中考数学 常考易错点 4.3 等腰三角形与直角三角形.doc

4.3 等腰三角形与直角三角形易错清单1. 运用等腰(等边)三角形的判定与性质、勾股定理解决有关计算与证明问题,需注意分类讨论思想的渗入.【例1】一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为().【解析】本题未明确这两条边是直角边还是斜边,因此两条边中的较长边4既可以是直角边,也可以是斜边,所以求第三边的长必须分类讨论,即4是斜边或直角边的两种情况,然后利用勾股定理求解.【答案】d2. 两类特殊三角形的组合运用.【例2】(2014山东威海)如图,有一直角三角形纸片abc,边bc=6,ab=10,acb=90,将该直角三角形纸片沿de折叠,使点a与点c重合,则四边形dbce的周长为.【解析】先由折叠的性质得ae=ce,ad=cd,dce=a,进而得出,b=bcd,求得=5,de为abc的中位线,得到de的长,再在rtabc中,由勾股定理得到ac=8,即可得四边形dbce的周长.【答案】沿de折叠,使点a与点c重合,ae=ce,ad=cd,dce=a.bcd=90-dce.又b=90-a,b=bcd.bd=cd=ad=ab=5.de为abc的中位线.bc=6,ab=10,acb=90,四边形dbce的周长为bd+de+ce+bc=5+3+4+6=18.【误区纠错】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用.本题中得到ed是abc的中位线关键.3. 勾股定理在折叠问题中的运用.【例3】(2014湖北孝感)如图,已知矩形abcd,把矩形沿直线ac折叠,点b落在点e处,连接de,be,若abe是等边三角形,则=.【解析】过e作emab于点m,交dc于点n,根据矩形的性质得出dc=ab,dcab,abc=90,设ab=ae=be=2a,则bc=a,即mn=a,求出en,根据三角形面积公式求出两个三角形的面积,即可得出答案.【答案】过e作emab于点m,交dc于点n,四边形abcd是矩形,dc=ab,dcab,abc=90.mn=bc.endc.延ac折叠b和e重合,aeb是等边三角形,eac=bac=30.【误区纠错】本题考查了勾股定理,折叠的性质,矩形的性质,等边三角形的性质的应用,解此题的关键是求出两个三角形的面积.名师点拨1. 掌握等腰三角形、直角三角形的概念并能做出判断.2. 会利用等腰(等边)三角形的性质和判定定理证明相关问题.3. 会利用直角三角形的性质与判定解决有关直角三角形的相关问题.4. 会利用hl及其他方法来证明直角三角形全等.提分策略1. 等腰三角形的多解问题.因为等腰三角形的边有腰与底之分,角有底角和顶角之分,等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况.故当题中条件给出不明确时,要分类讨论进行解题,才能避免漏解情况.【例1】若等腰三角形的一个内角为50,则它的顶角为.【解析】(1)若这个内角恰好是顶角,则顶角是50;(2)若这个内角是底角,则顶角=180-250=80.【答案】50或80【例2】等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为.【解析】当腰是6时,则另两边是4,6,且4+66,满足三边关系定理;当底边是6时,另两边长是5,5,5+56,满足三边关系定理.故该等腰三角形的另两边为:6,4或5,5.【答案】6,4或5,52. 等腰三角形的性质与判定的运用.(1)通常用利用线段的垂直平分线进行等线段转换,进而进行角度转换;等边对等角说明两个角相等.(2)要证明一个三角形是等腰三角形,必须得到两边相等,而得到两边相等的方法主要有通过等角对等边得两边相等;通过三角形全等得两边相等;利用垂直平分线的性质得两边相等.(3)等边三角形是特殊的等腰三角形,其中隐含着三边相等和三个角都等于60的结论,所以要充分利用这些隐含条件,证明全等或者构造全等.【例3】如图,在四边形abcd中,adbc,e是ab的中点,连接de并延长交cb的延长线于点f,点g在边bc上,且gdf=adf.(1)求证:adebfe;(2)连接eg,判断eg与df的位置关系,并说明理由.【解析】先通过平行条件得到两对内错角相等,结合线段中点得到的线段相等,可证明两个三角形全等;由角相等的条件可证明dfg是等腰三角形,再结合点e是df的中点,根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论.【答案】(1)adbc,ade=bfe,dae=fbe.e是ab的中点,ae=be.adebfe.(2)eg与df的位置关系是egdf.gdf=adf,ade=bfe,gdf=bfe.gd=gf.由(1),得de=ef,egdf.3. 定义、命题、定理、反证法等知识的区别与联系.只有对一件事情作出判定的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假.【例4】在下列命题中,其逆命题是真命题的是.(只填写序号)同旁内角互补,两直线平行;如果两个角是直角,那么它们相等;如果两个实数相等,那么它们的平方相等;如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.【解析】的逆命题:两直线平行,同旁内角互补,正确;的逆命题:相等的两个角是直角,错误;的逆命题:如果两个数的平方相等,那么这两个数也相等,错误,如:22=(-2)2,但2-2;的逆命题:如果一个三角形是直角三角形,则它的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,但未说明c为直角的对边,故错误.【答案】专项训练一、 选择题1. (2014江苏镇江外国语学校模拟)在abc中,c=90,ac,bc的长分别是方程x2-7x+12=0的两根,abc内一点p到三边的距离都相等,则pc为().(第2题)2. (2014山东济南二模)如图,在rtabc中,bac=90,d,e分别是ab,bc的中点,f在ca的延长线上,fda=b,ac=6,ab=8,则四边形aedf的周长为().a. 22b. 20c. 18d. 16二、 填空题3. (2014江苏大丰模拟)已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角为度.4. (2013内蒙古赤峰一模)等腰三角形的腰长为2,腰上的高为1,则它的底角等于.5. (2013江苏通州兴仁中学一模)如图,在rtabc中,c=90,bc=6cm,ac=8cm,按图中所示方法将bcd沿bd折叠,使点c落在ab边的点c,那么adc的面积是.(第5题)三、 解答题6. (2014辽宁鞍山5校联考)如图,aob和cod均为等腰直角三角形,aob=cod=90,d在ab上.(1)求证:aocbod;(2)若ad=1,bd=2,求cd的长.(第6题)7. (2014安徽马鞍山实验学校模拟)如图,点d为等腰直角abc内一点,cad=cbd=15.(1)求证:ad=bd;(2)e为ad延长线上的一点,且ce=ca,求证:ad+cd=de;(3)当bd=2时,ac的长为.(直接填出结果,不要求写过程)(第7题)参考答案与解析3. 15或75解析等腰三角形分钝角和锐角三角形两种情况讨论.4. 15或75解析分钝角三角形和锐角三角形讨论.5. 6cm2解析根据勾股定理知ab=10,得ac=4. 再在直角三角形acd中运用勾股定理求得cd=3,ad=5.(注:设cd=x,则cd=x,ad=8-x)6. (1)如图,(第6题)1=90-3,2=90-3,1=2.又oc=od,oa=ob,aocbod.(2)由aocbod,有ac=bd=2,cao=dbo=45,cab=90.7. (1)ac=bc,acb=90,cab=abc=45.cad=cbd=15,bad=abd=30.ad=bd.(2)在de上截取dm=dc,连接cm.(第7题(