【步步高】（四川专用）高三数学大一轮复习讲义 专题四 数列的综合应用 理 新人教A版.DOC

专题四数列的综合应用1等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前一项的关系；等比数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定2. 数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等3 解答数列应用题的基本步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中4 数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是sn与sn1之间的递推关系1 在等比数列an中，an0，a2a42a3a5a4a625，则a3a5的值为_答案5解析设首项为a1，公比为q，则a10，q0，a2a42a3a5a4a6aq42aq6aq8aq4(1q2)225.a1q2(1q2)5，a3a5a1q2a1q4a1q2(1q2)5.2 已知等差数列的公差d0，s210，s2121a110，a115)是公比为q (q0)的等比数列，则m的值为_答案11解析由题意，得a362d，因为q，所以3d；因为q大于零，所以3d是大于零的整数，q.由题意知，数列an各项均为整数，故d，q均应为整数当3d3,3dz时，q不为整数，故3d只能取1,3.当3d3时，d0，不满足条件；故3d1，此时d2，q3，满足条件所以q3，d2，因此63am6(m5)2，所以m11.4 设数列an是公差大于0的等差数列，a3，a5分别是方程x214x450的两个实根则数列an的通项公式是an_；若bn，则数列bn的前n项和tn_.答案2n12解析因为方程x214x450的两个根分别为5、9，所以由题意可知a35，a59，所以d2，所以ana3(n3)d2n1.bnn，tn123(n1)ntn12(n1)n得，tnn1，所以tn2.5 等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)等于()a26 b29 c212 d215答案c解析f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.题型一等差数列与等比数列的综合应用例1在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列an的通项an；(2)令bn2an10，证明：数列bn为等比数列审题视角第(1)问列首项a1与公差d的方程组求an；第(2)问利用定义证明(1)解由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组解得an12(n1)22n10.(2)证明由(1)，得bn2an1022n101022n4n，4，bn是首项是4，公比q4的等比数列探究提高对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法 数列an的前n项和记为sn，a11，an12sn1 (n1)(1)求an的通项公式；(2)等差数列bn的各项为正，其前n项和为tn，且t315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求tn.解(1)由an12sn1，可得an2sn11 (n2)，两式相减得an1an2an，则an13an (n2)又a22s113，a23a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列，an3n1.(2)设bn的公差为d，由t315，b1b2b315，可得b25，故可设b15d，b35d，又a11，a23，a39，由题意可得(5d1)(5d9)(53)2，解得d12，d210.等差数列bn的各项为正，d0，d2，b13，tn3n2n22n.题型二数列与函数的综合应用例2已知函数f(x)log2xlogx2(0x1)，数列an满足f(2an)2n (nn*)(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列an的单调性思维启迪：(1)将an看成一个未知数，解方程即可求出an；(2)通过比较an和an1的大小来判断数列an的单调性解(1)由已知得log22an2n，an2n，即a2nan10.ann.0x1，02an1，an10，an1an，an是递增数列方法二1，又anan，an是递增数列探究提高本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查逻辑分析能力 等比数列an的前n项和为sn，已知对任意的nn*，点(n，sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn(nn*)，求数列bn的前n项和tn.解(1)由题意，snbnr，当n2时，sn1bn1r.所以ansnsn1bn1(b1)由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)由(1)知，nn*，an(b1)bn12n1，所以bn.tn，tn，两式相减得tn，故tn，nn*.题型三数列与不等式的综合应用例3(2012广东)设数列an的前n项和为sn，满足2snan12n11，nn*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有12n2(n2n)12n22n22n(n1)，111，即. 已知数列an满足a1，an1an2an1an，sn表示数列an前n项和求证：sn1.证明由a10易知，对于任意的n，an0，原式化为1，12.令bn1，b12，bn12bn，数列bn是首项为2，公比为2的等比数列，即bn12n，所以an，故sna1a2an10.85bn，有250(n1)50400(1.08)n10.85.当n5时，a50.85b6，满足上述不等式的最小正整数n为6.到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.探究提高解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这恰好是数学实际应用的具体体现 今年“十一”期间，北京十家重点公园将举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是 ()a21147 b21257c21368 d21480答案b解析由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构造以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an42n1，bnn，则上午11时30分公园内的人数为s221257.用构造数列的思想解题典例：(12分)已知数列an的前n项和为sn，且满足a1，an2snsn1 (n2)(1)求数列an的通项公式an；(2)求证：sss.审题视角(1)从求证内容来看，首先要求出sn.(2)从sn与sn1的递推关系来看，可考虑构造新数列.(3)可考虑用放缩法证明规范解答(1)解an2snsn1 (n2)，snsn12snsn1.两边同除以snsn1，得2 (n2)，2分数列是以2为首项，以d2为公差的等差数列，3分(n1)d22(n1)2n，sn.5分将sn代入an2snsn1，得an6分(2)证明s (n2)，s，当n2时，sss；10分当n1时，s.综上，sss.12分温馨提醒(1)在数列的解题过程中，常常要构造新数列，使新数列成为等差或等比数列构造新数列可以使题目变得简单，而构造新数列要抓住题目信息，不能乱变形(2)本题首先要构造新数列，其次应用放缩法，并且发现只有应用放缩法才能用裂项相消法求和，从而把问题解决事实上：(3a)73.所以解得2a3.4 (2012湖北)定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln |x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()a b c d答案c解析利用特殊化思想，选an2n判定不妨令an2n.因为f(x)x2，所以f(an)4n.显然f(2n)是首项为4，公比为4的等比数列因为f(x)2x，所以f(a1)f(2)22，f(a2)f(4)24，f(a3)f(8)28，所以416，所以f(an)不是等比数列因为f(x)，所以f(an)()n.显然f(an)是首项为，公比为的等比数列因为f(x)ln |x|，所以f(an)ln 2nnln 2.显然f(an)是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列故应选c.二、填空题(每小题5分，共15分)5 (2011江苏)设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_答案解析由题意知a3q，a5q2，a7q3且q1，a4a21，a6a22且a21，那么有q22且q33.故q，即q的最小值为.6 已知数列an满足a11，a22，an2，则该数列前26项的和为_答案10解析由于a11，a22，an2，所以a31，a4，a51，a62，所以an是周期为4的数列，故s2661210.7对正整数n，若曲线yxn (1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和为_答案2n12解析yxn(1x)xnxn1，ynxn1(n1)xn，当x2时，切线的斜率k(n2)2n1，在x2处的切线方程为y2n(n2)2n1(x2)，令x0可得y(n1)2n，即an(n1)2n，2n，即数列为等比数列，其前n项和sn2n12.三、解答题(共22分)8 (10分)(2011大纲全国)设数列an满足a10且1.(1)求an的通项公式；(2)设bn，记snk，证明：sn1.(1)解由题设1，即是公差为1的等差数列，又1，故n.所以an1.(2)证明由(1)得bn，snk150成立的最小正整数n的值解(1)设此等比数列为a1，a1q，a1q2，a1q3，其中a10，q0.由题意知：a1qa1q2a1q328，a1qa1q32(a1q22)7得6a1q315a1q26a1q0，即2q25q20，解得q2或q.等比数列an单调递增，a12，q2，an2n.(2)由(1)得bnn2n，snb1b2bn(12222n2n)设tn12222n2n，则2tn122223n2n1.由，得tn1212212nn2n12n12n2n1(1n)2n12，tn(n1)2n12.sn(n1)2n12.要使snn2n150成立，即(n1)2n12n2n150，即2n26.241626，且y2x是单调递增函数，满足条件的n的最小值为5.b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 已知数列an的通项公式为anlog2 (nn*)，设其前n项和为sn，则使sn5成立的自然数n ()a有最小值63 b有最大值63c有最小值31 d有最大值31答案a解析anlog2log2(n1)log2(n2)，sna1a2anlog22log23log23log24log2(n1)log2(n2)1log2(n2)，由sn6，即n264，n62，n有最小值63.2 已知数列an满足3an1an4 (nn*)且a19，其前n项和为sn，则满足不等式|snn6|的最小正整数n是 ()a5 b6 c7 d8答案c解析由3an1an4得，an11(an1) (运用构造数列法)，an1是以a118为首项，为公比的等比数列，an18n1，an8n11.sn8n8n6n6n，|snn6|n6750.将n5,6,7分别代入验证符合题意的最小正整数n7.3 设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1，则数列 (nn*)的前n项和是()a. b. c. d.答案a解析由f(x)mxm1a2x1得m2，a1.f(x)x2x，则.sn11.二、填空题(每小题5分，共15分)4 已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_答案解析an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12(n1)(n2)13333n2n，所以n1.设f(x)x1，则f(x)1.令f(x)0，得x或x，所以的最小值为.5 在等比数列an中，sn为其前n项和，已知a52s43，a62s53，则此数列的公比q_.答案3解析因为a6a52(s5s4)，所以a63a5，所以q3.6 (2011陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_米答案2 000解析假设20位同学是1号到20号依次排列的，使每位同学的往返所走的路程和最小，则树苗需放在第10或第