【6年高考4年模拟】高考数学 第十二章 概率与统计精品试题.doc

1 数学精品数学精品 2013 2013 版版 6 6 年高考年高考 4 4 年模拟年模拟 第十二章第十二章 概率与统计第一部分概率与统计第一部分 六年高考荟萃六年高考荟萃 20122012 年高考题年高考题 1 2012 辽宁理 在长为 12cm 的线段 ab 上任取一点 c 现作一矩形 领边长分别等于线 段 ac cb 的长 则该矩形面积小于 32cm2的概率为 a 1 6 b 1 3 c 2 3 d 4 5 答案 c 解析 设线段 ac 的长为xcm 则线段 cb 的长为 12x cm 那么矩形的面积为 12 xx cm2 由 12 32xx 解得48xx 或 又012x 所以该矩形面积小于 32cm2的概率为 2 3 故选 c 点评 本题主要考查函数模型的应用 不等式的解法 几何概型的计算 以及分析问题的 能力 属于中档题 2 2012 湖北理 如图 在圆心角为直角的扇形oab中 分别以oa ob 为直径作两个半圆 在扇形oab内随机取一点 则此点取自阴影部分 的概率是 a 2 1 b 11 2 c 2 d 1 考点分析 本题考察几何概型及平面图形面积求法 解析 令1 oa 扇形oab为对称图形 acbd围成面积为 1 s 围成oc为 2 s 作 对称轴od 则过c点 2 s即为以oa为直径的半圆面积减去三角形oac的 面积 8 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 s 在扇形oad中 2 1 s 为扇形面积 减去三角形oac面积和 2 2 s 16 2 28 1 1 8 1 2 2 2 1 ss 4 2 21 ss 扇形oab面积 4 1 s 选 a 3 2012 广东理 概率 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个 其个位数为 0 的概率是 a b c d 4 9 1 3 2 9 1 9 解析 d 两位数共有 90 个 其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有 45 个 个位数为 0 的有 5 个 所以概率为 51 459 2 4 2012 北京理 设不等式组表示的平面区域为 d 在区域 d 内随机取一个点 02 02 x y 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 a b c d 4 2 2 6 4 4 答案 d 解析 题目中表示的区域表示正方形区域 而动点可以存在的位置为正方形 02 02 x y d 面积减去四分之一的圆的面积部分 因此 故选 d 2 1 2 22 4 4 2 24 p 考点定位 本小题是一道综合题 它涉及到的知识包括 线性规划 圆的概念和面积公式 概率 5 2012 上海理 设 随机变量取值 4 4321 1010 xxxx 5 5 10 x 1 1 x 2 x 的概率均为 0 2 随机变量取值 的概 3 x 4 x 5 x 2 2 21 xx 2 32 xx 2 43 xx 2 54 xx 2 15 xx 率也为 0 2 若记 分别为 的方差 则 1 d 2 d 1 2 a b c 而迅即攻下 1 d 2 d 此题 6 2012 上海理 三位同学参加跳高 跳远 铅球项目的比赛 若每人都选择其中两个项 目 则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 结果用最简分数表示 解析 设概率p 则 求k 分三步 选二人 让他们选择的项目相 n k 27 2 3 2 3 2 3 cccn 同 有种 确定上述二人所选择的相同的项目 有种 确定另一人所选的项目 有 2 3 c 1 3 c 种 所以 故p 1 2 c18 1 2 1 3 2 3 ccck 3 2 27 18 7 2012 上海春 某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作 则244 在选出的志愿者中 男 女都有的概率为 结果用数值表示 14 15 8 2012 江苏 现有 10 个数 它们能构成一个以 1 为首项 为公比的等比数列 若从这3 10 个数中随机抽取一个数 则它小于8 的概率是 答案 3 5 考点 等比数列 概率 解析 以 1 为首项 为公比的等比数列的10 个数为 1 3 9 27 其中有 5 个负3 数 1 个正数 1 计 6 个数小于8 从这 10 个数中随机抽取一个数 它小于 8 的概率是 63 105 9 2012 新课标理 某个部件由三个元件按下图方式 连接而成 元件 1 或元件 2 正常工作 且元件 3 正常 工作 则部件正常工作 设三个电子元件的使用寿命 单位 小时 均服从正态分布 且各个 2 1000 50 n 元件能否正常相互独立 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 解析 使用寿命超过 1000 小时的概率为 3 8 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 2 1000 50 n 元件1 元件2 元件3 元件1 元件2 元件3 4 得 三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 1 2 p 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 2 1 3 1 1 4 pp 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 21 3 8 ppp 10 2012 天津理 现有 4 个人去参加某娱乐活动 该活动有甲 乙两个游戏可供参加者选 择 为增加趣味性 约定 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏 掷出 点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏 掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏 求这 4 个人中 恰有 2 人去参加甲游戏的概率 求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游 戏的人数的概率 用分别表示这 4 个人中去参加甲 乙游戏的人数 记 x y 求随机变量的分布列与数学期望 xy e 命题意图 本小题主要考查古典概型及其计算公式 互斥事件 事件的相互独立性 离散 型随机变量的分布列与数学期望等基础知识 考查运用概率知识解决简单实际问题的能 力 依题意 这 4 个人中 每个人去参加甲游戏的概率为 去参加乙游戏的概率为 设 这 4 个 1 3 2 3 人中恰有 人去参加甲游戏 为事件 则 i 0 1 2 3 4 i a i 4 4 12 33 iii i p ac 1 这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 222 24 128 3327 p ac 2 设 这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数 不事件 则 b 34 baa 由于与互斥 故 3 a 4 a 3344 3444 1211 3339 p bp ap acc 所以这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 1 9 3 的所有可能的取值为 由于与互斥 与互斥 故 0 2 4 1 a 3 a 0 a 4 a 21304 84017 0 2 4 278181 pp app ap app ap a 所以的分布列为 024 p 8 27 40 81 17 81 随机变量的数学期望 84017148 024 27818181 e 点评 应用性问题是高考命题的一个重要考点 近年来都通过概率问题来考查 且常考常新 对 5 于此类考题 要注意认真审题 从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质 将问题成功转 化为古典概型 独立事件 互斥事件等概率模型求解 因此对概率型应用性问题 理解是基础 转化是关键 11 2012 新课标理 某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝5 元的价格出售 如果当天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理 1 若花店一天购进枝1016 玫瑰花 求当天的利润 单位 元 关于当天需求量 单位 枝 的函数解析式 ynnn 2 花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得下表 以 100 天记录的各需求 量的频率作为各需求量发生的概率 i 若花店一天购进枝玫瑰花 表示当天的利润 单位 元 求的分布列 16xx 数学期望及方差 ii 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花 你认为应购进 16 枝还是 17 枝 请说明理由 解析 1 当时 16n 16 105 80y 当时 15n 55 16 1080ynnn 得 1080 15 80 16 nn ynn n 2 i 可取 x60 7080 60 0 1 70 0 2 80 0 7p xp xp x 的分布列为x x607080 p0 10 20 7 60 0 1 70 0 280 0 776ex 222 160 1 60 240 744dx ii 购进 17 枝时 当天的利润为 14 53 5 0 1 15 52 5 0 2 16 5 1 5 0 16 17 5 0 5476 4y 得 应购进 17 枝 76 476 12 2012 浙江理 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球 且规定 取出一个白球的 2 分 取出 一个黑球的 1 分 现从该箱中任取 无放回 且每球取到的机会均等 3 个球 记随机变量x 为取出 3 球所得分数之和 求x的分布列 求x的数学期望e x 解析 本题主要考察分布列 数学期望等知识点 x的可能取值有 3 4 5 6 3 5 3 9 5 3 42 c p x c 21 54 3 9 20 4 42 c c p x c 6 12 54 3 9 15 5 42 c c p x c 3 4 3 9 2 6 42 c p x c 故 所求x的分布列为 x3456 p 5 42 2010 4221 155 4214 21 4221 所求x的数学期望e x 为 e x 6 4 13 3 i i p xi 答案 见解析 13 3 13 2012 重庆理 本小题满分 13 分 小问 5 分 小问 8 分 甲 乙两人轮流投篮 每人每次投一球 约定甲先投且先投中者获胜 一直到有人获胜或每人 都已投球 3 次时投篮结束 设甲每次投篮投中的概率为 乙每次投篮投中的概率为 且各 1 3 1 2 次投篮互不影响 求甲获胜的概率 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 考点定位 本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率 考查运用概率 知识解决实际问题的能力 相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响 注意应用相互 独立事件同时发生的概率公式 解 设分别表示甲 乙在第次投篮投中 则 kk a bk 1 3 k p a 1 2 k p b 1 2 3k 1 记 甲获胜 为事件 c 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计 算公式知 111211223 p cp ap a b ap a b a b a 111211223 p ap a p b p ap a p b p ap bp a 22 1211211 3323323 11113 392727 2 的所有可能为 1 2 3 由独立性知 111 1212 1 3323 pp ap ab 22 1121122 211212 2 323329 pp a b ap a b a b 22 1122 211 3 329 pp a b a b 7 综上知 有分布列 123 p2 3 2 9 1 9 从而 次 22113 123 3999 e 14 2012 四川理 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 和 系统ab 和在任意时刻发生故障的概率分别为和 若在任意时刻至少有一个系统不ab 1 10 p 发生故障的概率为 求的值 设系统在 3 次相互独立的检测中不发生故障的 49 50 pa 次数为随机变量 求的概率分布列及数学期望 e 解析 1 设 至少有一个系统不发生故障 为事件 c 那么 1 1 p c 1 p 解得 p 4 分 10 1 50 49 5 1 2 由题意 p 0 1000 1 10 1 30 3 c p 1 1000 27 10 1 1 10 1 21 3 c p 2 1000 243 10 1 1 10 1 22 3 c p 3 1000 729 10 1 1 10 1 303 3 c 所以 随机变量的概率分布列为 0123 p1000 1 1000 27 1000 243 1000 729 故随机变量 x 的数学期望为 e 0 10 27 1000 729 3 1000 243 2 1000 27 1 1000 1 0 点评 本小题主要考查相互独立事件 独立重复试验 互斥事件 随机变量的分布列 数学 期望等概念及相关计算 考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力 15 2012 陕西理 某银行柜台设有一个服务窗口 假设顾客办理业务所需的时间互相独立 且都是整数分钟 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下 8 从第一个顾客开始办理业务时计时 1 估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率 2 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数 求的分布列及数学期望 xx 解析 设表示顾客办理业务所需的时间 用频率估计概率 得的分布列如下 yy y12345 p0 10 40 30 10 1 1 表示事件 第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务 则事件 a 对应三种情形 a 第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟 且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟 第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟 且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟 第 一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟 所以 1 3 3 1 2 2 p ap yp yp yp yp yp y 0 1 0 30 3 0 1 0 4 0 40 22 2 解法一 所有可能的取值为 x0 1 2 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟 0x 所以 0 2 0 5p xp y 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1x 1 分钟 或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟 所以 1 1 1 2 p xp yp yp y 0 1 0 90 40 49 对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟 2x 所以 2 1 1 0 1 0 10 01p xp yp y 所以的分布列为x x012 p0 50 490 01 0 0 5 1 0 492 0 010 51ex 解法二 所有可能的取值为 x0 1 2 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟 0x 所以 0 2 0 5p xp y 对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟 2x 所以 2 1 1 0 1 0 10 01p xp yp y 1 1 0 2 0 49p xp xp x 所以的分布列为x x012 p0 50 490 01 0 0 5 1 0 492 0 010 51ex 9 16 2012 山东理 先在甲 乙两个靶 某射手向甲靶射击一次 命中的概率为 命中得 1 3 4 分 没有命中得 0 分 向乙靶射击两次 每次命中的概率为 每命中一次得 2 分 没有命 2 3 中得 0 分 该射手每次射击的结果相互独立 假设该射手完成以上三次射击 求该射 手恰好命中一次得的概率 求该射手的总得分的分布列及数学期望 xex 解析 36 7 3 2 3 1 4 1 3 1 4 3 1 2 2 cp 5 4 3 2 1 0 x 9 1 3 2 3 1 4 1 2 12 1 3 1 4 3 1 36 1 3 1 4 1 0 1 2 22 cxpxpxp 3 1 3 2 4 3 5 9 1 3 2 4 1 4 3 1 3 2 3 1 4 3 3 221 2 xpxpcxp x012345 p 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 1 ex 0 1 2 3 4 5 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 1 12 5 3 12 41 17 2012 辽宁理 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况 随 机抽取了 100 名观众进行调查 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时 间的频率分布直方图 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 体育迷 根据已知条件完成下面的2 2 列联表 并据此资料你是否认为 体育迷 与性别 有关 将上述调查所得到的频率视为概率 现在从该地区大量电视观众中 采用随机抽 样方法每次抽取 1 名观众 抽取 3 次 记被抽取的 3 名观众中的 体育迷 人数为x 若每次抽 取的结果是相互独立的 求x的分布列 期望 e x和方差 d x 附 2 2 11221221 1212 n n nn n n n n n 10 答案及解析 i 由频率颁布直方图可知 在抽取的 100 人中 体育迷 有 25 人 从而 2 2 列联表如下 由 2 2 列联表中数据代入公式计算 得 因为 3 030 3 841 所以 没有理由认为 体育迷 与性别有关 ii 由频率颁布直方图知抽到 体育迷 的频率为 0 25 将频率视为概率 即从观众中抽取一 名 体育迷 的概率为 1 4 由题意 从而 x 的分布列为 点评 本题主要考查统计中的频率分布直方图 独立性检验 离散型随机变量的分布列 期望 e x和方差 d x 考查分析解决问题的能力 运算求解能力 难度适中 准确读取频率 分布直方图中的数据是解题的关键 18 2012 江西理 如图 从 a1 1 0 0 a2 2 0 0 b1 0 2 0 b2 0 2 0 c1 0 0 1 c2 0 0 2 这 6 个点中随机选取 3 个点 将这 3 个点及原点 o 两两相连构成一个 立体 记该 立体 的体积为随机变量 v 如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内 此时 立 体 的体积 v 0 11 1 求 v 0 的概率 2 求 v 的分布列及数学期望 解析 解 1 从 6 个点中随机地选取 3 个点共有种选法 选取的 3 个点与原点 o 在同一个平 3 6 20c 面上的选法有种 因此 v 0 的概率 13 34 12c c 123 0 205 p v 2 v 的所有可能值为 因此 v 的分布列为 1 1 2 4 0 6 3 3 3 v0 1 6 1 3 2 3 4 3 p 3 5 1 20 3 20 3 20 1 20 由 v 的分布列可得 ev 3111323419 0 562032032032040 点评 本题考查组合数 随机变量的概率 离散型随机变量的分布列 期望等 高考中 概 率解答题一般有两大方向的考查 一 以频率分布直方图为载体 考查统计学中常见的数据特 征 如平均数 中位数 频数 频率等或古典概型 二 以应用题为载体 考查条件概率 独立事 件的概率 随机变量的期望与方差等 来年需要注意第一种方向的考查 19 2012 江苏 设为随机变量 从棱长为1 的正方体的12 条棱中任取两条 当两条棱相交时 当两条棱平行时 的值为两条棱之间的距离 当两条棱异面时 1 求概率0 1 2 求的分布列 并求其数学期望 0 p e 答案 解 1 若两条棱相交 则交点必为正方体 8 个顶点中的一个 过任意 1 个顶点恰有 3 条棱 共有对相交棱 2 3 8c 2 3 2 12 88 34 0 6611 c p c 2 若两条棱平行 则它们的距离为 1 或 其中距离为的共有6 对 22 12 2 12 661 2 6611 p c 416 1 1 0 2 1 1111 11 ppp 随机变量的分布列是 01 2 p 4 11 6 11 1 11 其数学期望 6162 12 111111 e 考点 概率分布 数学期望等基础知识 解析 1 求出两条棱相交时相交棱的对数 即可由概率公式求得概率 0 p 2 求出两条棱平行且距离为的共有6 对 即可求出 从而求出 两条棱平2 2 p 1 p 行且距离为 1 和两条棱异面 因此得到随机变量的分布列 求出其数学期望 20 2012 湖南理 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随机收集 了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据 如下表所示 一次购物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件及以上 顾客数 人 x 3025 y 10 结算时间 分钟 人 11 522 53 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55 确定 x y 的值 并求顾客一次 购物的结算时间 x 的分布列与数学期望 若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结 算 且各顾客的结算相互独立 求该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率 注 将频率视 为概率 1 解析 1 由已知 得所以 251055 35 yxy 15 20 xy 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 所以收集的 100 位顾客一次购物的结算 时间可视为总体的一个容量随机样本 将频率视为概率得 153303251 1 1 5 2 10020100101004 p xp xp x 201101 2 5 3 100510010 p xp x 的分布为x x11 522 53 p 3 20 3 10 1 4 1 5 1 10 x 的数学期望为 33111 11 522 531 9 20104510 e x 13 记 a 为事件 该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟 为该顾客前面第 位 1 2 i x i i 顾客的结算时间 则 121212 11 11 5 1 51 p ap xxp xxp xx 且且且 由于顾客的结算相互独立 且的分布列都与 x 的分布列相同 所以 12 xx 121212 1 1 1 1 5 1 5 1 p ap xp xp xp xp xp x 3333339 20202010102080 故该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率为 9 80 点评 本题考查概率统计的基础知识 考查分布列及数学期望的计算 考查运算能力 分析 问题能力 第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55 知 从而解得 计算每一个变量对应的概率 从而求得分2510100 55 35 yxy x y 布列和期望 第二问 通过设事件 判断事件之间互斥关系 从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率 22 2012 湖北理 根据以往的经验 某工程施工期间的降水量x 单位 mm 对工期的影响如 下表 历年气象资料表明 该工程施工期间降水量x小于 300 700 900 的概率分别为 0 3 0 7 0 9 求 工期延误天数y的均值与方差 在降水量x至少是300的条件下 工期延误不超 过 6 天的概率 考点分析 本题考察条件概率 离散型条件概率分布列的期望与方差 解析 由已知条件和概率的加法公式有 300 0 3 p x 300700 700 300 0 70 30 4pxp xp x 700900 900 700 0 90 70 2pxp xp x 900 1 900 10 90 1p xp x 所以y的分布列为 于是 00 320 460 2100 13e y 2222 03 0 3 23 0 4 63 0 2 103 0 19 8d y 故工期延误天数y的均值为 3 方差为9 8 降水量x300x 300700x 700900x 900x 工期延误天数y 02610 y02610 p0 30 40 20 1 14 由概率的加法公式 300 1 300 0 7p xp x 又 300900 900 300 0 90 30 6pxp xp x 由条件概率 得 6300 900300 p yxp xx 300900 0 66 300 0 77 px p x 故在降水量x至少是300mm 的条件下 工期延误不超过 6 天的概率是 6 7 23 2012 广东理 概率统计 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示 其中成绩分组区间是 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 求图中的值 从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人 该x 2 人中成绩在 90 分以上 含 90 分 的人数记为 求的数学期望 解析 由 解得 0 006 30 010 054101x 0 018x 分数在 的人数分别是人 人 所 80 90 90 100500 018 109 500 006 103 以的取值为 0 1 2 所以 02 39 2 12 366 0 6611 c c p c 11 39 2 12 279 1 6622 c c p c 20 39 2 12 31 2 6622 c c p c 的数学期望是 691111 012 112222222 e 24 2012 福建理 受轿车在保修期内维修费等因素的影响 企业生产每辆轿车的利润与该 轿车首次出现故障的时间有关 某轿车制造厂生产甲 乙两种品牌轿车 保修期均为 2 年 现 从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆 统计书数据如下 品牌甲乙 首次出现故障时间年x01x 12x 2x 02x 2x 轿车数量 辆 2345545 每辆利润 万元 123 1 82 9 将频率视为概率 解答下列问题 i 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆 求首次出现故 障发生在保修期内的概率 ii 若该厂生产的轿车均能售出 记住生产一辆甲品牌轿车的利润 为 生产一辆乙品牌轿车的利润为 分别求的分布列 1 x 2 x 12 xx iii 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当 由于资金限制 只能生产其中一种品牌轿车 若 从经济效益的角度考虑 你认为应该产生哪种品牌的轿车 说明理由 考点定位 本题主要考查古典概型 互斥事件的概率 离散型随机变量的分布列 数学期 望等基础知识 考查数据处理能力 应用意识 考查必然与或然思想 15 解 1 设 品牌轿车甲首次出现故障在保修期内 为事件 则 a 231 5010 p a 2 依题意的分布列分别如下 12 xx 1 x 123 p 1 25 3 50 9 10 3 由 2 得 1 139 1232 86 255010 e x 2 19 1 82 92 79 1010 e x 所以应生产甲品牌的轿车 12 e xe x 25 2012 大纲理 乒乓球比赛规则规定 一局比赛 双方比分在 10 平前 一方连续发球 2 次 后 对方再连续发球 2 次 依次轮换 每次发球 胜方得 1 分 负方得 0 分 设在甲 乙的比 赛中 每次发球 发球方得 1 分的概率为 各次发球的胜负结果相互独立 甲 乙的一0 6 局比赛中 甲先发球 1 求开始第 4 次发球时 甲 乙的比分为 1 比 2 的概率 2 表示开始第 4 次发球时乙的得分 求的期望 命题意图 本试题主要是考查了独立事件的概率的求解 以及分布列和期望值的问题 首先 要理解发球的具体情况 然后对于事件的情况分析 讨论 并结合独立事件的概率求解结 论 解 记 i a 为事件 第 i 次发球 甲胜 i 1 2 3 则 123 0 6 0 6 0 4p ap ap a 事件 开始第次发球时 甲 乙的比分为 比 为 123123123 a a aa a aa a a 由互412 斥事件有一个发生的概率加法公式得 123123123 p a a aa a aa a a 0 6 0 4 0 60 4 0 6 0 60 4 0 4 0 4 0 352 即开始第次发球时 甲 乙的比分为 比的概率为 0 352 412 由题意 0 1 2 3 123 0 0 6 0 6 0 40 144pp a a a 123123123 1 pp a a aa a aa a a 0 4 0 6 0 40 6 0 4 0 40 6 0 6 0 6 0 408 2 0 352p 123 3 0 4 0 4 0 60 096pp a a a 所以 0 4082 0 3523 0 0961 4e 点评 首先从试题的选材上来源于生活 同学们比较熟悉的背景 同时建立在该基础上求解 2 x1 82 9 p 1 10 9 10 16 进行分类讨论的思想的运用 以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题 情景比较亲 切 容易入手 但是在讨论情况的时候 容易丢情况 26 2012 年高考 北京理 近年来 某市为促进生活垃圾的分类处理 将生活垃圾分为厨 余垃圾 可回收物和其他垃圾三类 并分别设置了相应的垃圾箱 为调查居民生活垃圾分 类投放情况 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾 数据统计如下 单位 吨 厨余垃圾 箱 可回收物 箱 其他垃圾 箱 厨余垃圾 400100100 可回收物 3024030 其他垃圾 202060 1 试估计厨余垃圾投放正确的概率 2 试估计生活垃圾投放错误的概率 3 假设厨余垃圾在 厨余垃圾 箱 可回收物 箱 其他垃圾 箱的投放量分别为 其 a b c 中 当数据的方差最大时 写出的值 结论不要求证明 并0a 600abc a b c 2 s a b c 求此时的值 2 s 注 方差 其中为的平均数 2222 12 1 n sxxxxxx n x 12 n x xx 考点定位 此题的难度集中在第三问 其他两问难度不大 第三问是对能力的考查 不要求 证明 即不要求说明理由 但是要求学生对方差意义的理解非常深刻 1 由题意可知 4002 6003 2 由题意可知 200 60 403 100010 3 由题意可知 2222 1 120000 3 sabc 因此有当600a 0b 0c 时 有 2 80000s 27 2012 安徽理 某单位招聘面试 每次从试题库随机调用一道试题 若调用的是类型试a 题 则使用后该试题回库 并增补一道类试题和一道类型试题入库 此次调题工作结ab 束 若调用的是类型试题 则使用后该试题回库 此次调题工作结束 试题库中现共有b 道试题 其中有道类型试题和道类型试题 以表示两次调题工作完成nm nambx 后 试题库中类试题的数量 求的概率 设 求的分布列和a2xn mn x 均值 数学期望 解析 i 表示两次调题均为类型试题 概率为 2xn a 1 2 nn mnmn 时 每次调用的是类型试题的概率为 mn a 1 2 p 随机变量可取 x 1 2n nn 2 1 1 4 p xnp 1 1 2 1 2 p xnpp 2 1 2 4 p xnp 17 xn1n 2n p 1 4 1 2 1 4 111 1 2 1 424 exnnnn 答 的概率为 2xn 1 2 nn mnmn 求的均值为 x1n 20112011 年高考题年高考题 1 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 9 9 有 5 本不同的书 其中语文书 2 本 数学书 2 本 物理书 1 本 若 将其随机的并排摆放到书架的同一层上 则同一科目的书都不相邻的概率 a b c d 1 5 2 5 3 5 4 5 答案答案 b 解析解析 由古典概型的概率公式得 5 22 1 5 5 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 a aaaaaa p 2 2 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 5 5 从 1 2 3 4 5 中任取 2 各不同的数 事件a 取到的 2 个数之和为偶数 事件b 取到的 2 个数均为偶数 则p b a a b c d 1 8 1 4 2 5 1 2 3 3 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 4 4 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个 小组 每位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 a 1 3 b 1 2 c 2 3 d 3 4 解析 因为甲乙两位同学参加同一个小组有 3 种方法 两位同学个参加一个小组共有 种方法 所以 甲乙两位同学参加同一个小组的概率为933 3 1 9 3 点评 本题考查排列组合 概率的概念及其运算和分析问题 解决问题的能力 18 解析解析 d d 由题得甲队获得冠军有两种情况 第一局胜或第一局输第二局胜 所以甲队获得由题得甲队获得冠军有两种情况 第一局胜或第一局输第二局胜 所以甲队获得 冠军的概率冠军的概率所以选所以选 d d 4 3 2 1 2 1 2 1 p 5 2011 2011 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 7 7 如图 用 k a1 a2三类不同的元件连成一个系统 当 k 正常 工作且 a1 a2至少有一个正常工作时 系统正常工作 已知 k a1 a2正常工作的概率依次为 0 9 0 8 0 8 则系统正常工作的概率为 a 0 960b 0 864c 0 720d 0 576 答案 b 解析 系统正常工作概率为 所以选 b 1 2 0 90 8 10 8 0 90 80 80 864c 6 2011 2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 10 10 甲乙两人一起去 2011 西安世园会 他们约定 各自独立 地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览 每个景点参观 1 小时 则最后一小时他们同在一个 景点的概率是 a b c d 1 36 1 9 5 36 1 6 答案 d 解析 各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览有种 且等 11111111 66554433 c c c c c c c c 可能 最后一小时他们同在一个景点有种 则最后一小时他们同在一个景 1111111 6554433 c c c c c c c 点的概率是 故选 d 1111111 6554433 11111111 66554433 1 6 c c c c c c c p c c c c c c c c 7 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 12 12 在集合 1 2 3 4 5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原 点为起点的向量 a a a b 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行 四边形 记所有作成的平行四边形的个数为n 其中面积不超过4的平行四边形的个数为m 则 m n a 4 15 b 1 3 c 2 5 d 2 3 答案 b 19 解析 基本事件 其 2 6 2 1 2 3 2 5 4 1 4 5 4 3 23 515nc 从选取个 中面积为 2 的平行四边形的个数 其中面积为 4 的平行四边 2 3 4 5 2 1 4 3 2 1 4 1 形的为 m 3 2 5 故 2 3 2 5 2 1 2 3 51 153 m n 8 2011 2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 4 4 如图 矩形 abcd 中 点 e 为边 cd 的中点 若在矩形 abcd 内 部随机取一个点 q 则点 q 取自 abe 内部的概率等于 a b 1 4 1 3 c d 1 2 2 3 答案 c 二 填空题二 填空题 1 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 15 15 某毕业生参加人才招聘会 分别向甲 乙 丙三个公司投递 了个人简历 假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 得到乙 丙两公司面试的概率为 2 3 p 且三个公司是否让其面试是相互独立的 记为该毕业生得到面试得公司个数 若 则随机变量的数学期望 1 0 12 p e 答案 5 3 解析 的取值为 0 1 2 3 2 21 0 1 1 312 pp 1 2 p 1 0 12 p 2 212 1121 14 1 1 1 1 1 1 323 2232 212 p 2 1121 12 1 15 2 1 1 1 3 2232 23 2 212 p 2 1 12 3 3 2 212 p 故 14525 0123 121212123 e 2 2011 2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 12 12 小波通过做游戏的方式来确定周末活动 他随机地往单位圆 内投掷一点 若此点到圆心的距离大于 则周末去看电影 若此点到圆心的距离小于 1 2 1 4 则去打篮球 否则 在家看书 则小波周末不在家看书的概率为 答案 13 16 解析 小波周末不在家看书包含两种情况 一是去看电影 二是去打篮球 所以小波周末不 20 在家看书的概率为 1 416 13 16 3 2011 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 15 15 如图 4 efgh 是以 o 为圆心 半径为 1 的圆内 接正方形 将一颗豆子随机地扔到该圆内 用 a 表示事件 豆子落在正方形 efgh 内 b 表示事件 豆子落在扇形 ohe 阴影部分 内 则 1 ap 2 abp 答案 2 ap 4 1 abp 解析 1 是几何概型 2 是条件概率 2 圆 正 s s ap 4 1 ap abp abp 评析 本小题主要考查几何概型与条件概率的计算 4 2011 2011 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 12 12 在 30 瓶饮料中 有 3 瓶已过了保质期 从这 30 瓶饮料中任 取 2 瓶 则至少取到 1 瓶已过保质期的概率为 结果用最简分数表示 答案 28 145 解析 因为 30 瓶饮料中未过期饮料有 30 3 27 瓶 故其概率为 2 27 2 30 28 1 145 c p c 5 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 13 13 将一枚均匀的硬币投掷 6 次 则正面出现的次数比反面出现 的次数多的概率为 解析 硬币投掷 6 次 有三类情况 正面次数比反面次数多 反面次数比正面次 11 32 数多 正面次数而后反面次数一样多 概率为 的概率显 33 3 6 115 2216 c 然相同 故 的概率为 5 1 11 16 232 6 2011 2011 年高考安徽卷江苏年高考安徽卷江苏 5 5 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 则其中一个数 是另一个的两倍的概率是 答案 1 3 解析 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 所有可能的取法有 6 种 满足 其 中一个数是另一个的两倍 的所有可能的结果有 1 2 2 4 共 2 种取法 所以其中一个数是 21 另一个的两倍的概率是 21 63 7 2011 2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 13 13 盒中装有形状 大小完全相同的 5 个球 其中红色球 3 个 黄色球 2 个 若从中随机取出 2 个球 则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 答案 3 5 8 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 9 9 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表 请小牛同学计算的数学期望 尽管 处无法完全看清 且两个 处字迹模糊 但能肯 定这两个 处的数值相同 据此 小牛给出了正确答案 e 答案 2 9 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 12 12 随机抽取 9 个同学中 至少有 2 个同学在同一月出生的概率 是 默认每月天数相同 结果精确到 0 001 答案 0 985 三 解答题三 解答题 1 1 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 18 18 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 红队队员甲 乙 丙与蓝队队员红队队员甲 乙 丙与蓝队队员 a a b b c c 进行围棋比赛 甲对进行围棋比赛 甲对 a a 乙对 乙对 b b 丙对 丙对 c c 各一盘 各一盘 已知甲胜已知甲胜 a a 乙胜 乙胜 b b 丙胜 丙胜 c c 的概率分别为的概率分别为 0 6 0 5 0 50 6 0 5 0 5 假设各盘比赛结果相互独立 假设各盘比赛结果相互独立 求红队至少两名队员获胜的概率 求红队至少两名队员获胜的概率 用 用表示红队队员获胜的总盘数 求表示红队队员获胜的总盘数 求的分布列和数学期望的分布列和数学期望 e 解析 红队至少两名队员获胜的概率为0 6 0 5 0 5 2 0 4 0 5 0 5 0 55 0 6 0 5 0 5 取的可能结果为 0 1 2 3 则 0 1 0 p 0 4 0 5 0 5 0 35 1 p 0 6 0 5 0 5 0 4 0 5 0 5 0 4 0 5 0 5 321 p x x 22 0 4 2 p 0 6 0 5 0 5 2 0 4 0 5 0 5 0 15 3 p 0 6 0 5 0 5 所以的分布列为 0123 p0 10 350 40 15 数学期望 0 0 1 1 0 35 2 0 4 3 0 15 1 6 e 2 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 19 19 本小题满分 12 分 某农场计划种植某种新作物 为此对这种作物的两个品种 分别称为品种甲和品种乙 进行田间试验 选取两大块地 每大块地分成 n 小块地 在总共 2n 小块地中 随机选 n 小块 地种植品种甲 另外 n 小块地种植品种乙 i 假设 n 4 在第一大块地中 种植品种甲的小块地的数目记为 x 求 x 的分布列和 数学期望 ii 试验时每大块地分成 8 小块 即 n 8 试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块 地上的每公顷产量 单位 kg hm2 如下表 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差 根据试验结果 你认为应该 种植哪一品种 附 样本数据 x1 x2 xa的样本方差 其 222 2 11 1 n sxxxxxx n 中为样本平均数 x i x 可能的取值为 0 1 2 3 4 且 23 4 8 13 44 4 8 22 44 4 8 31 44 4 8 4 8 11 0 70 8 1 35 18 2 35 8 3 35 11 4 70 p x c c c p x c c c p x c c c p x c p x c 即 x 的分布列为 x01234 p 1 70 8 35 18 35 8 35 1 70 x 的数学期望是 181881 012342 7035353570 e x ii 品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 22222222 1 403397390404388400412406 400 8 1 3 3 10 4 12 0126 57 25 8 x s 甲 甲 8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为 222222222 1 419403412418408423400413 412 8 1 7 9 06 4 11 12 1 56 8 x s 乙 乙 10 分 由以上结果可以看出 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数 且两品种的样本 方差差异不大 故应该选择种植品种乙 3 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 20 20 本小题满分 13 分 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务 每次只派一个人进去 且每个 人只派一次 工作时间不超过 10 分钟 如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出 再派 下一个人 现在一共只有甲 乙 丙三个人可派 他们各自能完成任务的概率分别 p pp 假设互不相等 且假定各人能否完成任务的事件相互独立 p pp 24 如果按甲在先 乙次之 丙最后的顺序派人 求任务能被完成的概率 若改变三个 人被派出的先后顺序 任务能被完成的概率是否发生变化 若按某指定顺序派人 这三个人各自能完成任务的概率依次为 其中 q q q 是的一个排列 求所需派出人员数目的分布列和均值 数字期望 q q q p pp x ex 假定 试分析以怎样的先后顺序派出人员 可使所需派出的人员数ppp 目的均值 数字期望 达到最小 命题意图 本题考查相互独立事件的概率计算 考查离散型随机变量及其分布列 均值 等基本知识 考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力 合情推理与演绎推理 分类讨论思想 应用意识与创新意识 解析 无论怎