（基础数学专业论文）一类六次多项式填充julia集的连通性.pdf

一类六次多项式填充j u l i a 集的连通性 基础数学专业 研究生邱强生指导教师周吉 摘要：本文利用推广了的b r a n n e r h u b b a r d y o c c o z 拼图理论研究了复平面上 一类六次多项式，的填充j u l i a , 集的连通性首先构造出了，的拼图片运用这 些拼图片得到了，的填充j u l i a 集中任意一个点的环与环阵然后给出并证明了临 界环阵满足的三个规则，环阵的模等于无穷的性质以及临界环阵的回归性和预周 期性最后证明了厂的填充j u l i a 集的某个连通分支是非平凡的( 即是至少有2 个 点) 充要条件是该分支是厂的周期临界分支，或是某个周期临界分支在厂迭代下 的原象 关键词：填充j u l i a 集；拼图片；环；临界环阵；周期临界分支 第i 页，共2 9 页 c o n n e c t i v i t yo ff i l l e dj u l i as e t sf o rak i n do fp o l y n o m i a l s o fd e g r e es i x b a s i cm a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：q i uq i a n g s h e n gs u p e r v i s o r ：z h o uj i a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w eu s et h ee x t e n d e dp u z z l ep i e c et h e o r yt od i s c u s s t h ef i l l e dj u l i as e t so fak i n do fp o l y n o m i a l sfo fd e g r e es i xi nc t h ep u z z l e p i e c eo ffi sc o n s t r u c t e da tf i r s t a n db vu s i n gi t ，w eo b t a i nt h e a n n u l u sa n d a n n u l u st a b l eo fap o i n tz ，w h i hb e l o n g st ot h ef i l l e dj u l i as e t ，o f ，t h e n ，t h r e e r u l e so fa n n u l u st a b l e ，t h ep r o p e r t yt h a tt h em o d u l eo fa n n u l u st a b l ee q u i v a l e n t t oi n f i n i t ya n dt h er e c u r r e n ta n dp e r i o d i cp r o p e r t yo fc r i t i c a la n n u l u st a b l ea r e e x p l a i n e d f i n a l l ) nt h et h e o r e mt h a tac o n n e c t e dc o m p o n e n t o ft h ef i l l e dj u l i as e t , o i 厂i sn o n t r i v i a l ( t h a ti s ，i th a st w op o i n t sa tl e a s t ) i fa n do n l yi fi ti sa p e r i o d i c c r i t i c a lc o m p o n e n t o ra ni n v e r s ei m a g eo fs o m ep e r i o d i cc r i t i c a lc o m p o n e n tu n d e r t h ei t e r a t i o no f i sp r o v e d k e yw o r d s ：t h ef i l l e dj u l i as e t ；p u z z l ep i e c e ；mm u l u s ；c r i t i c a la n n u l u s t a b l e ；p e r i o d i cc r i t i c a lc o m p o n e n t 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师围壹熬援指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结 果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不 符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大 学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规 定提交印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库供检索：2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开 的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有 关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位 论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 研数。 签字同期：钞广年午月枷。b 导师签名： 风芬 、l 签字日期：矽1 年华月叫日 第一章绪论 在上个世纪二十年代左右，数学家f a t o u 和j u l i a 产生了在r i e m a n n 球面 上来研究复解析动力系统的思想当时，他们运用新的正规族理论( 比如m a r r y 正规定则，m o n t e l 定理等1 于动力系统，得出了许多命题和结论，并证明了一 系列非常漂亮和令人称奇的结果，完成了复解析动力系统的奠基工作，形成了 现在很经典的f a t o u j u l i a 理论但是由于当时数学工具的匮乏，这一学科在 创立之后却长期处于停滞状态 从八十年代开始，由于计算机技术的快速发展以及m a n d e l b r o t ，s u l l i v a n ， d o u a d y ，b r a n n e r ，h u b b a r d 和y o c c o z 等数学家的努力工作和巨大贡献，使得 由f a t o u 和j u l i a 在上个世纪初创立的复解析动力系统的研究工作获得了新生， 受到了广泛关注，并成为一个飞速发展的新领域人们对这一学科的兴趣激增， 因为其研究结果涉及交叉发展的许多学科领域，如k l e i n 群理论，拟共形映照 理论，t e i c h m i 五l l e r 空间理论，分形几何，拓扑学，复分析，遍历性理论和符号 动力学等另外在统计物理，湍流理论，结构化学，人口遗传学，神经心理学， 生物形态学和地貌学等领域，复动力系统也有重要应用因此，复解析动力系 统已成为复分析的重要研究分支之一 特别需要注意的是，复动力系统理论中的主要研究对象j u l i a 集一般具有 分形结构，而用于产生动力系统的映射在j u l i a 集上却呈现出混沌状态，因此动 力系统，分形几何以及混沌学是紧密相连的三个学科这三个学科在采矿，信 息处理，石油勘采和水力学中都有很大的应用价值基于这些重要的价值，对 j u l i a 集的研究一直就是复解析动力系统的重要课题，而其中对复多项式j u l i a 集连通性的研究已经成为主要的研究问题之一 1 1j u l i a 集的相关知识 设有理函数厂：e _ e 的度d 2 ，对仑，点z o 的正向轨道记为 d + ( 知) ，定义为 0 + z o ) = z o ，z l = 厂( 幻) ，z n = f n ( 询) ，) 第1 页，共2 9 页 第一章绪论 点z o 的负向轨道记为o - ( 如) ，定义为 0 一( z o ) = z 0 ，s 一1 ( z o ) ，一n ( z o ) ，】 如果在0 + ( 纫) 中存在最小的p 0 ，使得广( z o ) = z o ，则称点z o 为周期点，p 为周期这时0 + ( z o ) 由周期循环组成，记为 0 + ( z o ) = 孙，f ( z o ) ，尸1 ( 幻) ) 特别地，若当p = 1 时( z o ) = z 0 ，则称点勾为，的不动点，对应的 d + ( 匈) = 幻) 另外，若z 点满足，7 ( z ) = 0 ，则称z 点是，的临界点 我们称 入= ( 尸) ( z o ) = ，7 ( z o ) ，( z 1 ) ，( 却一1 ) 为周期点z o ( z o 。) 的乘子；当周期点z , o = 0 0 时，定义乘子a = 7 栖根据 乘子的模，可将周期循环分为以下四类： ( 1 ) 吸性的，如果0 1 ； ( 2 ) 超吸性的，如果a = o ； ( 3 ) 中性的，如果= l ，这时a = e 2 霄诅当q q ( 有理数集) 时，称为 有理中性的，当q r q 时，则称为无理中性的； ( 4 ) 排斥性的，如果1 0 ，f k 的j u l i a 集j ( f 托) = j ( ，) ； ( 3 ) 如果d e g ( f ) 2 ，则j ( f ) 没有孤立点 ( 4 ) 如果j u l i a 集包含有一个内点，则j u l i a 集等于整个r i e m a n n 曲面，即 了= e ： ( 5 ) 集合 z l f 忆z ) = z o ，n 0 ) 在j ( f ) 中是处处稠密的，其中z o ，( 厂) ( 6 ) 对v d e g ( f ) 2 的有理函数，其j ( f ) 或者是连通的，或者是有不可 数个连通分支的 ( 7 ) 有理函数，的排斥性周期点z o j ( 厂) ，吸性和超吸性周期点2 ；0 f ( ，) ( 8 ) 设z o 点为，的周期为p 的有理中性周期点，乘子入是1 的g 次原根， 即a 口= 1 ，贝0 动及d + ( z o ) j ( ，) ( 9 ) s ( f ) 是非空的 证明性质( 1 ) 到性质( 6 ) 的证明参见文献【3 2 】 ( 7 ) 11 我们设z o 为排斥性周期点，周期为p ，则入= ( ，p ) 7 ( 知) ，l a i 1 如果点z 0 f ，则幻存在一个邻域u ，使得广在【，内是正规的经过 选取子列后，不妨假设f - p ( z ) 在u 内局部一致收敛于全纯函数夕( z ) 从而有 n o 。时，( ，印) 7 ( 徇) _ g t ( 幻) ，即 一g l ( o ) 但是由于 1 , a n o o ，这就 得到矛盾，所以2 0 了( 厂) 我们设缅为吸性或者超吸性周期点，周期为p ，则a = ( f p ) 7 ( 询) ， 1 取 “ 1 ，则对于在充分小的圆d ( 细，r ) 内的任意一点z ，i ( 广) 7 ( z ) lsp 又 q q s 3 6 1 1 6 3 c o r n 第3 页，共2 9 页毕业论文 第一章绪论 由于 f z 尸( z ) 一z o = ( 尸) ( z ) d z ， ，g o 所以有l 广( z ) 一z o i p l 匈一z i ，由此可以推出广( d ( z o ，r ) ) cd ( 细，r ) ，进而 严( d ( z o ，r ) ) cd ( 匈，旷r ) 所以在d ( 询，r ) 内，当n 一。时，厂印( z ) _ z o 且收 敛是局部一致的这表明z o f ( 尸) = f ( ，) ( 8 ) 一不妨设z o = 0 ，否则我们可以通过9 ( z ) = 2 一z o 达到用，代替严 时不妨设0 为，的有理中性不动点，乘子入= ，7 ( 0 ) = 1 这时在o 点的邻域内 可以有表示式 厂( z ) = z + r l a i z 2 + ，n = 1 2 ， 其中a i 0 则由于广= 0 ，( 广) ( ) ( 0 ) = n a t _ o 。，扎_ o 。，我们可以看出 广在0 点的邻域是不正规的，因此0 及其对应的z o 是非正规点，所以知及 o + ( 2 ：0 ) j ( ，) ( 9 ) 一因为d e g f 2 ，则，与，2 一定有不同的不动点 假设j = o ，则f = e ，经过选取子列后我们不妨设f 2 n i ( z ) 在e 上一致收 敛于有理函数夕( z ) ( 不是常数函数) 对任意的正整数p ，经过选取子列后不妨假 定厂2 ( 呻) 在e 上一致收敛于非常数有理函数 ( 2 ) 因为，2 仉= 厂2 po ，2 _ p ) ， 我们得到夕= f 2 p 。h ，从而d e g ( g ) d e g ( f 2 p ) d e g ( h ) 护但由于p 是任意 的正整数，这就得到矛盾，所以j 0 1 2j u l i a 集连通性的若干进展 关于复多项式j u l i a 集的连通性问题，f a t o u 早就有一个著名的定理：一 个多项式的j u l i a 集是连通的当且仅当它的全部有限临界点的轨道是有界 的如果一个多项式( d e g ，2 ) 的所有临界轨道都趋向于无穷远点，那么 这样的多项式的填充j u l i a 集k ( ，) 是一个测度为0 的c a n t o r 集，此时显然 j ( y ) = o k = g ( f ) 就是完全不连通的 二次多项式至多只有一条有界的临界轨道，f a t o u 定理己给出了它的j u l i a 集连通性的完整刻画。但对于高次多项式，由于它的有限临界点的轨道存在着 有些趋向于无穷远点，而另一些又是有界的情形，情况则要复杂的多因此， 这就吸引了很多的学者去研究 q q s 3 6 1 1 6 3 c o r n 第4 页，共2 9 页毕业论文 第一章绪论 在上个世纪末，y o c c o z 对复解析动力系统理论做出了重要的贡献，其中之 一就是对二次多项式族 p c ( z ) = z 2 + c 的j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集m 的局部连通性的研究在其研究工作中y o c c o z 引进了一种强有力的方法，即是拼图技巧利用这个技巧，他得到了对任意的 c m ( 这等价于只的j u f i a 集是连通的) ，如果二次多项式p c ( z ) 不是无穷可重 整化的，并且没有抛物周期点，那么r 的j u r a 集a ( p 。) 就是局部连通的，并 且m 在c 也是局部连通的参见文献f 3 4 1 几乎在同一段时间，b r a n n e r 和h u b b a r d 研究了三次多项式的动力系统， 他们用类似于y o c c o z 的拼图技巧，对三次多项式的j u l i a 集的连通性和不完全 连通性作出了完整的刻画，参见文献1 15 【1 6 】这种拼图技巧现在被我们称为 b r a n n e r h u b b a r d y o c c o z 拼图理论利用这个理论，f a u g h t 和h u b b a r d 研气了 具有临界不动点的单参数三次多项式族的j u l i a 集的局部连通性，并且还讨论 了0 点的直接超吸引区域边界的局部连通性，参见文献f 1 9 1 然而在上面这些情形的多项式中，都是只有一个单临界点需要进行考虑， 对于高次的多项式，虽然m i l n o r 曾建议研究由两个二次多项式复合得到的双二 次多项式的j u l i a 集，但是很多的高次多项式却可能有多个临界点需要去考虑， 此时就必须推广b r a n n e r h u b b a r d - y o c c o z 拼图理论 2 0 0 3 年，在文 6 0 1 中，吕菁和邱维元就成功推广了b r a n n e r h u b b a r d y o c c o z 拼图理论，并用这种理论处理了 y ( z ) = z 列- 4 - a z d + b ( d 2 ，a c ，6 c ) 的j u l i a 集特别是当d = 2 ，即，是偶四次多项式时，证明了两个类似b r a n n e r 和h u b b a r d 关于三次多项式的定理：( 1 ) ，的j u l i a 集连通的充要条件是，的 所有临界点都在，的填充j u l i a 集内；( 2 ) ，的j u l i a 集完全不连通的充要条件 是厂的填充j u l i a 集的周期分支内没有临界点 2 0 0 6 年，方丽萍和王勇在文 5 3 】中就运用吕菁和邱维元教授推广了的拼图 理论，巧妙的处理了一类含有单参数和一个l 临界不动点的四次多项式 f ( z ) = z 4 一( 芸+ 2 4 2 ) z 2 + ( 4 4 2 1 ) z + 昙一2 a 2 ( a c ) 的填充j u s a 集，得到了，的填充j u l i a 集的一个连通分支是非平凡的( 即至少 q q s 3 6 1 1 6 3 c o r n 第5 页，共2 9 页毕业论文 第一章绪论 有两个点) 充要条件是该分支是周期临界分支，或者是某个周期临界分支在， 迭代下的逆像 2 0 0 7 年，吕菁和邱维元教授再次在文【6 1 】中利用推广了的拼图理论，研究 了具有一个超吸引不动点的单参数双二次多项式族 五( z ) = ( 名2 2 d ) z 2 的j u l i a 集和f a t o u 分支边界的局部连通性问题，进一步证明了对任意的参数c ， 丘的直接超吸引区域的边界是一条j o r d a n 曲线 1 3 本文的主要工作 如前一节所介绍到的一系列j u l i a 集连通性的进展情况，本文受到他们工 作的启发，利用推广的拼图理论来讨论了一类六次多项式填充j u l i a 集的连通 性，并说明了这种方法推广到更高次多项式可行的条件使得拼图理论在对高 次多项式j u l i a 集的研究工作中得到了拓展 本文共分为三个部分 在第二章中，我们首先在第一节中简单提出了本文将会用到的r i e m a n n - h u r w i t z 公式和有关圆柱体( 或者说圆环) 的模的有关引理；其次第二节介绍了 本文定理证明中需要用到的重要工具即拼图片产生的背景知识：y o c c o z 拼图和 b r a n n e r h u b b a r d 拼图的出现，它们的定义，构造以及具有的性质最后在第 三节里，我们给出了本文要研究的这类六次多项式，指出了它所满足的条件， 并利用推广了的拼图理论构造出了该六次多项式的拼图片，然后得到了这些拼 图片特有的性质 第三章主要讨论的是环和环阵的问题受到文f 5 3 】和【6 0 】的启发，我们在 第一节中介绍了环和环阵的定义；在第二节说明了环阵满足的三个规则，这和 y o c c o z 拼图里面的规则是类似的；在第三节中得到了环阵的模m o d a d ( z ) 趋 向于无穷的性质，这对于本文定理的证明起了至关重要的作用最后在第四节 中定义了临界环阵的回归性和预周期性，并给出了关于回归性和预周期性的一 个命题 第四章主要是定理的证明在第一章和第二章的基础之下，我们在第一节 中利用推广了的拼图理论证明了本文得出的结论第二节是本文的结束部分， q q s 3 6 1 1 6 3 ，t o m第6 页，共2 9 页毕业论文 第一章绪论 对本文的结论提出了推广到更高次多项式的设想，但此时的多项式仍然需要满 足本文六次多项式类似的条件 q q s 3 6 1 1 6 3 c o i i l第7 页，共2 9 页毕业论文 第二章拼图片 2 1 若干公式及引理 本文需了解r i e m a n n h u r w i t z 公式以及圆环的模的相关知识 设s 是m 维流形，现将s 进行剖分为有限多个0 维，1 维，2 维，m 维单形之并，记n 七是k ( k = 1 ，2 ，) 维单形的个数定义x ( s ) = ( - 1 ) 七讯 为s 的欧拉示性数 x ( s ) 与剖分选取无关，且是一个拓扑不变量即如果在两个流形s 1 与 之间存在映射妒，满足妒：s 1 _ s 2 是同胚，则x ( s 1 ) = ) ( ( & ) 我们常见的单位圆盘d ，复平面c ，以及扩充复平面e ，其欧拉示性数分 别为x o ) ) = 1 ，x ( c ) = 1 ，x ( c ) = 2 欧拉示性数) ( 还有这样的关系式假设流形s l 与s 2 是包含于s 的子流 形，那么有 ( 1 ) x ( & u ) + x ( a n & ) = x ( s t ) + ) ( ( & ) ； ( 2 ) x ( s ) = x ( i n ts ) + x ( o s ) 设s 是e 上的由若当曲线围绕成的有界区域，并且s 被分割成了k 块互 不相交的闭拓扑圆盘q “= 1 ，2 ，是) 记t = c s ，于是我们由上面公式 ( 1 ) ，可以得到 k 2 = x ( c ) = x ( t ) + ：) ( ( 哦) ， i = 1 但x ( q t ) = x ( d ) = 1 ，所以x ( r ) = 2 一k 对于这个式子，通过下面三点我 们就会有更深的认识 ( 1 ) 若x ( t ) = 2 ，当且仅当t = e ； ( 2 ) 若x ( t ) = l ，当且仅当t 是单连通的； ( 3 ) 若x ( t ) = 0 ，当且仅当t 是双连通的 从中我们可以看出，当丁是其它情况时，x ( t ) o ) 称为k 的一条等势线，这样的等势线是把k 包围在内部的简单曲线g - 1 ( c ) 通过，映射成了另外一条等势线g - 1 卸c ) 在与等势线族正交的轨迹r 中，若有7 f ，且对v z ，y ，0 7 9 ( ( ：) ) = 常 数，则我们称7 是填充j u l i a 集k 的外射线，而7 落在j u r a 集上的交点称为 7 的着落点 在y o c c o z 拼图片的构造( 参见文献 3 4 】) 中，我们针对的是二次多项式族 p c ( z ) = z 2 + c 设p 。的两个不动点是a 与口，其中a 是口条循环外射线的着落 点，口点上没有外射线着落 现在我们考察区域 z l c ( z ) l ，这是一个包含的单连通区域，在以q 为着落点的口条外射线下被分割成了g 块小的区域，而每块小的区域是互不相 交的闭拓扑圆盘设临界轨道为 02c o _ c 1 _ c 2 _ 一岛一 这g 块互不相交的小区域记为p o ( c 0 ) ，p o ( c 1 ) ，p o ( c q 一1 ) ，称为p c 的深度为0 的p u z z l e 拼图片，且每块岛( c f ) 包含了唯一的g 定义p 。的深度为d + t ( d = 0 ，1 ，2 ，下同) 的拼图片是深度为。的拼 图片硝的原象，一1 ( 蹬) 的连通分支则由g ( ，( z ) ) = 2 g ( z ) 知，如果砭是 由等势线g _ 1 ( c ) 与在点，- d ( q ) 处的外射线分割而成，那么础1 就是由等势线 g 1 ( c ) 2 与在点，一( d + 1 ) ( q ) 处的外射线分割而成的，且每块深度为d + 1 的拼 图片必包含在一块深度为d 的拼图片里面 显然，我们依据拼图片这样的构造原则，对v z 八uf ( q ) ，必存在唯 一的拼图片套r ( z ) ( d = 0 ，1 ，2 ，) ，满足z p d ( z ) ，且 局( z ) ) 尸l ( z ) ) ) p dz ) ) q q s 3 6 l 1 6 3 c o m第1 0 页，共2 9 页毕业论文 第二章拼图片 定义a d ( z ) = ( i n t p d ( z ) ) p d + l ( z ) j 如果岛+ i ( z ) 是完全包含在r ( z ) 内部 的，那么a d ( z ) 就是一个圆环，它的模必然是存在的，且为一个正数；如果 p d ( 名) 的边界与p d + i ( z ) 是相交的，那么我们称a d ( z ) 是一个退化的圆环，它的 模定义为o 运用模的相关知识，可以证明np d ( z ) = ( 。) 。 在b r a n n e r h u b b a r dp u z z l e 的构造( 参加文献【3 4 】) 中我们考虑的是度 之3 的多项式，记，的卯一1 个有限临界点是u o ，u l ，0 3 n - 2 ( 可以相同) ，这 n 1 个临界点中只有1 个临界点( 不妨设为u o ) 的轨道有界，剩下礼一2 个临 界点的轨道都趋向于无穷 设g ：c _ 兄p 是g r e e n 函数，满足g ( 厂( 。) ) = n o ( z ) ，g ( 眦) o ( i = 1 、，n 一2 ) ，且g 在c k 上的临界点是及妣在，迭代下的原象，临界值 则是形如g ( 龇i n 詹( 七 0 ) 的数 选择数7 ，p r , i g ( 地) 舻，使得0 1 0 ，g 的临界点是e 4 ，e 5 以及它们在厂迭代下的原象，g 的临界值 则是数c ( e 4 ) 6 七和g ( e s ) 6 七，k 0 选择数7 ，满足0 7 ) 的欧拉示性数为2 一k ， 且在此区域的临界点个数为( 2 6 2 ) 一3 = 7 而区域 z l g ( z ) 6 7 的欧拉 示性数为2 1 = 1 ，对 f ： z l g ( z ) 7 ) z i g ( z ) 6 ，y ) 应用r i e m a n n h u r w i t z 公式有2 一+ 7 = 6 ( 2 1 ) ，所以七= 3 另，若设r ( z ) 和r + 1 ( z ) 分别是包含k ( f ) 中z 点深度为k 和k + 1 的拼 图片，则显然有r ( z ) 3p k + 1 ( z ) q q s 3 6 1 ( 叠1 6 3 c o l l l 第1 3 页，共2 9 页 毕业论文 第三章环与环阵 本章将在第二章拼图片的基础上引进多项式的环和环阵、进而介绍环阵满 足的规则、再对临晃环阵的相关性质展开讨论。 3 1 环和环阵的定义 定义3 1 1 a k ( z ) = i n t ( p k ( z ) ) p k + 1 ( z ) 通过上一章拼图片的构造，我们知r ( z ) 与r + 1 ( z ) 的边界是不相交的，即 r + l ( 2 ) 是完全包含在r ( z ) 内部的，所以a k ( z ) 是一个有正模的圆环，称为2 点的深度为k 的环环a 知( z ) 称为非临界的( o f f - c r i t i c a l ) ，e j ( j = 1 ，2 ，3 下 同) 临界的( e j - c r i t i c a l ) 和白半临界的( 勺一s e m i - c r i t i c a l ) ，分别指的是这三种情 形：p k ( 名) 不包含任何临界点，p 七+ 】( z ) 包含临界点e j 和a k ( z ) 包含临界点勺 在第一种情形下，厂：a k ( z ) _ a k z ( ，( 。) ) 是一个共形映射，此时 r o o da k ( z ) =r o o da k 1 ( ，( z ) ) ； 在第二种情形下，：a j c ( z ) _ a k 一。( ，( 名) ) 是一个度为2 的覆盖映射，则有 r o o da k ( z ) = 妄r o o da 一1 ( 厂( 2 ) ) ； 在最后一种情形下，由g r f i t z s c h 不等式， m o da k ( z ) 云r o o da k 一1 ( ，( 2 ) ) 所有勺临界环( 或者e j 半临界环) 均简称为临界环( 或者半临界环) f 1 6 1 引理3 1 ，2 一给定z ( ，) 和它的端 z cp kz ) cp k l ( z ) c cp l ( 2 ) ct o ( 2 ) ， 如果m o d a k ( z ) = 。o ，那么nr ( 2 ) = z ) ，即是nr ( 2 ) 是由单点2 所组 k = ok - - - - ok = o 成的 证明 因为对于每一个k ( k = 0 ，l ，2 ，) ，由拼图片的定义可知晟( z ) 是 c 中的单连通紧子集，并且满足 c 户k ( z ) cp k l ( z ) c cf 、( z ) cp o ( z ) ， 第1 4 页，共2 9 页 第三章环与环阵 所以我们由引理2 1 3 立即可得， np k ( z ) 是由单点z 组成的 k - - - - o 定义3 1 3 对z k ( ，) ，若记a k t ( z ) = a k ( f ( z ) ) 是点f z ( 2 ) 的深度为k 的环，其中a k o ( z ) = a k ( z ) ，则z 点的环阵定义为无穷环阵( a k t ( z ) ) k ，z o 3 2 环阵的规则 根据上一节的定义，环阵( a k l ( z ) ) k ，t o 就是填充j u l i a 集k ( f ) 中任意一 点2 的正向轨道f l ( z ) ( 2 = 0 ，l ，2 ，) 的深度为k ( k = 0 ，l ，2 ，) 的所有 圆环的统称它满足如下的三个规则： 规则1 给定z ( z o ) ，第f 列的环a k l ( z ) 满足：( 1 ) 或者存在某个j ，使 得所有a k 。( z ) ( 忌0 ) 均是e j 临界的；或者存在k o 0 及某个j ，使得a 硒t ( z ) 是e j 半临界的而当后 k o 时，a k l ( z ) 是 非临界的 在第一种情况下，称第f 列是完全e j 临界的；在第二种情况下，称第z 列 有一个半临界深度 规则2 如果a k l ( z ) 是e j 临界的，即是a k t ( z ) = a k 。( 白) ，那么当0 m 仃k 时，有a c k n ) “+ 仉) ( z ) = a ( k 一竹) m ( 勺) 规则3如果a 剐( z ) 是e ，半临界的或是e 2 半临界，的，则对任意的 0 d k ，a c k - d ) ( t + d ) ( z ) 就是e l 半临界或是e 2 半临界的而如果a k z ( z ) 是e 3 半临界的且当0 m 几时，a ( k m l m ( e 3 ) 是非临界的，但是a ( k n ) n ( e 3 ) 是 e j 临界的，则当0 是。时：对任意的正整数，环a k l ( z ) 是非e l 临界的和非e 2 临界的 证明因为点：的正向轨道0 + ( z ) = 广( z ) l n o ) ，则由条件有 o + ( z ) n k ( e 1 ) = 毋，0 十( ：) n k ( e 2 ) = o 但是由于( e 1 ) k ( e 2 ) 是闭集，所以存在开集 厂和y ，使得k ( e 1 ) cu ， k ( e 2 ) cv ，并且满足 0 + ( 名) nu = d ，0 + ( 名) nv = 良 又因为 o 。 ( e 1 ) = np k ( e 1 ) ，k ( e 2 ) = np k ( e 2 ) ， 所以必然存在老1 0 ，使得当南 奄1 时，r ( e 1 ) c 矿；必然存在 0 ，使得当 k k 2 时，r ( e 2 ) cv 因此 0 + ( z ) n r ( e 1 ) = d ，0 + ( z ) n r ( e 2 ) = 谚。 记k o = m a x k 1 知2 ) ，从而当七 k o 时，对任意的正整数f ，a 脚( z ) 是非e 1 临界 的和e 2 非临界的 q q s 3 6 1 1 6 3 c o r n 第1 6 页，共2 9 页毕业论文 第三章环与环阵 命题3 3 3 假设m o d a k ( e 3 ) = 。，如果点z k ( f ) 一u 厂哪( k ( e 1 ) ) 一 k = 0n o u 厂n ( ( e 2 ) ) ，那么n 屁( z ) = 。) n 0k - - - 0 证明因为点2 k ( f ) 一uf - n ( k ( e 1 ) ) 一uf - ( k ( e 2 ) ) ，由命题3 3 2 ， 不妨假设v k 0 ，v l 0 ，环a k l ( z ) 都是非e 1 临界的和非e 2 临界的 ( 1 ) 若存在k o 0 ，使得当k k o 且z 0 时，环a 舰( z ) 都是非临界的， 那么由引理3 3 1 和引理3 1 2 可知nrz ) = _ 【z ) ( 2 ) 如果v 0 ，存在最小的i k 0 ，使得a 蠢k ( z ) 是e 3 临界的，即 a k z k ( z ) = a k ( e 3 ) 由规则1 ，当0 和l 0 时，环a k l ( e 3 ) 是非临界的，那么称临界环阵( a k z ( e 3 ) ) k ，z o 是非回归的，否则称临界环阵 ( a 埘( e 3 ) ) k ，t o 是回归的 定义3 4 2 如果在e 3 的临界环阵( a k l f ( e a ) ) k ，z 邳中存在一列，比如第 f ( f 0 ) 列是完全e 1 或者完全e 2 临界的，那么称临界环阵( a k _ f ( e 3 ) ) k ，z o 是预 周期的当第2 列是完全e 3 临界时，临界环阵( a k t ( e 3 ) ) k ，f 0 称为周期的 q q s 3 6 1 1 6 3 c 0 1 2第1 7 页，共2 9 页毕业论文 第三章环与环阵 定义3 4 3如果临界环阵( a k l ( e 3 ) ，l o 的第k 行有一个勺临界环，使 得 f ：a k + l ( e 1 ) 一a k ( e j ) 是度为2 的覆盖映射，那么称临界环阵( a k l ( e 3 ) ) k ，f 0 的第k + ：行为第七行的 子行 定义3 4 4如果k 行没有半临界环，那么临界环阵( a k t ( e 3 ) ) k ，i o 的这 一行称为“好的” 命题3 4 5假设临界环阵( a 知l ( e 3 ) ) k ，邳是回归的但不是预周期的，那 么： ( 1 ) 临界环阵( a