数学史上的著名猜想之(二).doc

数学文化 中学数学文摘 2006年第4期数学史上的著名猜想之（二） 被证明了的数学猜想过伯祥（1）没能找到“费尔马的绝妙证明” 我国早在商周时代（约公元前1100年）就已经知道了不定方程：至少有一组正整数解：.古希腊数学家丢番图已求得上述不定方程的一般解：,其中m、n（是任意正整数. 费尔马是一位博览群书见多识广的学者，他将其一生中的全部精力都花费在钻研数学和物理问题上了.1621年费尔马买到了丢番图著的算术一书，对于书中的数论问题产生了浓厚的兴趣.闲余之时，对希腊数学家的一些问题进行研究和推广.当他读到第II卷第8命题“将一个平方数分为两个平方数的和”时，他想到了更一般的问题。研讨之后，费尔马在页边空白处写下了如下的一段话： “将一个立方数分为两个立方数的和，一个四次方数分为两个四次方数的和，或者一般将一个次方数分为两个同次方数的和，这是不可能的.关于此，我确信已找到了一个真正奇妙的证明，可惜这儿的空白太小，写不下.”这段叙述用现代数学语言来说，就是：“当整数时，方程没有正整数解.”这就是费尔马猜想，中国人通称为费尔马大定理.费尔马死后，他儿子整理了他的全部遗稿和书信，始终也没有找到那个“绝妙的证明”.于是，这个猜想的正确与否，就成了一桩数学疑案.由于找不到费尔马的“证明”，也由于著名数学家欲给出它的证明的企图一次次受挫，才激发起了历代数学家对费尔马猜想的极大兴趣.300多年来，不知有多少人为它绞尽了脑汁，也曾经有过多次悬赏征解，奖给能够证明它的人：法国科学院曾经两次悬赏；布鲁塞尔科学院也曾以重金悬赏；1908年德国数学家佛尔夫斯克尔遗言，悬赏10万马克巨款，奖给第一个证明费尔马大定理的人，这项奖金的限期为100年.（2）这是一只会生金蛋的母鸡很多著名数学家，如欧拉、狄里赫莱、拉梅、库默尔、法尔廷斯等都做了很多有重要意义的工作.他们的工作不仅使费尔马问题取得了一定的进展，而且他们所创造的方法也推动了数学的发展.然而所有这些工作只是对于某些个别的或满足某些条件的证明了费尔马大定理.1995年5月，当代最权威的数学杂志普林斯顿数学年刊，一整期发表了震惊世界数学界的两篇论文，宣告：困扰数学界长达350多年，“比哥德巴赫猜想更有名气”的数学难题，费尔马大定理.终于被英国数学家安德鲁维尔斯（Andrew Wiles）所证明.舆论认为，这确是近代数学发展中的一个巨大里程碑.希尔伯特曾认为，猜想、问题的价值，“最终的判断取决于科学从该问题获得的收益”.当年的希尔伯特就曾断言，解决费尔马大定理的过程中将能给数学发展创造许多新途径.费尔马猜想是“一只经常为我们生出金蛋的母鸡”.在人类解决费尔马大定理的漫长历程中，先后作出重大贡献的数学家法尔廷斯、谷山、费雷、维尔斯等人的伟大实践证明了这一点，他们都用了当代许多名家的思想、结果和技巧.特别是维尔斯的工作，无疑是一项意义深远的贡献，它将会给纯数学中的许多重要问题的解决带来曙光.始终没能找到费尔马的“绝妙证明”试证又一次次受挫，命题就成为著名的费尔马大定理三次悬赏征解.这是一只会生金蛋的母鸡1995年终于被英国数学家维尔斯彻底攻克，1996年3月维尔斯因此荣膺沃尔夫奖这段历史发展也可画成如下的简明框图： （3）素数个数的猜想 一眼可以看出，开头一些素数2,3,5,7,11,13,17,19,组成的序列，不符合任何一种简单规律。序列的构造是非常复杂的. 还在欧几里得出生以前，人们已开始思考素数序列最后是否有终结的问题.有数学家提出了“素数个数是无限的” 猜想. 好的猜想犹如一个合适的引路人，人们在解决素数个数的猜想及其推广的过程中，发现与创造了一些巧妙的新方法，为当时数学的发展带来了大推动. 欧几里得在几何原本中为解决这个猜想设计了一个绝妙的证明.它不是去求任一已知素数后面紧跟的那个素数（那将是万分困难的），而是用某一个大得多的素数去代替后面的下一个素数： 令为任一素数，作出由2到的全部素数的乘积再加1，写成 显然，素数2,3,5,中没有一个可以整除.这样，或者本身是素数（大于的），或者的全部素因子都和2,3,5,不同，并且大于. 不论是何种情形，一个大于的素数已经找到.因此，不管有多么大，总有更大的素数存在. 接着，人们想到：除了素数2，剩下的素数，不是形如的数，就是形如的数；除了素数3，剩下的素数，不是形如的数，就是形如的数；于是，又纷纷有人提出猜想： 形如的素数个数是无限的. 形如的素数个数是无限的. 形如的素数个数是无限的. 形如的素数个数是无限的. 形如的素数个数是无限的.等，一般地有 任何一个自然数的等差数列，只要其首项和公差是互素的，就必定包含了无限多个素数. 为解决这些猜想而创造的新方法，其中所包含的的基本思想，有的会具有更一般的意义，有时，数学家就是这样无意中闯进了一个新领域的大门. （4）对的无理性的猜测 1737年，欧拉基本上证明了和是无理数；兰伯特利用欧拉的工作证明：如果是有理数（不是0），那么和都不能是有理数.由此结果，由于，所以和都不能是有理数. 由于圆面积与相关，大大地刺激了对的无理性（是怎样的无理数呢？）的研究.勒让德猜测说可能不是有理系数方程的根（就是说，与是不一样的无理数.显然是有理系数方程的根）. 勒让德的猜测导致了无理数学的分类，使人类对数的认识又跨进了一大步.任何有理数系代数（多项式）方程的任何一个根（不管是实的不是复的）叫做一个代数数.这样，方程 的根叫做代数数，其中是有理数.因此，所有的有理数和一部分无理数是代数数；不是代数数的数叫做超越数，因为欧拉说过：“它们超越了代数方法的能力”.他猜测说，心有理数为底的有理数的对数，必定或者是有理数，或者是超越数. 1873年，埃尔米特给出了数的超越性