【创新设计】（江苏专用）高考数学二轮复习 专题整合 71 立体几何中的向量方法（必做部分）理（含最新原创题含解析）.doc

【创新设计】（江苏专用）2015高考数学二轮复习 专题整合 7-1 立体几何中的向量方法(必做部分） 理（含最新原创题，含解析）1(2014新课标全国卷)如图，三棱柱abca1b1c1中，侧面bb1c1c为菱形，abb1c.(1)证明：acab1；(2)若acab1，cbb160，abbc，求二面角aa1b1c1的余弦值(1)证明连接bc1，交b1c于点o，连接ao.因为侧面bb1c1c为菱形，所以b1cbc1，且o为b1c及bc1的中点又abb1c，abbob，所以b1c平面abo.由于ao平面abo，故b1cao.又b1oco，故acab1.(2)解因为acab1，且o为b1c的中点，所以aoco.又因为abbc，所以boaboc.故oaob，从而oa，ob，ob1两两互相垂直以o为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.因为cbb160，所以cbb1为等边三角形又abbc，ocoa，则a，b(1,0,0)，b1，c.，.设n(x，y，z)是平面aa1b1的法向量，则即所以可取n(1，)设m是平面a1b1c1的法向量，则同理可取m(1，)则cosn，m.所以二面角aa1b1c1的余弦值为.2如图，在三棱柱abca1b1c1中，cacb，abaa1，baa160.(1)证明：aba1c；(2)若平面abc平面aa1b1b，abcb2，求直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值(1)证明如图，取ab的中点o，连接co，a1o，a1b.因为cacb，所以coab，由于aa1ab，baa160，故aa1b为等边三角形，所以aba1o，因为ocoa1o，所以ab平面a1oc，又ac平面a1oc，故aba1c.(2)解由(1)知ocab，oa1ab.又平面abc平面aa1b1b，交线为ab，所以oc平面aa1b1b，故oa，oa1，oc两两相互垂直以o为原点，oa所在直线为x轴，oa1所在直线为y轴，oc所在直线为z轴，建立如图直角坐标系，则a(1,0,0)，a1(0，0)，b(1,0,0)，c(0,0，)，b1(2，0)，则(1,0，)，(1，0)，(0，)，设n(x，y，z)为平面bb1c1c的法向量，则即可取n(，1，1)故cosn，.所以a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值为.3如图，在直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1accbab.(1)证明：bc1平面a1cd；(2)求二面角da1ce的正弦值(1)证明连接ac1交a1c于点f，则f为ac1的中点又d是ab的中点，连接df，则bc1df.因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.(2)解由accbab得，acbc.以c为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.设ca2，则d(1,1,0)，e(0,2,1)，a1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面a1cd的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m(x2，y2，z2)是平面a1ce的法向量，则即可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角da1ce的正弦值为.4(2013陕西卷)如图，四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，o为底面中心，a1o平面abcd，abaa1.(1)证明：a1c平面bb1d1d；(2)求平面ocb1与平面bb1d1d的夹角的大小(1)证明由题设易知oa，ob，oa1两两垂直，以o为原点建立直角坐标系，如图abaa1，oaoboa11，a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(1,0,0)，d(0，1,0)，a1(0,0,1)由，易得b1(1,1,1)(1,0，1)，(0，2,0)，(1,0,1)0，0，a1cbd，a1cbb1，又bdbb1b，a1c平面bb1d1d.(2)解设平面ocb1的法向量n(x，y，z)(1,0,0)，(1,1,1)，取n(0,1，1)，由(1)知，(1,0，1)是平面bb1d1d的法向量，cos |cosn，|.又0，.5(2013辽宁卷)如图，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点(1)求证：平面pac平面pbc；(2)若ab2，ac1，pa1，求二面角cpba的余弦值(1)证明由ab是圆的直径，得acbc，由pa平面abc，bc平面abc，得pabc.又paaca，pa平面pac，ac平面pac，所以bc平面pac.又bc平面pbc，所以平面pbc平面pac.(2)解过c作cmap，则cm平面abc.如图，以点c为坐标原点，分别以直线cb，ca，cm为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系在rtabc中，因为ab2，ac1，所以bc.因为pa1，所以a(0,1,0)，b(，0,0)，p(0,1,1)故(，0,0)，(0,1,1)设平面bcp的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以不妨令y11，则n1(0,1，1)因为(0,0,1)，(，1,0)，设平面abp的法向量为n2(x2，y2，z2)，则所以不妨令x21，则n2(1，0)于是cosn1，n2.所以由题意可知二面角cpba的余弦值为.6(2013天津卷)如图，四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱a1a底面abcd，abdc，abad，adcd1，aa1ab2，e为棱aa1的中点(1)证明b1c1ce；(2)求二面角b1cec1的正弦值；(3)设点m在线段c1e上，且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为，求线段am的长解如图，以点a为原点建立空间直角坐标系，依题意得a(0,0,0)，b(0，0,2)，c(1,0,1)，b1(0,2,2)，c1(1,2,1)，e(0,1,0)(1)证明易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0，所以b1c1ce.(2)(1，2，1)设平面b1ce的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2,1)由(1)，b1c1ce，又cc1b1c1，可得b1c1平面cec1，故(1,0，1)为平面cec1的一个法向量于是