高考数学创新型试题的背景.doc

高考数学创新型试题的背景从 1999 年起，我国高考数学命题就把“能力立意”作为命题的核心理念和根本原则。“能力立意”的核心是考 查思维能力、创新意识和实践能力。创新型试题是考查学 生创新意识最好的题型之一。高考数学创新型试题是指 从测量考生的发展性学习和创造性学习着手突出能力考 查的新颖问题。高考数学创新型试题一般都有深刻的背 景。因此，对创新型试题的背景的研究已成为高考研究的 热点问题。本文拟从教材背景、高等数学背景、实际生活 背景、新课程改革背景、竞赛数学背景、数学文化背景等 角度，对高考数学创新型试题的背景作初步分析，供大家 参考。从多个角度、多种方法看待问题和解决问题，这对培养学 生的发散思维和思维的灵活性是有益的，并能优化解题 策略，提高解题效率。高考命题重视由教材的知识、例题、 习题生成试题，既可保证试题的公平性，又对抑制题海战 术有一定的积极作用，对中学数学教学有良好的导向作 用。因此，应大力提倡由教材编拟高考试题。例 1（2007 年湖北卷理科第 21 题）已知 m，n 为正整数（）用数学归纳法证明：当时 x-1 时，（1+x）m1+mx；（）对于n6，已知（1- n+31 ）n 12 ，求证（1- n+3m ）n（12 ）m，一、教材背景m=1，2，n；nnnn教材是学生学习之基础，高考命题之根本从高考试（） 求出满足等式 3 +4 +（n+2）=（n+3） 的所有题的题源来看，教材是试题的主要来源，是高考命题的基正整数 n。本依据和出发点，历年高考试卷中都有一些试题直接出点评：（）中的不等式就是著名的贝努利不等式，它是以前人教社教材上的一个例题，2003 年 4 月教育部颁自于教材或由教材上的例、习题改编而成。如 2007 年高考数学四川卷超过一半的试题在教材中都能找到原型或布的 普通高中数学课程标准 （实验）（以下简称 标出处，理科的第 1、2、3、4、5、10、13、14、15、16、17、22（）准），已将它安排 在 选 修 系 列 4 第 5 专 题“不 等 式选等题直接出自于教材或由教材上的例、习题改编而成。完讲”中。第（）问 只 需 在（）中令 x=-1，再利用全离开教材的新课教学和高三复习，会偏离高中数学课n+31 n1程的重心，事倍功半，效率低下。当然，依赖于教材的复（1-），问题即可获解。第（）问先将等式两边n+32习，不是照本宣科或简单重复，需要对教材进行纵向和横n向的整合，纵向整合教材有助于知识的螺旋式深化，实现同时除以（n+3），再利用第（）问的结论，并排除 n 不小于 6的情况，问题便可解决。本题第（）问可看成源于教知识网络向认知网络的有效转化。横向整合教材就是通材（或课程标准），第（）问需要利用（）的结论，第（）过构建横向问题系统，也即构建知识的网络，使数学知识问要利用（）的结论，三个问题逐步深入，其解题的主要系统以不同问题方式展现出来，使学生在不同方式的问方法是“套公式”。从本质上讲，这个让考生感到很难的压题认知过程中实现认知结构的整体优化。如证明不等式，轴题可以归结为用教材的知识和方法来解决。可以用配方法、换元法、判别式法、分析法、反证法、基本二、高等数学背景不等式法、数学归纳法、放缩法等基本方法，也可以利用高等数学的一些基本思想和基本问题为设计创新型函数的性质、向量、不等式的性质、三角函数、解析几何、试题提供了广阔而又深刻的背景，这是因为高等数学为导数等基础知识，还可以用数学思想（如数形结合思想、背景试题能有效考查学生学习的潜能。许多高考创新型分类与整合思想、函数思想、参数思想等）。这就要求学生试题都有比较深刻的高等数学背景，这类题目立意深远、形式新颖，在平常教学中很少碰到，考生遇到这类题目，P1log2P1+P2log2P2+P3log2P3+P2nlog2P2n-n.会感到难以入手，一般需要自主学习和分析新的材料，并点评：本题是以函数 g（x）=xlog2x 的凹凸性为背景设对新的数学信息进行迁移，才能解决问题。计的。第（）问特别难，它含有琴生不等式的背景。两个例 2 （2006 年 全 国 卷 理 科 第 21 题）已 知 函 数问题若用琴生不等式来解可在几步内完成。以函数的凹f（x）= 1+x e-ax。（）设 a0，讨论 y=f（x）的单调性；（） 凸性为背景的试题比较多，比如 2004 年全国卷理科第1-x22 题，2006 年全国卷理科第 20 题，2006 年四川卷理若对任意的实数 x（0，1）恒有 （fx）1，求 a 的取值范科第 22 题等。围。以高等数学为背景的试题很多，几乎在每年的各套点评：本题（）小题含有拉格朗日中值定理的背景。试卷中都可找到。需要指出的是，不宜将高等数学的一些例 3 （2008 年福建卷理科第 16 题） 设 P 是一个数定理和背景知识作为教学的补充内容，因为这样做既会集，且至少含有两个数，若对任意 a，bP 都有 a+b、a-b、加重学生学习的负担，也与高考考查创新型试题的初衷a相悖。ab、 P（除数 b0），则称 P 是一个数域。例如有理数b三、实际生活背景集 Q 是数域；数集 F= a+b 姨2 a，bQ 也是数域，有数学来源于生活，又能解决实际生活中的一些问题。下列命题：因此，高考命题重视对实际应用问题的考查。应用题是对整数集是数域；考生“综合实力”的考查，是考查能力与素质的良好题型，若有理数集 Q哿M，则数集 M 必为数域；近几年应用题的编拟更加重视语言简洁、准确，背景清数域必为无限集；新、近人，模型具体、简明，方法熟悉、简便，所涉及的都是存在无穷多个数域。数学基本内容、思想和方法，摒弃繁琐的数学运算，突出其中正确的命题的序号是 _（把你认为正了对数学思想、方法和实践能力的考查。确的命题的序号填上）例 6（2009 年江西卷理科第 11 题）一个平面封闭区点评：本题以近世代数中“域”的概念为背景，可谓背域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭景深刻，能有效考查思维的抽象性、深刻性、发散性和创区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周造性。率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次例 4（2006 年广东卷理科第 20 题）A 是定义在2，4记为 r1，r2，r3，r4，则下列关系中正确的为（ ）。上且满足如下条件的函数 （x）组成的集合：对任意的x（1，2），都有 （2x）（1，2）；存在常数 （l0l1），使得对任意的 xx 1，2，都有（2x）-（2x）lx-x。1212123（）设 （x）= 姨1+x ，x2，4，证明 （x）A；（）设 （x）A，如果存在 x （1，2），使 x=（2x），那（A）r1r4r3 （B）r3r1r2 （C）r4r2r3（D）r3r4r1000么这样的 x0 是唯一的；点评：本题图案优美，情境生动，颇有生活气息。命题（）设 （x）A ，任 取 x（1，2），令 x=（2x），者以高等数学中的“区域”、“区域的直径”等基本概念为1n+1nn=1，2，3，证明，给定正整数 k，对任意的正整数 P，成立背景，将中国古代极富哲理思想的“太极图”和我国国旗不等式xk+p-xk lk-1 x2-x1。的“五角星”为基本素材，巧妙将日常生活中的太极图、五1-l角星联系起来，颇富生活情趣。本题主要考查观察、估算点评：本题有泛函分析中压缩映像原理的背景，第等直觉思维能力，并考查割补变换的意识和简单的运算（）问就是依据定义验证 （x）是一压缩映像，第（）、能力。此题体现了“生活中有数学”的理念，真是一道好（）问就是压缩映像原理对特定函数 （x）的一个应用。题。这种试题背景深刻，形式新颖，对考生能力有很高的要四、新课程改革背景求。最近几年，一些创新型试题命制的价值取向是重视例 5 （2005 年全国卷 I 理科第 22 题）新课程的背景，体现标准的精神，出现了不少以新课程（）设函数 （fx）=xlog x+（1-x）log（1-x）（0x1），求改革为背景的新题好题。如 2008 年全国卷理科的第22（fx）的最小值；10 题涉及选修 4-5“不等式选讲”中的柯西不等式的背（）设正数 P1，P2，P3，P2n 满足 P1+P2+P3+P2n，景；全国卷理科的第 16 题涉及选修 1-2“推理与证明”证明中的类比推理；北京卷理科第 14 题涉及选修 3-2“信息安全与密码”的数论函数（高斯函数）、选修 4-3“数列与列，并求数列 xn 的通项公式。差分”的差分方程组；重庆卷理科的第 22 题和湖北卷理点评：本题考查了递推数列，暗含了高等数学中不动科的第 15 题都有选修 1-2“推理与证明”中的归纳推理点的思想，第（）问巧妙设计了一个辅助数列，好比给考（猜想）的背景；湖南卷理科的第 10 题涉及“新定义”的自生一个梯子，使考生有梯可攀，非常巧妙地利用了竞赛题主学习与主动探究，江西卷理科的第 16 题也涉及主动探的背景但又没有竞赛味，这样设计对参不参加数学竞赛究；陕西卷理科的第 12 题涉及到选修 3-2 的信息安全与培训的考生都是公平的密码。又如 2009 年全国卷理科的第 22 题考查了考生六、数学文化背景动手画图的技能（已多年未考）；全国卷理科的第 10 题例 8（2007 年北京卷文理科第 13 题）2002 年在北京以高中选修课的选课为背景考查排列组合，第 12 题要将召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽正方体的平面展开图通过折叠还原为正方体，考查学生的弦图为基础设计的。弦图是由四个全等直角三角形与的实际操作能力；北京卷理科第 8、20 题通过阅读理解、 一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）。如果小正方信息迁移考查学生分析问题和解决问题的能力；湖北卷形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小理科的第 8、12、13 等题通过“家电下乡”、“直方图”、“中的锐角为 ，那么 cos2 的值等于。星九号卫星覆盖区域”等情境考查了考生的数学应用意识，第 10 题以古埃及的数学为背景考查了选修 1-2“推理与证明”中的归纳推理（猜想）；四川卷理科第 16 题，上海卷理科第 22 题，湖南卷理科第 8、21 题的涉及“新定义”的自主学习与主动探究；江西卷理科第 11 题、四川卷文科第 5 题（黄金矩形）涉及“数学文化”，江西卷理科第点评：本题以数学史中我国古代数学家赵爽的弦图17、22 题体现了数学的结构美；上海卷理科第 20 题（文为背景，考查三角变换公式和平面几何的有关知识。此题科第 21 题）以学习心理学的理论为背景，考查了分析问的难度虽不大，但试题的背景材料非常新颖，展示了数学题、解决问题以及应用电子计算器进行近似计算的能力； 文化的魅力试题以 2002 年 8 月在北京召开的国际数学海南（宁夏）卷理科第 17 题要求考生设计一个方案（包括家大会为背景，大会的会标是以我国古代数学家赵爽的指出需要测量的数据，用文字和公式写出计算两点距离弦图为基础设计的。体现了古代数学家智慧与当代数学的步骤），体现了数学建模思想，有效考查了分析问题和家成就的融合。赵爽是我国古代（三国时期）著名的数学解决问题的能力，等等。这些创新型试题立意鲜明、设计家，赵爽的弦图是他在勾股方圆图注中，为证明勾股定巧妙、影响深远，它们充分体现了新课程理念，对高中数理所创造的图形。这个美妙的弦图被 2002 年国际数学家学教师认真学习和研究标准以及实施高中数学课程改大会作为会徽，表达了当代数学家对我国古代数学家赵革起到了很好的导向作用。当然，课改实验区的试卷如广爽的数学智慧的敬仰。赵爽利用他的弦图，通过大正方形东卷、海南（宁夏）卷、山东卷、江苏卷等更加充分地体现的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积了新课程理念，值得认真研究。的计算，简洁明快地证明了著名的勾股定理（在西方又称五、竞赛数学背景毕达哥拉斯定理）。这种以我国古代数学史为背景的试设计以竞赛数学为背景的试题，对绝大多数未参加题，使考生受到数学文化的教育，对于激发考生的民族自竞赛培训的考生是不公平的，因此，高考命题不宜以竞赛豪感，学习数学家的探索精神是有益的。数学为背景设计试题。如果真想设计以竞赛数学为背景参考文献的试题，那么需要设计一些“梯子”（必要的提示），让考生1 赵思林. 关于高考数学创新型试题的几个特点.有梯可攀，这样就可消除竞赛味，体现高考公平。数学通报，2009，48（4）：5053.例 7（2007 年 四 川 卷 理 科 第 21 题）已 知 函 数2 慧力.三年高考四川卷数学试题分析.内江师范学（fx）=x2-4，设曲线 y=f（x）