高中数学 第三章 概率 3.3.2 均匀随机数的产生课件2 新人教A版必修3.ppt

3 3 2均匀随机数的产生 知识提炼 1 均匀随机数的定义如果试验的结果是区间 a b 内的任何一个实数 而且出现任何一个实数是 则称这些实数为均匀随机数 2 均匀随机数的特征 1 随机数是在 内产生的 2 在这个范围内的每一个数被取到的可能性 等可能的 一定范围 相等 3 均匀随机数的产生 1 计算器产生区间 0 1 上的均匀随机数的函数是 2 excel软件产生区间 0 1 上的均匀随机数的函数为 3 产生方法 由几何概型产生 由转盘产生 由 或 产生 rand rand 计算器 计算机 4 用模拟方法近似计算某事件概率的方法 1 试验模拟法 做两个转盘模型 进行模拟试验 并统计试验效果 进行近似计算 2 计算机模拟法 用excel软件产生 0 1 上的均匀随机数进行模拟 注意操作步骤 即时小测 1 思考下列问题 1 随机数只能用计算器或计算机产生 提示 错误 随机数还可以通过转盘等其他方法产生 2 计算机或计算器只能产生 0 1 的均匀随机数 对于试验结果在 2 5 上的数 无法用均匀随机数进行模拟估计试验 提示 错误 通过变量变换可以产生 2 5 上的均匀随机数 2 设x是 0 1 内的一个均匀随机数 经过变换y 2x 3 则x 对应变换成的均匀随机数是 a 0b 2c 4d 5 解析 选c 当x 时 y 2 3 4 3 如图 矩形长为6 宽为4 在矩形内随机地撒300颗黄豆 数得落在椭圆外的黄豆数为96颗 以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 a 7 68b 8 68c 16 32d 17 32 解析 选c 矩形的面积s 6 4 24 设椭圆的面积为s1 在矩形内随机地撒黄豆 黄豆落在椭圆内为事件a 则解得s1 16 32 4 在区间 1 2 上随机取一个数x 则x 0 1 的概率为 解析 1 2 的长度为3 0 1 的长度为1 所以所求概率是答案 5 b1是 0 1 上的均匀随机数 b 3 b1 2 则b是区间上的均匀随机数 解析 0 b1 1 则函数b 3 b1 2 的值域是 6 b 3 即b是区间 6 3 上的均匀随机数 答案 6 3 知识探究 知识点随机数的理解和产生方法观察图形 回答下列问题 问题1 将均匀的粒子撒在正方形中 你能判断粒子落在四个图中的阴影部分区域的概率的大小关系吗 问题2 x是 a b 上的均匀随机数 那么x的取值是连续的 还是离散的 总结提升 1 均匀随机数与整数值随机数的异同点 1 相同点 随机产生的随机数 在一定的 区域 长度上出现的几率是均等的 2 不同点 整数值随机数是离散的单个整数值 相邻两个整数值随机数的步长为1 而均匀随机数是小数或整数 是连续的 相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的 2 a b 上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生0 1之间的均匀随机数x1 rand 然后利用伸缩和平移变换 x x1 b a a就可以得到 a b 内的均匀随机数 试验的结果是 a b 上的任何一个实数 并且任何一个实数的出现都是等可能的 题型探究 类型一用随机模拟方法估计长度型几何概型 典例 1 将区间 0 1 内的均匀随机数a1 转化为 3 4 内的均匀随机数a 需要实施的变换为 a a 7a1b a 7a1 3c a 7a1 3d a 4a12 取一根长度为3m的绳子 拉直后在任意位置剪断 用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1m的概率 解题探究 1 典例1中 如果试验的基本事件构成的总区域为 a b 如何产生 a b 上的随机数 进行模拟试验 提示 先利用计算器或计算机随机函数产生 0 1 上的均匀随机数x 再利用变换公式y b a x a 得到 a b 上的随机数 2 典例2中 利用模拟方法对长度型几何概型进行概率估计的关键是什么 对于本题应如何理解 提示 1 关键是先设计模拟方案 然后利用计算机或计算器产生随机数 2 在任意位置剪断绳子 则剪断位置到某一端点的距离取遍 0 3 内的任意数 并且取到每一个实数都是等可能的 因此在任意位置剪断绳子的所有结果 基本事件 对应 0 3 上的均匀随机数 其中取得的 1 2 内的随机数就表示剪断位置与端点距离在 1 2 内 也就是剪得两段的长都不小于1m 这样取得的 1 2 内的随机数个数与 0 3 内的随机数个数之比就是事件发生的频率 解析 1 选c 因为a1 0 1 所以0 7a1 7 3 7a1 3 4 所以a 7a1 3满足题意 2 方法一 设 剪得两段长都不小于1m 为事件a 1 利用计算器或计算机产生一组 0 1 的均匀随机数a1 rand 2 经过伸缩变换 a 3a1 3 统计出 1 2 内随机数的个数n1和 0 3 内随机数的个数n 4 计算频率fn a 即为概率p a 的近似值 方法二 做一个带有指针的圆盘 把圆周三等分 标上刻度 0 3 这里3和0重合 转动圆盘记下指针指在 1 2 表示剪断绳子位置在 1 2 范围内 的次数n1及试验总次数n 则fn a 即为概率p a 的近似值 方法技巧 用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的步骤 1 利用计算器或计算机产生一组 0 1 上的均匀随机数a1 rand 2 经过平移和伸缩变换y b a x a 得到一组 a b 上的均匀随机数 3 统计出试验总次数n和满足所求概率事件的随机数个数n1 4 计算频率fn a 即为所求概率的近似值 提醒 用随机模拟的方法估计事件的概率 首先要确定所求的几何概型与哪个量有关系 然后产生相应的随机数 并严格按照试验步骤进行 变式训练 1 b1是 0 1 上的均匀随机数 b 6 b1 0 5 则b是区间上的均匀随机数 解析 当b1 0时 b 3 当b1 1时 b 3 答案 3 3 2 在长为12cm的线段ab上任取一点m 并以线段am为边作正方形 用随机模拟方法求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率 解题指南 正方形的面积只与边长有关 此题可以转化为在12cm长的线段上取一点m 求使得am的长度介于6cm与9cm之间的概率 解析 步骤 1 用计算机产生一组 0 1 内的均匀随机数 a1 rand 2 经过伸缩变换 a 12a1得到 0 12 内的均匀随机数 3 统计试验总次数n和 6 9 内随机数的个数n1 4 计算频率记事件a 面积介于36cm2与81cm2之间 边长介于6cm与9cm之间 则p a 的近似值为 类型二用随机模拟方法估计面积型几何概型 典例 1 2014 重庆高考 某校早上8 00开始上课 假设该校学生小张与小王在早上7 30 7 50之间到校 且每人在该时间段内的任何时刻到校是等可能的 则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 用数字作答 2 解放军某部队进行特种兵跳伞演习 如图所示 在长为16m 宽为14m的矩形内有大 中 小三个同心圆 其半径分别为1m 2m 5m 若着陆点在圆环b内 则跳伞成绩为合格 若着陆点在环状的阴影部分 则跳伞成绩为良好 若跳伞者的着陆点在小圆a内 则跳伞成绩为优秀 否则为不合格 若一位特种兵随意跳下 假设他的着陆点在矩形内 利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率 解题指南 1 典例1中 用随机模拟方法估计面积型几何概型与长度型几何概型有何区别 提示 用随机模拟方法估计长度型几何概型只需产生一组均匀随机数 而面积型几何概型需产生两组均匀随机数 2 典例2中 利用随机模拟方法对面积型几何概型进行概率估计的关键是什么 对于本题应如何理解 提示 1 关键是利用两组均匀随机数 分别表示横坐标 纵坐标 确定点的位置 2 本题为面积型几何概型 所求的概率为面积之比 若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比 要表示平面图形内的点必须有两个坐标 故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置 解析 1 设小张与小王到校的时刻分别为7 30之后x y分钟 则由题意知小张比小王至少早5分钟到校需满足y x 5 其中0 x 20 0 y 20 所有的基本事件构成的区域为一个边长为20的正方形 随机事件 小张比小王至少早5分钟到校 构成的区域为阴影部分 由几何概型的概率公式可知 其概率为答案 2 设事件a表示 该特种兵跳伞的成绩为良好 1 利用计算器或计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数 a1 rand b1 rand 2 经过伸缩和平移变换 a 16a1 8 b 14b1 7 得到 8 8 与 7 7 上的均匀随机数 3 统计满足 8 a 8 7 b 7的点 a b 的个数n 满足1 a2 b2 4的点 a b 的个数n1 4 计算频率fn a 即为所求概率的近似值 延伸探究 若本例2中条件不变 如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为不合格的概率 解题指南 可用点的个数比来求概率 要表示平面图形内的点必须有两个坐标 故可产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置 解析 设事件a表示 该特种兵跳伞的成绩不合格 1 利用计算器或计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数 a1 rand b1 rand 2 经过伸缩和平移变换 a 16a1 8 b 14b1 7 得到 8 8 与 7 7 上的均匀随机数 3 统计满足 825的点 a b 的个数n1 4 计算频率fn a 即为所求概率的近似值 方法技巧 利用均匀随机数求几何概型的概率的三点考虑 1 确定所需产生的随机数组 如长度型 角度型 一维 只需产生一组均匀随机数 面积型 二维 需要产生两组均匀随机数 体积型 三维 则需要产生三组均匀随机数 2 由所有基本事件总数 基本事件空间 对应的区域确定产生随机数的范围 3 由事件a发生的条件确定随机数应满足的关系式 变式训练 利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积 并估计 的近似值 解题指南 用随机模拟的方法可以估算点落在圆内的概率为 这样就可以计算圆的面积 应用圆面积公式可得s圆 r2 所以上面求得的s圆的近似值即为 的近似值 解析 1 利用计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数 a1 rand b1 rand 2 经过平移和伸缩变换 a 2 a1 0 5 b 2 b1 0 5 得到两组 1 1 上的均匀随机数 3 统计试验总数n和点落在圆内的次数n1 满足a2 b2 1的点 a b 数 4 计算频率即为点落在圆内的概率近似值 5 设圆的面积为s 则由几何概型概率公式得即则即为圆面积的近似值 又s圆 r2 则即为圆周率 的近似值 补偿训练 假设小王家订了一份报纸 送报人可能在早上6点 8点之间把报纸送到 小王每天离家去工作的时间在早上7点 9点之间 1 小王离家前不能看到报纸 称事件a 的概率是多少 2 请设计一种随机模拟的方法近似计算事件a的概率 包括手工的方法或用计算器 计算机的方法 解析 1 如图 设送报人到达的时间为x 小王离家去工作的时间为y x y 可以看成平面中的点 试验的全部结果所构成的区域为 x y 6 x 8 7 y 9 是一个正方形区域 面积为s 4 事件a表示小王离家前不能看到报纸 所构成的区域为a x y 6 x 8 7 y 9 x y 即图中的阴影部分 面积为sa 0 5 这是一个几何概型 所以p a sa s 0 5 4 0 125 答 小王离家前不能看到报纸的概率是0 125 2 用计算机产生随机数模拟试验 x是0 1之间的均匀随机数 y也是0 1之间的均匀随机数 各产生100个 依序计算 如果满足2x 6 2y 7 那小王离家前不能看到报纸 统计共有m个 则m 100即为估计的概率 类型三用随机模拟方法近似计算不规则图形的面积 典例 1 2014 福建高考 如图 在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子 有180粒落到阴影部分 据此估计阴影部分的面积为 2 利用随机模拟法计算图示的由曲线y 2x与x轴 x 1围成的阴影部分的面积 解题探究 1 利用随机模拟方法求概率的实质是什么 提示 利用随机模拟方法求概率 实质是先求频率 用频率近似代替概率 2 利用随机模拟近似计算不规则图形的面积时的关键是什么 提示 关键是先计算与之相应的规则图形的面积 然后利用随机模拟的方法求出几何概率 并对阴影部分的面积进行估算 解析 1 设阴影部分的面积为s 随机撒1000粒豆子 每粒豆子落在正方形内任何一点是等可能的 落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比 即所以可以估计阴影部分的面积为0 18 答案 0 18 2 利用计算机产生两组0 1之间的均匀随机数 a1 rand b1 rand 进行平移和伸缩变换 a 2 a1 0 5 b 2b1 得到一组 1 1 上的均匀随机数和一组 0 2 上的均匀随机数 统计试验总次数n和落在阴影内的次数n1 满足条件b 2a 的点 a b 计算频率 即为点落在阴影部分的概率的近似值 用几何概型的求概率公式求得点落在阴影部分的概率为所以所以即为阴影部分面积的近似值 方法技巧 利用随机模拟方法估计图形面积的步骤 1 把已知图形放在平面直角坐标系中 将图形看成某规则图形 长方形或圆等 的一部分 并用阴影表示 2 利用随机模拟方法在规则图形内任取一点 求出落在阴影部分的概率 3 设阴影部分的面积是s 规则图形的面积是s 则有解得则所求图形面积的近似值为 变式训练 设函数y f x 在区间 0 1 上的图象是连续不断的一条曲线 且恒有0