高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行课件 北师大版选修21.ppt

4用向量讨论垂直与平行 学课前预习学案 我们已经学习过直线的方向向量和平面的法向量 设直线l1的方向向量为a1 直线l2的方向向量为a2 那么 1 如果l1 l2 a1与a2平行吗 反过来 如果a1 a2 l1与l2平行吗 2 如果l1 l2 a1与a2垂直吗 反过来 如果a1 a2 l1与l2垂直吗 提示 1 l1 l2 a1 a2 2 l1 l2 a1 a2 按照上面的思路 空间的平行与垂直关系便可以利用直线的方向向量与平面的法向量间的关系进行研究啦 1 空间中平行关系的向量表示 a b a u u v 强化拓展 1 利用向量法证明和讨论立体几何中的平行问题 关键是在直线上恰当地选取方向向量及求出平面的法向量 2 建立空间坐标系后 使向量法应用起来非常方便 所以建立适当的坐标系往往是解题的第一步 3 用向量法证明平行关系 也可结合平行关系的相互转化 从而得出不同的证明途径 如线面平行的证明方法可以有 设直线l的方向向量是a 平面 的法向量是u 则要证明l 只需证明a u 且l不在平面 内 根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可 证明一条直线l与一个平面 平行 只需证明l的方向向量能用平面 内两个不共线向量线性表示 2 空间垂直关系的向量表示 a b a u u v 强化拓展 1 用向量法证明线线垂直 证明两条直线的方向向量垂直 2 用向量法证明线面垂直 设a表示一条直线的方向向量 n是平面的法向量 a n 则线面垂直 在平面内找到两条不共线的直线 分别求出它们的方向向量b c 只需证明a b a c 3 用向量法证明面面垂直 转化证线面垂直 证两平面的法向量垂直 在该平面内的投影 垂直 3 图形语言 图形语言 2 三垂线定理是证明空间中线线垂直的主要依据 三垂线定理的结论跨越了线面垂直 直接由线线垂直到线线垂直 所以在证明线线垂直问题时 非常简捷 1 若直线l1 l2的方向向量分别为a 1 2 2 b 2 3 2 则 a l1 l2b l1 l2c l1 l2相交不垂直d 不能确定解析 a b 1 2 2 3 2 2 2 6 4 0 a b 答案 b 2 若两个不同平面 的法向量分别为u 1 2 1 v 3 6 3 则 a b c 相交但不垂直d 以上均不正确解析 u 1 2 1 v 3 6 3 v 3u u v 答案 a 答案 4 讲课堂互动讲义 名师妙点 求一个平面的法向量 主要有以下三种方法 1 该平面与坐标平面平行 重合 时 选与该坐标平面垂直的坐标轴上的单位向量为法向量 2 根据立体几何的知识 可以明确找到该平面的垂线 则以该垂线的方向向量为该平面的法向量 3 对于一般位置状态的平面 采用以下步骤求法向量 思路导引 可通过建立空间直角坐标系 求出直线的方向向量以及平面的法向量 再利用向量方法来进行判定 令x 1 得y 1 z 1 u 1 1 1 由 2 知平面acd1的一个法向量n 1 1 1 n u n u 平面acd1 平面ba1c1 名师妙点 1 证明线面平行常用的方法 证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面 证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 2 证明面面平行常用的方法 证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面 证明两个平面的法向量平行 证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量 2 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2 e f分别是bb1 dd1的中点 求证 1 fc1 平面ade 2 平面ade 平面b1c1f 令x 2可得 y 2 z 1 平面acef的一个法向量n2 2 2 1 n1 n2 1 2 1 2 0 1 0 n1 n2 平面acef 平面dd1o 12分 名师妙点 解决立体几何问题 常用三种方法 综合法 向量法 坐标法 综合法以逻辑推理作为工具解决问题 向量法利用向量的概念及其运算解决问题 坐标法利用数及其运算来解决问题 坐标法常与向量运算结合起来使用