高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法（2）课件 新人教A版必修5.ppt

2 1数列的概念与简单表示法 2 1 2 1 数列与函数的关系 1 数列可以看成以正整数集n 或它的有限子集 1 2 n 为定义域的函数an f n 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时 所对应的一列函数值如图所示 2 对于函数y f x 如果f i i 1 2 3 有意义 那么可以得到一个数列 f 1 f 2 f 3 f n 3 在数列 an 中 若an 1 an 则 an 是递增数列 若an 1 an 则 an 为递减数列 若an 1 an 则 an 为常数列 1 2 练一练1数列 an 的通项公式为an an 2 若数列 an 为递增数列 则a的取值范围是 解析 由一次函数的性质 易知a 0 答案 0 1 2 2 递推公式如果已知数列 an 的首项 或前几项 且任一项an与它的前一项an 1 或前几项 间的关系可用一个公式来表示 那么这个公式叫做数列 an 的递推公式 用递推公式给出数列的方法叫做递推法 1 2 1 2 名师点拨通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映an和n之间的关系 即an是关于n的函数 知道任意一个具体的n值 通过通项公式就可以求出该项an 而递推公式则是间接反映数列的式子 它是数列任意两个 或多个 相邻项之间的推导关系 不能由n直接得出an 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一判断数列的单调性数列的单调性一般要通过比较an 1与an的大小来判断 具体为 an 1 an 0 an 1 an 数列 an 单调递增 an 1 an 0 an 1 an 数列 an 单调递减 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题1判断下列数列的单调性 1 在数列 an 中 an 2n 3 2 在数列 an 中 an n2 2n 5 思路分析 可通过比较an 1与an的大小来判断 探究一 探究二 探究三 探究四 解 1 an 2n 3 an 1 an 2 n 1 3 2n 3 2n 2 2n 20 an 1 an 数列 an 是递增数列 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练1 已知数列 an 的通项公式an n2 7n 8 求数列 an 的最小项 解法一 an n2 7n 8是关于n的二次函数 其对称轴为 当1 n 3时 an 单调递减 当n 4时 an 单调递增 当n 3或n 4时 an最小 且最小项a3 a4 20 故当n 3或n 4时 a3 a4是数列中的最小项 且最小项a3 a4 20 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二数列的递推公式及应用1 递推公式是间接反映数列的式子 它是数列任意两个 或多个 相邻项之间的推导关系 不能由n直接得出an 用递推公式给出一个数列 必须给出以下两点 1 基础 数列 an 的第1项或前几项 2 递推关系 数列 an 的任一项an与它的前一项an 1 或前几项 之间的关系 并且这个关系可以用一个公式来表示 如果两个条件缺一个 数列就不能确定 2 数列递推公式的主要题型 1 根据数列的递推公式和第1项 或其他项 求数列的前几项 2 根据数列的递推公式求数列的通项公式 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题2已知数列 an 满足a1 1 写出该数列的前5项 并归纳出它的一个通项公式 思路分析 由首项及递推关系写出前5项 再观察前5项的规律 写出一个通项公式 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 方法总结由递推公式写出通项公式的步骤 1 先根据递推公式写出数列的前几项 至少是前3项 2 根据写出的前几项 观察归纳其特点 并把每一项统一形式 3 写出一个通项公式 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练2 已知数列 an 中 a1 1 a2 2 以后各项由an an 1 an 2 n 3 给出 1 写出此数列的前5项 2 通过公式构造一个新的数列 bn 写出数列 bn 的前4项 探究一 探究二 探究三 探究四 解 1 因为an an 1 an 2 n 3 且a1 1 a2 2 所以a3 a2 a1 3 a4 a3 a2 3 2 5 a5 a4 a3 5 3 8 故数列 an 的前5项依次为a1 1 a2 2 a3 3 a4 5 a5 8 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三由数列的递推公式求数列的通项由递推公式求通项公式时 要根据递推公式的特点 选择恰当的方法求解 常用的方法有 1 累加法 当an an 1 f n 时 常用an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1求通项 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练3 已知数列 an a1 2 an 1 2an 写出数列的前5项 猜想an并加以证明 解 由a1 2 an 1 2an 得a2 2a1 2 2 4 22 a3 2a2 2 4 8 23 a4 2a3 2 8 16 24 a5 2a4 2 16 32 25 猜想an 2n n n 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四易错辨析易错点忽视函数单调性与数列单调性的关系致误典型例题4已知数列 an 中 an n2 kn n n 且 an 单调递增 求实数k的取值范围 探究一 探究二 探究三 探究四 错因分析 数列是特殊的函数 所以函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别 即若数列所对应的函数单调 则数列一定单调 反之若数列单调 其所对应的函数不一定单调 对于数列的单调性的判断 一般要通过比较an 1与an的大小来断定 若an 1 an 则数列为递增数列 若an 10 即2n 1 k 0 n n 恒成立 得k 2n 1 n n 恒成立 而2n 1 3 因此只需k 3即可 故k的取值范围为 3 12345 1 数列 an 中 a1 1 an 1 an 3 则a3等于 a 7b 4c 1d 2解析 a2 a1 3 1 3 4 a3 a2 3 4 3 7 答案 a 12345 12345 12345 4 已知数列 an 中 a1 11 且an 1 an 3 则数列 an 中的最小正数项是 解析 由已知得数列 an 是递减数列 且a1 11 a2 8 a3 5 a4 2 a5 1 故数列 an 中的最小正数项是a4 2 答案 2 12345 5 已知a1 1 an 1 an 2 求数列 an 的一个通项公式 并判断数列 an 的单调性 解 a1 1 an 1 an 2 a2 a1 2 a3 a2 2 a4 a3 2 an an 1 2 n 2 将这些式子的两边分别相加 a2 a1