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初二第一学期数学期中复习上海市第十中学 陈静复习要点一、二次根式1.概念：代数式(0)叫做二次根式。当0时，有意义；当时，无意义。2.二次根式的性质0) ；0，0）；0，0）3.最简二次根式被开方数中的因数分解素因数后，各因数指数都为1；被开方数中的因式分解后，各因式的指数都为1。被开方数不含分母。4.同类二次根式的判断方法：将几个二次根式化成最简二次根式；在最简二次根式中，找被开方数相同的根式即为同类二次根式。5.分母有理化：把分母中的根号化去。常见的有：；6.有理化因式：两个含二次根式的非零代数式相乘，若积不含根式，则称这两个含二次根式的非零代数式互为有理化因式。常见的有理化因式有：与 ；与注意：有理化因式不唯一。7.二次根式的运算：（1）注意运算性质的运用；（2）结果化为最简形式。二、一元二次方程1.一元二次方程的概念方程中只含一个未知数；方程中未知数的最高次数为2；方程是整式方程。2.一元二次方程的一般式：二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为。注意的条件（当时，方程变为，就不是一元二次方程）。3.一元二次方程的解法开平方法：形如或（）；因式分解法：对于方程中的部分主要采用因式分解的方法来处理，即提公因式法、套公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法等。配方法： 将形如的方程化成；公式法：对一般式有（求根公式）。4.一元二次方程根的判别式：0，方程有两个实数根。，方程没有实数根。注意：实系数的一元二次方程有实数根的必备条件是：（1）；（2）0，两者缺一不可。5.二次三项式因式分解：，其中为的两根。在二次三项式的因式分解中，要注意避免以下三种错误：（1）符号错误：；（2）漏乘二次项系数：；（3）漏掉字母：如 6.实际应用：增长率问题、几何图形问题等。三、正比例函数1.叫做“是的函数”。判断某种关系是不是函数关系，主要看三个方面：看是否有变化过程；看这个变化过程中是不是有两个变量；看这两个变量之间是否有确定的依赖关系，即当自变量取一个确定的值，因变量是否能相应地有唯一确定的值。2.函数定义域：函数的自变量允许取值范围。求函数的定义域，主要根据函数解析式的特征来确定：表达函数的式子是整式或奇次根式，则定义域是一切实数；表达函数的式子是分式，则定义域是分母不为零的实数；表达函数的式子是偶次根式，则定义域是被开方数大于或等于零的实数；表达函数的式子是实际问题的函数关系，则要根据实际情况来确定。3.函数值：在函数用来表示时，表示为当时，变量的对应值。4.正比例函数概念：函数，其中叫做比例系数。5.正比例函数图象：的图象是经过原点O（0，0）和点（1，）的一条直线，叫做直线。6.正比例函数性质时，图象经过第一、三象限，随增大而增大。时，图象经过第二、四象限，随增大而减小。例题分析例1.化简：分析：注意解： 当0，即2时，原式当，即时，原式例2.已知，求的值。分析：这样的题目一般先化简再求值，在求值中注意因式分解等方法的运用。解： ，例3.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。分析：本题除了要考虑一元二次方程根的判别式外，还要考虑一元二次方程的二次项系数。解：方程有两个不相等的实数根 又方程是关于的一元二次方程 例4.二次三项式可以在实数范围内分解因式，求的取值范围。分析：由于，其中为的两根，故在实数范围内能分解因式，说明有两个实数根，即0。解：由题意得0，解得例5.在实数范围内分解因式：分析：把看作是关于的二次三项式，即把看作主元，则为常数。解：由得 ，例6.已知是正比例函数，问该函数经过哪几个象限？点是否在这个函数图象上？分析：本题除了的次数为1外，还要考虑正比例函数的比例系数。解：由题意得 ， 又 该函数经过第一、三象限；点不在这个函数图象上。自测练习一、填空题（每小题2分，满分28分）1.化简：= _ 2.= _3.分母有理化：= _4.计算： = _5.计算：_6.当a_时，关于x的方程是一元二次方程7.方程的根是_8.在实数范围内分解因式：= _9.当_时，代数式与的值相等10.请写出一个一元二次方程，使其二次项系数为2，有一个根1：_11.某厂一月份产值为元，如果连续两个月产值以相同的百分率上涨，那么三月份的产值为_元（用含和的代数式表示）.12.已知，则_13.函数的定义域为_14.直线经过第一、三象限，则的取值范围是_，此时，的值随的值逐渐增大而逐渐_.二、选择题（每小题3分，满分12分）15.在根式，中，与是同类二次根式的个数有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个16. 下列方程 中，有两个不相等的实数根的方程个数为（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个17. 将方程左边配成完全平方式，得到的方程是（ ）A. B. C. D. 18.下列各题中，给出的两个量成正比例关系的是（ ）A.圆的面积S和半径 B.正方形的面积S和边长C.长方形的一边长确定，它的周长C和另一个边长D.速度一定时，路程S和时间三、简答题（每小题5分，满分25分）19.计算：20.计算：21.解方程：22.解方程：23.因式分解：四、解答题（满分35分）24.（6分）已知，求的值。25.（6分）已知与成正比例，且当时，求（1）这个函数图象经过哪几个象限；（2）时的值。26.（7分）关于的一元二次方程一定有两个实数根吗？为什么？如果有实数根，请问是两个怎样的实数根？27.（8分）关于的一元二次方程没有实数根，试判定关于的方程的根的情况。28.（8分）2006年7月1日，青藏铁路正式开通，结束了西藏没有火车的历史，青藏铁路从格尔木到拉萨全长约1140千米。（1）若火车平均速度为95千米/小时，写出火车行驶路程S（千米）关于时间t（小时）的函数解析式；（2）求该函数的定义域；（3）画出该函数的图象。参考答案1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. （答案不唯一） 11. 12. 13. 14.；增大