最短路径的问题.docx

13.4课题学习最短路径问题教学设计 杜尔门沁学校 张娜一、分析1、教学目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟化归思想。能将实际问题中抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题，并能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的作用，感悟“转化”作用。2、重点难点： 重点：将实际问题抽象为数学问题；将同侧两点转化为异侧两点 难点：利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短.3、学情分析： 由于八年级学生第一次接触求最短路径的问题，所以会不知道怎么解决，另外要选取一点，使距离最短，所以告诉学生解决这类问题的有效方法是利用轴对称找到对应点，从而将最短路径问题转化为线段和最小问题，证明所求距离最短是本节课的难点。4、教材分析：教科书有两个例题，牧马人饮水和造桥选址问题，解决问题的关键是通过利用轴对称和平移等变化把问题转化为关于“两点之间，线段最短”的问题。5、教学方法： 采用“教师引导学生小组合作探究学生总结发现”的教学模式，为学生创设主动参与和合作交流的平台，从而提高学生对本节课的掌握，发展学生能力。6、 学法分析： 在课堂上采用动手操作、合作发现、练习、小组合作探究学习的方式。在动手探究、自主思考、互动交流中，获取本节课的知识与方法7、 教学资源：借助课件展示例题及变式训练题组8、 评价策略： 在课堂上我采用根据学生的表现将及时评价和激励评价相结合，最大限度地照顾到所有学生，关注每个学生的个性差异，将学生自我评价、生生之间的互评和教师引领、点评有机结合，争取在评价中帮助学生认识自我、建立自信，逐步养成独立思考、自主探索、合作交流的学习习惯。二、教学过程教学活动【活动1】创设情境、引入新课老师有一个问题想向大家请教，今早上班的时候老师发现，我以相同的速度从小区里沿斜线方向走比老师平时绕着小区外侧走整整节省的3分钟，这是为什么呢？同学们，你们能用我们的数学知识来解释这个生活常识吗？13.4 最短路径问题【活动2】尝试探究，解决问题同学们，其实生活中有很多这样的问题，都是利用我们的数学解决的，请大家看下面的一道题：问题1如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？师问：怎样才能得到最短的距离呢？为什么这样做就能得到最短距离呢？ 出示问题1 师问：这是生活中常见的一些问题，那么要是你是工程师打算怎么办？已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。（连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。）根据什么呢？：两点之间，线段最短。学生总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求 同学们，下面老师给你们一起来讲一个故事： 师：问题2相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：看图：从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全最短？ 师：海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？做法：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：略教师出示问题2 师问：这是一个实际问题，你打算怎么办？你能将这个问题转化为数学问题吗？ 学生回答：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线 师问：现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在1的什么位置时，AC与CB的和最小 师问：同学们这道题与上一道题有什么不同呢？ 问：那么点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB的长度相等？师问：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？学生小组讨论，合作探究讨论结果（学生总结）：直线同侧两点在线上找点的最短路径问题的应该这样解决：确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点 师总结：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.师问：那么我们如何证明这样做的路径就是最短距离呢？（学生独立思考后小组探究） 师问：现在我们来共同总结一下在线上找点的最短路径的问题，总共有几种情况呢？ 学生总结：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路。师：问题3（造桥选址问题）如教材，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。学生讨论，学生讲解师问：下面我们一起来总结一下做这类题时需要注意什么？ 学生总结：解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问 师总结： 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题活动4归纳提升师问：同学们，我们今天所探究的最短路径问题是借助于什么知识解决的？学生：略师问：那么我们在学习的过程中认识了什么数学思想方法？学生回答略活动5划分层次、布置作业1、必做题教材课后P93，第15题。2