高考数学大一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12.2 直接证明与间接证明课件 文 新人教版.ppt

12 2直接证明与间接证明 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 直接证明 知识梳理 1 综合法 定义 一般地 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 框图表示 其中p表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 q表示所要证明的结论 思维过程 由因导果 推理论证 2 分析法 定义 一般地 从出发 逐步寻求使它成立的 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明方法叫做分析法 其中q表示要证明的结论 思维过程 执果索因 要证明的结论 充分条件 2 间接证明 反证法 一般地 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明的证明方法 不成立 矛盾 原命题成立 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 综合法是直接证明 分析法是间接证明 2 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 3 用反证法证明结论 a b 时 应假设 a b 4 反证法是指将结论和条件同时否定 推出矛盾 5 在解决问题时 常常用分析法寻找解题的思路与方法 再用综合法展现解决问题的过程 6 证明不等式最合适的方法是分析法 考点自测 1 若a b c为实数 且a b 0 则下列命题正确的是 答案 解析 a2 ab a a b a0 a2 ab 又ab b2 b a b 0 ab b2 由 得a2 ab b2 2 用反证法证明命题 a b n 若ab不能被5整除 则a与b都不能被5整除 时 假设的内容应为 答案 解析 a a b都能被5整除b a b不都能被5整除c a b至少有一个能被5整除d a b至多有一个能被5整除 都不能 的否定为 至少有一个能 故假设的内容应为 a b至少有一个能被5整除 3 要证a2 b2 1 a2b2 0 只要证明 a2 b2 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 答案 解析 a 0 b 0且a b 答案 解析 答案 解析 f x sinx在区间 0 上是凸函数 且a b c 0 题型分类深度剖析 题型一综合法的应用 例1数列 an 满足an 1 a1 1 证明 解答 1 综合法是 由因导果 的证明方法 它是一种从已知到未知 从题设到结论 的逻辑推理方法 即从题设中的已知条件或已证的真实判断 命题 出发 经过一系列中间推理 最后导出所要求证结论的真实性 2 综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 思维升华 跟踪训练1若a b c是不全相等的正数 求证 证明 a b c 0 由于a b c是不全相等的正数 上述三个不等式中等号不能同时成立 例2 题型二分析法的应用 证明 所以cosx1cosx2 0 sin x1 x2 0 1 cos x1 x2 0 故只需证明1 cos x1 x2 2cosx1cosx2 即证1 cosx1cosx2 sinx1sinx2 2cosx1cosx2 即证cos x1 x2 1 引申探究 证明 由于x1 x2 r时 0 0 1 逆向思考是用分析法证题的主要思想 通过反推 逐步寻找使结论成立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 2 证明较复杂的问题时 可以采用两头凑的办法 即通过分析法找出某个与结论等价 或充分 的中间结论 然后通过综合法证明这个中间结论 从而使原命题得证 思维升华 跟踪训练2 2017 重庆月考 设a 0 b 0 2c a b 求证 1 c2 ab 证明 证明 a c 2 c2 ab a a b 2c 0成立 原不等式成立 题型三反证法的应用 命题点1证明否定性命题例3 2016 西安模拟 设 an 是公比为q的等比数列 1 推导 an 的前n项和公式 解答 设 an 的前n项和为sn 当q 1时 sn a1 a1 a1 na1 当q 1时 sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 qsn a1q a1q2 a1qn 得 1 q sn a1 a1qn 2 设q 1 证明 数列 an 1 不是等比数列 证明 假设 an 1 是等比数列 则对任意的k n ak 1 1 2 ak 1 ak 2 1 a1 0 2qk qk 1 qk 1 q 0 q2 2q 1 0 q 1 这与已知矛盾 假设不成立 故 an 1 不是等比数列 命题点2证明存在性问题例4已知四棱锥s abcd中 底面是边长为1的正方形 又sb sd sa 1 证明 1 求证 sa 平面abcd 由已知得sa2 ad2 sd2 sa ad 同理sa ab 又ab ad a ab 平面abcd ad 平面abcd sa 平面abcd 2 在棱sc上是否存在异于s c的点f 使得bf 平面sad 若存在 确定f点的位置 若不存在 请说明理由 解答 假设在棱sc上存在异于s c的点f 使得bf 平面sad bc ad bc 平面sad bc 平面sad 而bc bf b 平面fbc 平面sad 这与平面sbc和平面sad有公共点s矛盾 假设不成立 不存在这样的点f 使得bf 平面sad 命题点3证明唯一性命题例5已知a 0 证明关于x的方程ax b有且只有一个根 证明 假设x1 x2是它的两个不同的根 即ax1 b ax2 b 由 得a x1 x2 0 因为x1 x2 所以x1 x2 0 所以a 0 这与已知矛盾 故假设错误 所以当a 0时 方程ax b有且只有一个根 应用反证法证明数学命题 一般有以下几个步骤 第一步 分清命题 p q 的条件和结论 第二步 作出与命题结论q相反的假设綈q 第三步 由p和綈q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真 于是原结论q成立 从而间接地证明了命题p q为真 所说的矛盾结果 通常是指推出的结果与已知公理 已知定义 已知定理或已知事实矛盾 与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果 思维升华 跟踪训练3已知二次函数f x ax2 bx c a 0 的图象与x轴有两个不同的交点 若f c 0 且00 证明 f x 的图象与x轴有两个不同的交点 f x 0有两个不等实根x1 x2 f c 0 x1 c是f x 0的根 证明 典例 12分 直线y kx m m 0 与椭圆w y2 1相交于a c两点 o是坐标原点 1 当点b的坐标为 0 1 且四边形oabc为菱形时 求ac的长 2 当点b在w上且不是w的顶点时 证明 四边形oabc不可能为菱形 反证法在证明题中的应用 思想与方法系列23 思想方法指导 规范解答 在证明否定性问题 存在性问题 唯一性问题时常考虑用反证法证明 应用反证法需注意 1 掌握反证法的证明思路及证题步骤 正确作出假设是反证法的基础 应用假设是反证法的基本手段 得到矛盾是反证法的目的 2 当证明的结论和条件联系不明显 直接证明不清晰或正面证明分类较多 而反面情况只有一种或较少时 常采用反证法 3 利用反证法证明时 一定要回到结论上去 返回 1 解因为四边形oabc为菱形 则ac与ob相互垂直平分 由于o 0 0 b 0 1 2 证明假设四边形oabc为菱形 因为点b不是w的顶点 且ac ob 所以k 0 设a x1 y1 c x2 y2 则 因为m为ac和ob的交点 且m 0 k 0 所以oabc不是菱形 与假设矛盾 所以当点b不是w的顶点时 四边形oabc不可能是菱形 12分 返回 课时作业 1 2017 泰安质检 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x2 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是a 方程x2 ax b 0没有实根b 方程x2 ax b 0至多有一个实根c 方程x2 ax b 0至多有两个实根d 方程x2 ax b 0恰好有两个实根 答案 解析 因为 方程x2 ax b 0至少有一个实根 等价于 方程x2 ax b 0有一个实根或两个实根 所以该命题的否定是 方程x2 ax b 0没有实根 故选a 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 a 3 0 b 3 0 c 3 0 d 3 0 解得 3 k 0 6 当且仅当x y z时等号成立 答案 解析 a 都大于2b 至少有一个大于2c 至少有一个不小于2d 至少有一个不大于2 所以三个数中至少有一个不小于2 故选c 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 4 已知p3 q3 2 证明 p q 2 用反证法证明时 可假设p q 2 若a b r a b 1 求证 方程x2 ax b 0的两根的绝对值都小于1 用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1 即假设 x1 1 以下结论正确的是a 与 的假设都错误b 的假设正确 的假设错误c 与 的假设都正确d 的假设错误 的假设正确 答案 解析 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 对于 结论的否定是p q 2 故 中的假设错误 对于 其假设正确 故选d 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 a 都不大于 2b 都不小于 2c 至少有一个不大于 2d 至少有一个不小于 2 所以三者不能都大于 2 6 6 用反证法证明 若整系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有有理数根 那么a b c中至少有一个是偶数 用反证法证明时 下列假设正确的是 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 假设a b c都是偶数 假设a b c都不是偶数 假设a b c至多有一个偶数 假设a b c至多有两个偶数 答案 解析 至少有一个 的否定为 都不是 故 正确 6 7 2016 全国甲卷 有三张卡片 分别写有1和2 1和3 2和3 甲 乙 丙三人各取走一张卡片 甲看了乙的卡片后说 我与乙的卡片上相同的数字不是2 乙看了丙的卡片后说 我与丙的卡片上相同的数字不是1 丙说 我的卡片上的数字之和不是5 则甲的卡片上的数字是 答案 解析 1和3 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 由丙说 我的卡片上的数字之和不是5 可知 丙为 1和2 或 1和3 又乙说 我与丙的卡片上相同的数字不是1 所以乙只可能为 2和3 又甲说 我与乙的卡片上相同的数字不是2 所以甲只能为 1和3 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 若二次函数f x 0在区间 1 1 内恒成立 8 若二次函数f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1 在区间 1 1 内至少存在一点c 使f c 0 则实数p的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 证明 因为m 0 所以1 m 0 所以要证原不等式成立 只需证 a mb 2 1 m a2 mb2 即证m a2 2ab b2 0 即证 a b 2 0 而 a b 2 0显然成立 故原不等式得证 6 10 设f x ax2 bx c a 0 若函数f x 1 与f x 的图象关于y轴对称 求证 f x 为偶函数 证明 由函数f x 1 与f x 的图象关于y轴对称 可知f x 1 f x 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 1 证明 函数f x 在 1 上为增函数 证明 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 任取x1 x2 1 又 x1 1 0 x2 1 0 不妨设x10 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 故函数f x 在 1 上为增函数 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 2 用反证法证明方程f x 0没有负数根 证明 假设存在x0 0 x0 1 满足f x0 0 a 1 0 1 故方程f x 0没有负数根 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 1 f x 1 x x2 所以f x 1 x x2 证明 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 证明 6 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11