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第八章参数估计 用样本信息估计总体信息 抽样估计在统计方法中的地位 统计方法 描述统计 推断统计 假设检验 参数估计 概率理论 参数估计的方法 一 总体参数的点估计二 总体参数的区间估计 参数估计的方法 总体参数的点估计 点估计 概念要点 从总体中抽取一个样本 根据该样本的统计量对总体的未知参数作出一个数值点的估计例如 用样本均值作为总体未知均值的估计值就是一个点估计点估计没有给出估计值接近总体未知参数程度的信息点估计的方法有矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法等 用于估计总体某一参数的随机变量如样本均值 样本比例 样本中位数等例如 样本均值就是总体均值 的一个估计量如果样本均值 x 3 则3就是 的估计值所用的理论基础是抽样分布 估计量 概念要点 估计量 用于估计总体参数的随机变量如样本均值 样本比例 样本方差等例如 样本均值就是总体均值 的一个估计量参数用 表示 估计量用表示估计值 估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值 x 80 则80就是 的估计值 估计量与估计值 estimator estimatedvalue 估计量的优良性准则 无偏性 无偏性 估计量的数学期望等于被估计的总体参数 用数学式表示为 问题 x是总体平均值的无偏估计量吗 估计量的优良性准则 有效性 有效性 一个方差较小的无偏估计量称为一个更有效的估计量 如 与其他估计量相比 样本均值是一个更有效的估计量 估计量的优良性准则 一致性 一致性 随着样本容量的增大 估计量越来越接近被估计的总体参数如果一估计量是一致的 则采用大样本更可靠 否则会不必要的浪费 常见的估计量样本均值x样本方差S2 用n 1除的 样本标准差S样本成数n1 n 总体参数的区间估计 总体参数的区间估计 抽样误差范围的概率保证度 在确定允许的抽样误差范围后 从主观愿望说 希望抽样调查的结果 样本指标的估计值都能够落在允许的误差范围内 但这并非都能实现的事情 由于抽样指标值随着样本的变动而变动 它本身是个随机变量 因而抽样指标和总体指标的误差仍然是个随机变量 不能保证误差不超过一定范围的这件事是必然的 而只能给以一定程度的概率保证 抽样估计置信度就是表明抽样指标和总体指标的误差不超过一定范围的概率保证程度 落在总体均值某一区间内的样本 总体参数的区间估计 概念 总体参数区间的基本特点 是根据给定的概率保证程度的要求 利用实际抽样资料 指出总体被估计值的上限和下限 即指出总体参数可能存在的区间范围 换句话说 对于总体的被估计指标X 找出样本的两个估计量x1和x2 使被估计指标X落在区间 x1 x2 内的概率1 0 1 为已知的 即P x X x 1一 是给定的 我们称区间 x1 x2 为总体指标X的置信区间 其估计置信度为1一 称 为显著性水平 x1是置信下限 x2是置信上限 关于置信度或置信水平 置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平 1 例如 为了估计总体的平均值 我们抽取了100个样本 必然能得到100个区间 置信水平a说的是在这100个区间中 包含总体平均值的区间有 1 a 有a 不包含总体平均值 所以并不是所有的置信区间都包括等估计的总体参数 所以置信区间是一个随机区间表示为 1 为是总体参数未在区间内的比例 叫显著性水平常用的置信水平值有99 95 90 相应的 为0 01 0 05 0 10 关于置信区间 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数 所以给它取名为置信区间用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间 我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个 但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个 区间估计 intervalestimate 在点估计的基础上 给出总体参数估计的一个区间范围 该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如 某班级平均分数在75 85之间 置信水平是95 置信区间与置信水平 例如 均值的抽样分布 1 区间包含了 的区间未包含 记忆法 区间 估计值 概率度 估计量的标准差 已知抽样误差范围 求概率保证度 计算步骤是 首先抽取样本 计算抽样指标 如计算抽样平均数或抽样成数 作为相应总体指标的估计值 并计算样本标准差以推算抽样平均误差 其次 根据给定的抽样极限误差范围 估计总体指标的下限和上限 最后 将抽样极限误差除以抽样平均误差求出概率度t值 再根据t值查 正态分布概率表 求出相应的置信度F t 并对总体参数作区间估计 例 对某型号的电子元件进行耐用性能检查 抽查的资料分组列表如下 要求耐用时数的允许误差范围 x 10 5小时 试估计该批电子元件的平均耐用时数及其可能性 已知抽样误差范围 求概率保证度 应用 耐用时数 组中值 元件数 900以下900 950950 10001000 10501050 11001100 11501150 12001200以上 87592597510251075112511751225 1263543931 合计 100 解题思路平均耐用时数 马上想到公式 可选用哪一个呢 看方差是否已知 由于是估计的是该批即100个元件的而非该型号的 说明抽样的这100个是总体 其方差当然一算便知 故方差已知 所以选用第一个公式 而平均值一算便知 但公式右半部分呢 它其实就是误差范围 它是10 5已知的 从而平均布耐用时数求出来了 下面再求概率度z值 由于10 5 z 抽样平均值的标准差 z 51 91 10从而z 10 5 5 191 2 02 查正态分布表得F 2 02 0 9783 但我们所求为中间部分面积 故为0 9783 0 0217 0 9566 书中给出的概率度表其实就是这么算出来的 如请验证2 02的概率度表为0 9566 书P323页 已知给定的置信度要求 推算极限误差的可能范围 计算步骤是 首先抽取样本 计算抽样指标 作为相应总体指标的估计值 并计算样本标准差以推算抽样平均误差 其次 根据给定的置信度F t 要求 查表求得概率度t值 最后 根据概率度t和抽样平均误差来推算抽样极限误差的可能范围 再根据抽样极差求出被估计总体措标的上下限 对总体参数作区间估计 例 某纱厂某时期内生产了10万个单位的纱 按无返回纯 简单 随机抽样方式抽取2000个单位检验 检验结果合格率为95 废品率为5 试以95 的把握程度 估计全部纱合格品率的区间范围及合格品数量的区间范围 已知 区间下限 区间上限 一个总体参数的区间估计 总体均值的区间估计 正态总体 已知 或非正态总体 大样本 总体均值的区间估计 大样本 假定条件总体服从正态分布 且方差 未知如果不是正态分布 可由正态分布来近似 n 30 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 重复抽样 不重复抽样 总体均值的区间估计 例题分析 例 某种零件的长度服从正态分布 从某天生产一批零件中按重复抽样方法随机抽取9个 测得其平均长度为21 4cm 已知总体标准差为 0 15cm 试估计该批零件平均长度的置信区间 置信水平为95 解 已知 0 15cm n 9 x 21 4 1 95 即 21 4 0 098 21 302 21 498 该批零件平均长度的置信区间为21 302cm 21 498cm之间 总体均值的区间估计 例题分析 再如 已知 N 102 n 25 1 95 z 2 1 96 根据样本数据计算得 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 该食品平均重量的置信区间为101 44克 109 28克之 总体均值的区间估计 例题分析 例 一家保险公司收集到由36个投保个人组成的随机样本 得到每个投保人的年龄 周岁 数据如下表 试建立投保人年龄90 的置信区间 总体均值的区间估计 例题分析 解 已知n 36 1 90 z 2 1 645 根据样本数据计算得 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 投保人平均年龄的置信区间为37 37岁 41 63岁 总体均值的区间估计 正态总体 未知 小样本 总体均值的区间估计 小样本 假定条件总体服从正态分布 且方差 未知小样本 n 30 使用t分布统计量 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 t分布 t分布是类似正态分布的一种对称分布 它通常要比正态分布平坦和分散 一个特定的t分布依赖于称之为自由度的参数 随着自由度的增大 t分布也逐渐趋于正态分布 总体均值的区间估计 例题分析 例 已知某种灯泡的寿命服从正态分布 现从一批灯泡中随机抽取16只 测得其使用寿命 小时 如下 建立该批灯泡平均使用寿命95 的置信区间 总体均值的区间估计 例题分析 解 已知 N 2 n 16 1 95 t 2 2 131 根据样本数据计算得 总体均值 在1 置信水平下的置信区间为 该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476 8小时 1503 2小时 总体比例的区间估计 总体比例的区间估计 假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量 3 总体比例 在1 置信水平下的置信区间为 总体比例的区间估计 例题分析 例 某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例 随机抽取了100个下岗职工 其中65人为女性职工 试以95 的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间 解 已知n 100 p 65 1 95 z 2 1 96 该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55 65 74 35 区间估计的要点 弄清条件 均值 方差 已知还是未知 选好统计量 分布 单侧还是双侧查表求出区间 以前都讲的是对总体均值的估计当然还有对总体方差的估计 思想和步骤都同上当然以上全都是针对的单总体 事实还有双总体的估计 下面列出对单总体均值与方差的估计记忆表 区间估计 单总体 区间估计 单总体 区间估计 双总体 样本容量的确定 估计总体均值时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定估计两个总体均值之差时样本容量的确定估计两个总体比例之差时样本容量的确定 估计总体均值时样本容量的确定 估计总体均值时样本容量n为样本容量n与总体方差 2 边际误差E 可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与边际误差成反比与可靠性系数成正比 估计总体均值时样本容量的确定 其中 估计总体均值时样本容量的确定 例题分析 例 拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元 假定想要估计年薪95 的置信区间 希望边际误差为400元 应抽取多大的样本容量 估计总体均值时样本容量的确定 例题分析 解 已知 500 E 200 1 95 z 2 1 96 12 2