R语言中的导数计算.pdf

前言前言 高等数学是每个大学生都要学习的一门数学基础课 同时也可能是考完试后最容易忘记的一门知 识 我在学习高数的时候绞尽脑汁 但始终都不知道为何而学 生活和工作基本用不到 就算是在计 算机行业和金融行业 能直接用到高数的地方也少之又少 学术和实际应用真是相差太远了 不过 R 语言为我打开了一道高数应用的大门 R 语言不仅能方便地实现高等数学的计算 还可 以很容易地把一篇论文中的高数公式应用于产品的实践中 因为 R 语言我重新学习了高数 让生活中充满数学 生活会变得更有意思 本节并不是完整的高数计算手册 仅介绍了导数计算和偏导数计算的 R 语言实现 转载转载 http blog fens me r math derivative 目录目录 1 导数计算导数计算 2 初等函数的导数公式初等函数的导数公式 3 二阶导数计算二阶导数计算 4 偏导数计算偏导数计算 1 导数计算导数计算 导数 Derivative 是微分学的基本概念 用于计算函数的极值 导数的定义为 当函数 y f x 在 x0 的某个领域内有定义 当自变量 x 在 x0 处取得增加 x 点 x0 x 仍在该邻域内 时 相应的 函数取得增量 y f x0 x f x0 如果 y与 x 之比当 x 趋于 0 时的极限存在 则称函数 y f x 在点 x0 处可导 并称这个极限为函数 y f x 在点 x0 处的导数 记为 f x0 即 也记作 y x x0 dy dx x x0 或 df x dx x x0 通过 R 语言可以使用 deriv 函数直接进行导数的计算 比如要计算 y x 3 的导数 根据导数计 算公式 用于手动计算的变形结果为 y 3x 2 当 x 1 时 y 3 当 x 2 时 y 12 本节的系统环境 Win7 64bit R 3 1 1 x86 64 w64 mingw32 x64 64 bit 用 R 语言程序实现 代码如下 dx deriv y x 3 x dx 生成导数公式 expression value x 3 grad array 0 c length value 1L list NULL c x grad x 3 x 2 attr value gradient mode dx 查看 dx 变量类型 1 expression x eval dx 运行求导计算 1 1 8 原函数的计算结果 attr gradient 使用梯度下降法 导函数的计算结果 x 1 3 x 1 dx 3 1 2 3 2 12 x 2 dx 3 2 2 12 用 R 语言程序计算的结果 与我们手动计算的结果是一致的 但计算过程其实是有很大区别的 我们手动计算时是通过给定的导数计算公式 变成后完成的计算 而用计算机程序计算时 是使 用梯度下降法来计算一阶导数 是一种最优化的近似算法 对于手动计算导数时 如果函数比较 复杂而且比较难应用可变形的公式 那么手动计算就会有非常大的困难 而计算机程序的方法是 一般地导数计算方法 不会受到公式难于变形的影响 我们使用 deriv expr name 函数时通常要传 2 个参数 第一参数 expr 就是原函数公式 用 号 来分隔公式的两边 第二参数 name 用于指定函数的自变量 deriv 函数会返回一个表达式 expression 类型变量 再用 eval 函数运行这个表达式得到就可得到计算结果 如上面的代码实 现 如果希望以函数的形式调用计算公式 那么你还需要传第三个参数func 并让func参数为TRUE 参考下面的代码实现 计算正弦函数 y sin x 的导数 根据导数计算公式 用于手动计算的变形结果为 y cos x 当 x pi 时 y 1 当 x 4 pi 时 y 1 其中 pi 表示圆周率 dx deriv y sin x x func TRUE dx 生成导数公式的调用函数 function x value sin x grad array 0 c length value 1L list NULL c x grad x cos x attr value gradient mode dx 检查 dx 的类型 1 function dx c pi 4 pi 以参数作为自变量 进行函数调用 1 1 224606e 16 4 898425e 16 attr gradient x 导函数的计算结果 1 1 x pi dx cos pi 1 2 1 x 4 pi dx cos 4 pi 1 2 初等函数的导数公式初等函数的导数公式 对于基本的初等函数求导数 通过导数计算公式是可以直接手动完成计算的 下面为一元初等函 数的导数计算公式 函数 原函数 导函数 常数函数 y C y 0 幂函数 y x n y n x n 1 指数函数 y a x y a x ln a y exp 1 x y exp 1 x 对数函数 y log x base a y 1 x ln a a 0 且 a 1 x 0 y ln x y 1 x 正弦函数 y sin x y cos x 余弦函数 y cos x y sin x 正切函数 y tan x y sec x 2 1 cos x 2 余切函数 y cot x y csc x 2 1 sin x 2 正割函数 y sec x y sec x tan x 余割函数 y csc x y csc x cot x 反正弦函数 y arcsin x y 1 sqrt 1 x 2 反余弦函数 y arccos x y 1 sqrt 1 x 2 反正切函数 y arctan x y 1 1 x 2 反余切函数 y arccot x y 1 1 x 2 反正割函数 y arcsec x y 1 abs x x 2 1 反余割函数 y arccsc x y 1 abs x x 2 1 公式的注释 y 是原函数 x 是 y 函数的自变量 y 是 y 函数的导函数 C n a 为常数 ln 表示以自然常数 e 为底的对数 exp 1 表示自然常数 e log x base a 表示 以常数 a 为底的对数 sqrt 表示开平方 abs 表示绝对值 正割函数 sec 计算方法为 sec 1 cos x 余割函数 csc 计算方法为 csc 1 sin x 余切函数 cot 计算方法为 cot 1 tan x 注 以上公式不完全匹配于 R 语言函数 接下来 我们分别对这些一元初等函数进行一阶导数的计算 设 y 为原函数 x 是 y 函数的自变 量 且只有一个自变量 常数函数常数函数 计算 y 3 10 x 函数的导数 根据导数计算公式 用于手动计算的变形结果为 y 0 10 x 常 数项 3 的导数为 0 当 x 1 时 y 10 dx dx 1 传入自变量 并计算 1 13 原函数计算结果 y 3 10 1 13 attr gradient x 1 10 导函数计算结果 y 10 1 10 幂函数幂函数 计算 y x 4 函数的导数 根据导数计算公式 用于手动计算的变形结果为 y 4 x 3 当 x 2 时 y 32 dx dx 2 1 16 attr gradient x 1 32 导函数计算结果 y 4 x 3 4 2 3 32 指数函数指数函数 计算 y 4 x 函数的导数 根据导数计算公式 用于手动计算的变形结果为 y 4 x ln 4 当 x 2 时 y 22 18071 dx dx 2 1 16 attr gradient x 1 22 18071 导函数计算结果 y 4 x log 4 4 2 3 22 18071 计算 y exp 1 x 函数的导数 根据导数计算公式 用于手动计算的变形结果为 y exp 1 x 当 x 2 时 y y 7 389056 dx dx 2 1 7 389056 attr gradient x 1 7 389056 导函数计算结果 y exp 1 x exp 1 2 7 389056 对数函数对数函数 计算 y ln x 函数的导数 根据导数计算公式 用于手动计算的变形结果为 y 1 x 当 x 2 时 y 0 5 dx dx 2 1 0 6931472 attr gradient x 1 0 5 导函数计算结果 y 1 x 1 2 0 5 计算 y log2 x 函数的导数 根据导数计算公式 用于手动计算的变形结果为 y 1 x log 2 当 x 3 时 y 0 4808983 但用 R 语言编程时 只能计算以自然常数为底的对数的导数 对于原函数不是以自然常数为底 的对数 首先要变换成以自然常数为底的对数再进行导数计算 根据对数的换底公式 把以 2 为底的对数转换为以自然常数为底的对数 y log2 x log x log 2 dx dx 3 1 1 584963 attr gradient x 1 0 4808983 导函数计算结果 y 1 x log 2 1 3 log 2 0 4808983 正弦函数正弦函数 计算 y sin x 函数的导数 根据导数计算公式 用于手动计算的变形结果为 y cos x 当 x pi 时 y 1 其中 pi 表示圆周率 dx dx pi 1 1 224606e 16 attr gradient x 1 1 导函数计算结果 y cos x cos pi 1 余弦函数余弦函数 计算 y cos x 函数的导数 根据导数计算公式 用于手动计算的变形结果为 y sin x 当 x pi 2 时 y 1 dx dx pi 2 1 6 123032e 17 attr gradient x 1 1 导函数计算结果 y sin x sin pi 2 1 正切函数正切函数 计算 y tan x 函数的导数 根据导数计算公式 用于手动计算的变形结果为 y sec x 2 1 cos x 2 当 x pi 6 时 y 1 333333 dx dx pi 6 1 0 5773503 attr gradient x 1 1 333333 导函数计算结果 y 1 cos x 2 1 cos pi 6 2 1 333333 余切函数余切函数 计算 y cot x 函数的导数 由于 R 语言没有 cot 函数 所以根据三角公式我们动手变形原函 数为 y cot x 1 tan x 后再进行导数计算 根据导数计算公式 用于手动计算的变形结果为 y csc x 2 1 sin x 2 当 x pi 6 时 y 4 dx dx pi 6 1 1 732051 attr gradient x 1 4 导函数计算结果 y 1 sin x 2 1 sin pi 6 2 4 反正弦函数反正弦函数 计算 y asin x 函数的导数 根据导数计算公式 用于手动计算的变形结果为 y 1 sqrt 1 x 2 当 x pi 6 时 y 1 173757 dx dx pi 6 1 0 5510696 attr gradient x 1 1 173757 导函数计算结果 y 1 sqrt 1 x 2 1 sqrt 1 pi 6 2 1 173757 反余弦函数反余弦函数 计算 y acos x 函数的导数 根据导数计算公式 用于手动计算的变形结果为 y 1 sqrt 1 x 2 当 x pi 8 时 y 1 08735 dx dx pi 8 1 1 167232 attr gradient x 1 1 08735 导函数计算结果 y 1 sqrt 1 x 2 1 sqrt 1 pi 8 2 1 08735 反正切函数反正切函数 计算 y atan x 函数的导数 根据导数计算公式 用于手动计算的变形结果为 y 1 1 x 2 当 x pi 6 时 y 0 7848335 dx dx pi 6 1 0 4823479 attr gradient x 1 0 7848335 导函数计算结果 y 1 1 x 2 1 1 pi 6 2 0 7848335 3 二阶导数计算二阶导数计算 当我们对一个函数进行多次接连的求导计算 会形成高阶导数 一般的 函数 y f x 的导数 y f x 仍然是 x 的函数 我们就把 y f x 的导数叫做函数 y f x 的二 阶导数 记作 y 即 一阶导数的导数叫做二阶导数 二阶导数的导数叫做三阶导数 N 1 阶导数的导数叫做 N 阶导 数 习惯上把二阶以上的导数称之为高阶导数 比如 计算 y sin a x 函数的二阶导数导数 y 其中 a 为常数 根据导数计算公式 用于手动 计算的变形结果为一阶导数为 y a cos a x 对 y 再求导公式变形为 y a 2 sin a x 用 R 语言进行程序实现 a dx dx pi 3 计算一阶导数 1 0 8660254 attr gradient x 1 1 导函数计算结果 y a cos a x 2 cos 2 pi 3 1 dx dx pi 3 1 1 attr gradient x 1 3 464102 导函数计算结果 y a 2 sin a x 2 2 sin 2 pi 3 3 464102 上面二阶导数的计算 我们是动手划分为两次求导进行计算的 利用 deriv3 函数其实合并成一 步计算 dx dx pi 3 计算导数 1 0 8660254 attr gradient x 1 1 一阶导数结果 attr hessian x x 1 3 464102 二阶导数结果 我们再计算另外一个二阶导数 计算 y a x 4 b x 3 x 2 x c 其中 a b c 为常数 a 2 b 1 c 3 根据导数计算公式 用于手动计算的变形结果为一阶导数为 y 2 x 4 x 3 x 2 x 3 4 2 x 3 3 x 2 2 x 1 当 x 2 时 y 81 对 y 再求导公式变形为 y 3 4 2 x 2 2 3 x 2 当 x 2 时 y 110 dx dx 2 1 49 attr gradient x 1 81 一阶导数结果 attr hessian x x 1 110 二阶导数结果 这样就直接完成了二阶导数的计算 在 R 语言中二阶导数是可以直接求出的 想计算更高阶的 导数就需要其他的数学工具包了 4 偏导数计算偏导数计算 在一元函数中 我们已经知道导数就是函数的变化率 对于二元函数我们同样要研究它的 变化 率 然而 由于自变量多了一个 情况就要复杂的多 在数学中 一个多变量的函数的偏导数 就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定 相对于全导数 在其中所有变量都允许变 化 偏导数的算子符号为 记作 f x 或者 f x 偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率 在 向量分析和微分几何中是很有用的 在 xOy 平面内 当动点由 P x0 y0 沿不同方向变化时 函数 f x y 的变化快慢一般说来是不同的 因此就需要研究 f x y 在 x0 y0 点处沿不同方向的变化率 在这里我们只学习函数 f x y 在 x0y 平面沿着平行于 x0y 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时 f x y 的变化率 x 方向的偏导 设有二元函数 z f x y 点 x0 y0 是其定义域 D 内一点 把 y 固定在 y0 而让 x 在 x0 有增量 x 相应地函数 z f x y 有增量 称为对 x 的偏增量 z f x0 x y0 f x0 y0 如果 z 与 x 之比当 x 0 时的极限存在 那么此极限值称为函数 z f x y 在 x0 y0 处对 x 的偏导数 partial derivative 记作 f x x0 y0 y 方向的偏导 函数z f x y 在 x0 y0 处对x的偏导数 实际上就是把y固定在y0看成常数后 一元函数z f x y0 在 x0 处的导数 同样 把 x 固定在 x0 让 y 有增量 y 如果极限存在那么此极限称为函数 z x y 在 x0 y0 处对 y 的偏导数 记作 f y x0 y0 同样地 我们可以通过 R 语言的 deriv 函数进行偏导数的计算 下面我们计算一个二元函数 f x y 2 x 2 y 3 x y 2 的偏导数 由于二元函数曲面上每一点都有无穷多条切线 描述这个函 数的导数就会相当困难 如果让其中的一个变量 y 取值为常数 那么就可以求出关于另一个自变 量 x 的偏导数了 即 f x 下面我们分别对 x y 两个自变量求偏导数 设变量 y 为常数 计算 x 的偏导数 f x 4 x 3 y 2 当 x 1 y 1 时 x 的偏导数 f x 4 x 3 y 2 7 设变量 x 为常数 计算 y 的偏导数 f y 1 6 x y 当 x 1 y 1 时