a b cos叫做a b的数量积 记作a b 即a b a b cos 零向量与任何向量的数量积为0 特别地 a a a a cos a 2 2 数量积满足的运算律 a b a b 交换律 a b b a 分配律 a b c a b a c 3 向量数量积的性质 若a b是非零向量 则a b a b 0 若a与b同向 则a b a b 若a与b反向 则a b a b a b a b 归纳总结两个向量的数量积 其结果是个数量 而不是向量 它的值为两个向量的模与两个向量夹角的余弦值的乘积 对于两个非零向量的数量积 其符号由夹角的余弦值的正负决定 解析 b 5a a b 5a2 5 a 2 5 答案 c 答案 2 1 理解向量数量积的概念剖析 1 与向量的数乘运算区分开 向量的数乘运算的结果仍是向量 而向量的数量积的结果是数量 2 书写要规范 不能写成a b 也不能写成ab 3 向量的数量积运算不满足结合律 也不满足消去律 即 a b c a b c a b a cb c 2 空间向量数量积的应用剖析 1 利用向量的数量积可以求出向量的模和夹角 进而可以求出两点间的距离或两条直线所成的角 2 利用向量的数量积可以证明两个非零向量垂直 进而可以证明两条直线垂直 题型一 题型二 题型三 题型四 数量积的运算 例1 已知在长方体abcd a1b1c1d1中 ab aa1 2 ad 4 e为ab1的中点 f为a1d1的中点 试计算 分析 解答本题可先把各向量用同一顶点上的三条棱对应的向量表示出来 再代入向量的数量积进行运算 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 反思在几何体中进行向量的数量积运算 要充分利用向量加减法的几何性质 把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 利用数量积证明垂直 例2 已知在空间四边形oacb中 ob oc ab ac 求证 oa bc 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 反思立体几何中直线与直线的垂直问题可转化为空间向量的数量积为零的问题 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 如图所示 已知平行六面体abcd a1b1c1d1的底面abcd是菱形 且 c1cb c1cd bcd 60 求证 cc1 bd 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 利用数量积求异面直线所成的角 例3 已知空间四边形o abc的各边及对角线的长都相等 e f分别为ab oc的中点 求oe与bf所成的角的余弦值 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是棱cd cc1的中点 则异面直线a1m与dn所成的角的大小是 答案 90 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 利用数量积求两点间的距离 例4 已知线段ab在平面 内 线段ac 线段bd ab 且与 所成的角是30 如果ab a ac bd b 求c d两点间的距离 分析 求c d两点间的距离即求cd的长 首先将cd用向量表示 然后求其与自身数量积 根据已知向量的模及向量间的夹角得其模的平方 最后开平方即为所求 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 如图 在平行四边形abcd中 ab ac 1 acd 90 将它沿对角线ac折起 使ab与cd成60 角 求b d两点间的距