高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题六 解析几何 1.6.2 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题课件 理 新人教版.ppt

第二讲圆锥曲线的概念与性质 与弦有关的计算问题 知识回顾 1 圆锥曲线的定义式 1 椭圆 pf1 pf2 2a 2a f1f2 2 双曲线 pf1 pf2 2a 2a f1f2 3 抛物线 pf pm 点f不在直线l上 pm l于m l为抛物线的准线方程 2 圆锥曲线的重要性质 1 椭圆 双曲线中a b c之间的关系 在椭圆中 离心率为 在双曲线中 离心率为 a2 b2 c2 c2 a2 b2 2 双曲线的渐近线方程与焦点坐标 双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线方程为 焦点坐标f1 f2 双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线方程为 焦点坐标f1 f2 c 0 c 0 0 c 0 c 3 抛物线的焦点坐标与准线方程 抛物线y2 2px p 0 的焦点坐标为 准线方程为 抛物线x2 2py p 0 的焦点坐标为 准线方程为 3 弦长问题 1 直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求 利用根与系数的关系 进行整体代入 即当斜率为k 直线与圆锥曲线交于a x1 y1 b x2 y2 时 2 过抛物线焦点的弦长抛物线y2 2px p 0 过焦点f的弦ab 若a x1 y1 b x2 y2 则x1x2 y1y2 p2 弦长 ab x1 x2 p 易错提醒 1 忽略条件致误 应用圆锥曲线定义解题时 易忽视定义中的条件导致错误 2 忽略焦点的位置致误 当焦点位置没有明确给出时应对焦点位置进行分类讨论 椭圆 双曲线有两种情况 抛物线有四种情况 3 混淆a b c的关系致误 在椭圆中a2 b2 c2 在双曲线中c2 a2 b2 在使用时谨防张冠李戴 4 注意隐含条件 圆锥曲线上点的横坐标 纵坐标是有范围的 在涉及求最值或范围问题时可能要用到 考题回访 1 2016 全国卷 已知方程表示双曲线 且该双曲线两焦点间的距离为4 则n的取值范围是 a 1 3 b 1 c 0 3 d 0 解析 选a 表示双曲线 则 m2 n 3m2 n 0 所以 m2 n 3m2 由双曲线性质知 c2 m2 n 3m2 n 4m2 其中c是半焦距 所以焦距2c 2 2 m 4 解得 m 1 所以 1 n 3 2 2016 全国卷 设f为抛物线c y2 4x的焦点 曲线y k 0 与c交于点p pf x轴 则k 解析 选d 因为抛物线方程是y2 4x 所以f 1 0 又因为pf x轴 所以p 1 2 把p点坐标代入曲线方程y k 0 即 2 所以k 2 3 2016 天津高考 已知双曲线 1 b 0 以原点为圆心 双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于a b c d四点 四边形abcd的面积为2b 则双曲线的方程为 解析 选d 渐近线ob 所以x0 1 所以所以所以b2 12 所以 4 2014 全国卷 已知抛物线c y2 x的焦点为f a x0 y0 是c上一点 af x0 则x0 a 1b 2c 4d 8 解析 选a 根据抛物线的定义可知 af x0 解得x0 1 5 2014 全国卷 设f为抛物线c y2 3x的焦点 过f且倾斜角为30 的直线交c于a b两点 则 ab a b 6c 12d 7 解析 选c 设 af 2m bf 2n 则由抛物线的定义和直角三角形知识可得 2m 2 2n 2 解得所以m n 6 ab af bf 2m 2n 12 故选c 热点考向一圆锥曲线的定义 标准方程与性质命题解读 主要考查圆锥曲线的定义 标准方程和离心率 渐近线等性质 以选择题 填空题为主 典例1 1 2016 承德一模 已知抛物线c y2 8x的焦点为f 准线为l p是l上一点 q是直线pf与c的一个交点 若则 qf 2 2016 郑州二模 经过点 2 1 且渐近线与圆x2 y 2 2 1相切的双曲线的标准方程为 3 2016 福州一模 已知椭圆 a b 0 的左右焦点分别为f1 f2 过点f2的直线与椭圆交于a b两点 若 f1ab是以a为直角顶点的等腰直角三角形 则椭圆的离心率为 解题导引 1 先由向量的线性关系及相似三角形的性质 确定线段间的比例关系 再根据抛物线的定义求解线段长度 2 先求双曲线的渐近线方程 根据渐近线方程判断焦点的位置 然后列方程组求解 3 根据 f1ab的周长为4a 把af1 af2用a表示 再根据勾股定理找出a c满足的关系式 规范解答 1 选b 如图所示 因为所以过点q作qm l 垂足为m 则mq x轴 所以所以 mq 3 由抛物线定义知 qf qm 3 2 选a 设双曲线的渐近线方程为y kx 即kx y 0 由题意知解得k 则双曲线的焦点在x轴 设双曲线方程为所以 所求方程为 3 选d 设 f1f2 2c af1 m 若 f1ab是以a为直角顶点的等腰直角三角形 所以 ab af1 m bf1 m 由椭圆的定义可知 f1ab的周长为4a 所以4a 2m m m 2 2 a 所以 af2 2a m 2 2 a 因为 af1 2 af2 2 f1f2 2 所以4 2 2a2 4 1 2a2 4c2 所以e2 9 6 e 母题变式 1 本例 3 中若椭圆改为双曲线 a 0 b 0 过f2的直线与双曲线交于a b两点 其他条件不变 则双曲线离心率e2的值为 解析 如图所示 因为 af1 af2 2a bf1 bf2 2a bf1 af2 bf2 所以 af2 2a af1 4a 所以 bf1 2a bf2 2a 2a 因为 f1f2 2 bf1 2 bf2 2 所以 2c 2 2a 2 2a 2a 2 所以e2 5 2 答案 5 2 2 在本例 3 中若条件变为 在双曲线 a 0 b 0 中 a1 a2是左 右顶点 f是右焦点 b是虚轴的上端点 若在线段bf上存在点p 使得 pa1a2构成以a1a2为斜边的直角三角形 试求双曲线离心率e的取值范围 解析 由题意知以线段a1a2为直径的圆和线段bf有公共点 则原点到直线bf的距离小于或等于a 又直线bf的方程为即bx cy bc 0 所以整理得a4 3a2c2 c4 0 即e4 3e2 1 0 解得又e 1 所以1 e 规律方法 1 椭圆 双曲线离心率 离心率范围 的求法求椭圆 双曲线的离心率或离心率的范围 关键是根据已知条件确定a b c的等量关系或不等关系 然后把b用a c代换 求的值 2 双曲线的渐近线的求法及用法 1 求法 把双曲线标准方程等号右边的1改为零 分解因式可得 2 用法 可得的值 利用渐近线方程设所求双曲线的方程 3 焦点三角形的作用借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组 便于解决问题 题组过关 1 2016 全国卷 已知o为坐标原点 f是椭圆c a b 0 的左焦点 a b分别为c的左 右顶点 p为c上一点 且pf x轴 过点a的直线l与线段pf交于点m 与y轴交于点e 若直线bm经过oe的中点 则c的离心率为 解析 选a 由题意可知直线ae的斜率存在 设为k 直线ae的方程为y k x a 令x 0可得点e坐标为 0 ka 所以oe的中点h坐标为又右顶点b a 0 所以可得直线bm的斜率为 可设其方程为y x a 联立可得点m横坐标为 又点m的横坐标和左焦点相同 所以 c 所以e 2 2016 合肥二模 已知抛物线y2 2px p 0 上一点m到焦点f的距离等于2p 则直线mf的斜率为 解析 选a 设m x0 y0 由题意x0 2p 则x0 从而y02 3p2 加固训练 1 已知f1 f2是椭圆和双曲线的公共焦点 p是它们的一个公共点 且 f1pf2 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 解析 选a 设 pf1 m pf2 n f1f2 2c且m n 则椭圆与双曲线离心率的倒数和为由余弦定理4c2 m2 n2 2m n cos m2 n2 mn 即n2 mn m2 4c2 0 关于n的一元二次方程有解 m2 4 m2 4c2 0 故16c2 3m2 2 已知椭圆c1 与双曲线c2 有相同的焦点 则椭圆c1的离心率e的取值范围为 解析 选a 因为椭圆c1 与双曲线c2 有相同的焦点 所以m 0 n 0 且m 2 n m n 解得n 1 所以椭圆c1的离心率e 又e 1 所以椭圆c1的离心率e的取值范围为 3 已知抛物线y2 2px的焦点f与双曲线 1的右焦点重合 抛物线的准线与x轴的交点为k 点a在抛物线上且 ak af 则 afk的面积为 a 4b 8c 16d 32 解析 选d 因为抛物线y2 2px的焦点f与双曲线 1的右焦点重合 所以p 8 设a m n 又 ak af 所以m 4 n 又n2 16m 解得m 4 n 8 所以 afk的面积为s 8 8 32 4 设f是双曲线c 的一个焦点 若c上存在点p 使线段pf的中点恰为其虚轴的一个端点 则c的离心率为 解析 根据对称性 不妨设f c 0 短轴端点为 0 b 从而可知点 c 2b 在双曲线上 所以答案 热点考向二圆锥曲线与圆 直线的综合命题解读 主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线与圆相结合时处理问题的能力 典例2 1 2016 平顶山二模 已知点e 0 0 动点a b均在抛物线c y2 2px p 0 上 若的最小值为0 则 的值为 a b 0c pd 2p 2 2016 承德二模 已知椭圆c a b 0 的离心率为且过点 求椭圆c的方程 设与圆o x2 y2 相切的直线l交椭圆c于a b两点 求 oab面积的最大值及取得最大值时直线l的方程 解题导引 1 根据的最小值为0知 aeb的最大值为90 此时直线ea eb均与抛物线相切 且直线ea eb的斜率分别为1和 1 2 直接列方程组求a b的值 分直线l的斜率存在与不存在两种情况求解 当斜率存在时 求 oab面积的最大值 实际上是求 ab 的最大值 规范解答 1 选a 当的最小值为0时 直线ea eb相互垂直且都与抛物线相切 根据抛物线的对称性不妨令直线ea的方程为y x 由得y2 2py 2p 0 则 4p2 8p 0 解得 2 由题意可得 a2 3 b2 1 所以 y2 1 当直线l的斜率k不存在时 x 所以y 所以 ab 又圆半径为 所以s oab 当直线l的斜率k存在时 设直线l方程为y kx m a x1 y1 b x2 y2 1 3k2 x2 6kmx 3m2 3 0 又直线l与圆相切 则有 即4m2 3 1 k2 所以 ab 当且仅当即k 时等号成立 s oab 所以 oab面积的最大值为 此时直线l的方程为y x 1 规律方法 处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点 1 注意圆心 半径和平面几何知识的应用 如直径所对的圆周角为直角 构成了垂直关系 弦心距 半径 弦长的一半构成直角三角形等 2 注意圆与特殊线的位置关系 如圆的直径与椭圆长轴 短轴 与双曲线的实轴 虚轴 的关系 圆与过定点的直线 双曲线的渐近线 抛物线的准线的位置关系等 题组过关 1 2016 长沙二模 双曲线 a 0 b 0 与椭圆的焦点相同 若过右焦点f且倾斜角为60 的直线与双曲线的右支有两个不同交点 则此双曲线实半轴长的取值范围是 a 2 4 b 2 4 c 2 4 d 2 解析 选a 椭圆的半焦距c 4 要使直线与双曲线有两个交点 需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率 即即b2 又a c 4 则此双曲线实半轴长的取值范围是 2 4 2 2016 新乡二模 已知直线x ky 3 0所经过的定点f恰好是椭圆c的一个焦点 且椭圆c上的点到点f的最大距离为8 1 求椭圆c的标准方程 2 已知圆o x2 y2 1 直线l mx ny 1 试证 当点p m n 在椭圆c上运动时 直线l与圆o恒相交 并求直线l被圆o所截得的弦长l的取值范围 解析 1 设椭圆c的方程为 a b 0 直线x ky 3 0所经过的定点是 3 0 即点f 3 0 因为椭圆c上的点到点f的最大距离为8 所以a 3 8 a 5 所以b2 52 32 16 所以椭圆c的方程为 2 因为点p m n 在椭圆c上 所以即n2 16 又原点到直线l mx ny 1的距离d 所以直线l mx ny 1与圆o x2 y2 1恒相交 则l2 4 12 d2 因为 5 m 5 所以 加固训练 已知椭圆c1过点且其右顶点与椭圆c2 x2 2y2 4的右焦点重合 1 求椭圆c1的标准方程 2 设o为原点 若点a在椭圆c1上 点b在椭圆c2上 且oa ob 试判断直线ab与圆x2 y2 1的位置关系 并证明你的结论 解析 1 因为椭圆c2 的右焦点为 0 所以可设椭圆c1 又椭圆c1过点所以解得b2 故椭圆c1的标准方程为 2 直线ab与圆x2 y2 1相切 证明如下 设原点到直线ab的距离为d 若oa斜率不存在 则b 2 0 此时 ab 由 oa ob ab d得 d 1 若oa斜率存在 由已知oa ob 可设oa y kx ob ky x 即d 1 综上 直线ab与圆x2 y2 1相切 热点考向三圆锥曲线中的最值 范围 及与弦有关的问题命题解读 主要考查直线与圆锥曲线相交时的弦长公式和最值的求法 三种题型都有可能出现 命题角度一圆锥曲线中的最值 范围 问题 典例3 2016 衡阳二模 已知抛物线e y ax2上三个不同的点a 1 1 b c满足关系式 1 求抛物线e的方程 2 求 abc的外接圆面积的最小值及此时 abc的外接圆的方程 题目拆解 解答本题第 2 问 可拆解成四个小题 设b x1 x12 c x2 x22 根据找出x1 x2的关系式 用x1表示x2 求x2的取值范围 用x2表示 abc的外接圆的直径 ac 利用导数求 ac 的最小值 从而求出 abc的外接圆面积的最小值 规范解答 1 因为1 a 12 所以a 1 抛物线e的方程为y x2 2 设b x1 x12 c x2 x22 则 x1 1 x12 1 x2 x1 x22 x12 因为 x1 1 x2 x1 x12 1 x22 x12 0 因为x1 1 x1 x2 所以1 x1 1 x1 x2 0 且x1 1 所以x2 当x1 1 0时 x2 1 当x1 1 0时 x2 3 所以x2 1 3 因为所以ab bc 从而 abc的外接圆的直径为 ac 要使 abc的外接圆面积最小 须 ac 最小 因为 ac 令f x x4 x2 2x 2 x 1 3 所以f x 4x3 2x 2 x 1 4x2 4x 2 x 1 2x 1 2 1 所以x 1 时 f x 0 f x 递增 又f 1 4 f 3 68 所以 ac min 2 此时x2 1 所以r 1 abc的外接圆面积smin 所以c 1 1 所以 abc的外接圆的圆心为 0 1 半径r 1 所以 abc的外接圆方程为x2 y 1 2 1 易错警示 解答本题易出现以下二种错误 1 不会应用消元法把 ac 用一个变量表示 2 不会应用导数求 ac 的最小值 命题角度二与弦 弦中点有关的问题 典例4 2016 全国卷 已知抛物线c y2 2x的焦点为f 平行于x轴的两条直线l1 l2分别交c于a b两点 交c的准线于p q两点 1 若f在线段ab上 r是pq的中点 证明 ar fq 2 若 pqf的面积是 abf的面积的两倍 求ab中点的轨迹方程 解题导引 1 先写出直线ab的方程 再通过斜率相等证明ar fq 2 设出ab中点的坐标 利用s pqf 2s abf列等式求轨迹方程 规范解答 1 由题意可知设l1 y a l2 y b且ab 0 记过a b两点的直线方程为l 由点a b可得直线方程为2x a b y ab 0 因为点f在线段ab上 所以ab 1 0 记直线ar的斜率为k1 直线fq的斜率为k2 所以又因为ab 1 0 所以所以k1 k2 即ar fq 2 设直线ab与x轴的交点为d x1 0 所以s abf 又s pqf 所以由题意可得s pqf 2s abf即 解得x1 0 舍 或x1 1 设满足条件的ab的中点为e x y 当ab与x轴不垂直时 由kab kde可得 x 1 而所以y2 x 1 x 1 当ab与x轴垂直时 e与d重合 所以 所求轨迹方程为y2 x 1 规律方法 1 与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 1 数形结合法 利用待求量的几何意义 确定出临界位置后数形结合求解 2 构建不等式法 利用已知或隐含的不等关系 构建以待求量为元的不等式求解 3 构建函数法 先引入变量构建以待求量为因变量的函数 再求其值域 2 弦中点问题的解法点差法在解决有关弦中点 弦所在直线的斜率 弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算 但要注意直线斜率是否存在 3 与弦端点相关问题的解法解决与弦端点有关的向量关系 位置关系等问题的一般方法 就是将其转化为端点的坐标关系 再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系 构建方程 组 求解 题组过关 1 2016 商丘二模 抛物线y2 2px p 0 的焦点为f 已知点a b为抛物线上的两个动点 且满足 afb 120 过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn 垂足为n 则的最大值为 解析 选a 设 af a bf b 连接af bf 由抛物线定义 得 af aq bf bp 在梯形abpq中 2 mn aq bp a b 由余弦定理得 ab2 a2 b2 2abcos120 a2 b2 ab 配方得 ab 2 a b 2 ab 又因为ab 所以 a b 2 ab a b 2 a b 2 a b 2 得到ab a b 所以即的最大值为 2 2016 天津高考 设椭圆的右焦点为f 右顶点为a 已知其中o为原点 e为椭圆的离心率 1 求椭圆的方程 2 设过点a的直线l与椭圆交于点b 点b不在x轴上 垂直于l的直线与l交于点m 与y轴交于点h 若bf hf 且 moa mao 求直线l的斜率的取值范围 解析 1 由题意 如图所示 已知所以解得a 2 所以椭圆方程为 2 由已知 设l斜率为k k 0 方程为y k x 2 设b xb yb m x0 k x0 2 x0 1 moa mao h 0 yh 与椭圆的方程联立可得整理得 3 4k2 x2 16k2x 16k2 12 0 0成立 由根与系数的关系得2 xb 所以 lhm y k x0 2 x x0 令x 0 得yh x0 2k 因为hf fb 所以 1 yh xb 1 yb 0 即1 xb yhyb 所以x0 1 所以8k2 3 所以k 或k 所以直线l的斜率的取值范围为 加固训练 1 2016 安阳一模 如图 已知抛物线y2 4x的焦点为f 过f的直线交抛物线于m n两点 其准线l与x轴交于k点 1 求证 kf平分 mkn 2 o为坐标原点 直线mo no分别交准线于点p q 求 pq mn 的最小值 解析 抛物线y2 4x的焦点为f 1 0 准线方程为x 1 设直线mn的方程为x my 1 m n的坐标分别是m y1 n y2 由消去x得y2 4my 4 0 所以y1 y2 4m y1y2 4 1 由题意 设km与kn的斜率分别为k1 k2 显然只需证明k1 k2 0即可 因为k 1 0 所以所以kf平分 mkn 2 由m o p三点共线可求出p点的坐标为由n o q三点共线可求出q点的坐标为则 而 mn 所以 pq mn 4 1 m