高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.1 两角差的余弦函数 3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数课件2 北师大版必修4.ppt

3 2两角和与差的三角函数3 2 1两角差的余弦函数3 2 2两角和与差的正弦 余弦函数 知识提炼 两角和与差的正弦 余弦函数 sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin sin 即时小测 1 思考下列问题 1 cos60 cos30 cos 60 30 成立吗 提示 不成立 2 cos cos cos 成立吗 提示 不一定 3 两角和与差的正弦 余弦公式与诱导公式有什么关系 提示 和差角公式是诱导公式的推广 诱导公式是和差角公式的特例 如sin 2 sin2 cos cos2 sin 0 cos 1 sin sin 当 或 中有一个角是的整数倍时 通常使用诱导公式较为方便 2 cos 15 的值是 解析 选c cos 15 cos 30 45 cos30 cos45 sin30 sin45 3 化简cos 45 cos 15 sin 45 sin 15 的结果为 解析 选a 原式 cos 45 15 cos60 4 sin14 cos16 sin76 cos74 解析 原式 sin14 cos16 cos14 sin16 sin 14 16 sin30 答案 5 cos165 解析 cos165 cos 45 120 cos45 cos120 sin45 sin120 答案 知识探究 知识点两角和与差的正弦 余弦公式观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 两角和与差的正弦 余弦公式各有什么特点 问题2 根据公式c 的识记规律 你能总结出公式s 的记忆规律吗 总结提升 1 公式的记忆 1 对于两角和与差的余弦公式c 可以简记为 余余正正 和差相反 2 对于两角和与差的正弦公式s 可以简记为 正余余正 和差相同 2 公式的适用条件公式中的 不仅可以是任意具体的角 也可以是一个 团体 如cos中的 相当于公式中的角 相当于公式中的角 因此对公式的理解要注意结构形式 而不要局限于具体的角 3 公式的作用 1 正用 把sin cos 从左向右展开 2 逆用 公式的右边化简成左边的形式 当结构不具备条件时 要用相关公式调节后再逆用 3 变形应用 它涉及两个方面 一是公式本身的变用 二是角的变用 也称为角的拆分变换 如 2 题型探究 类型一给角求值问题 典例 1 cos105 sin195 的值为 2 的值为 解题探究 1 典例1中105 与195 的关系是什么 提示 195 105 90 2 典例2中如何处理20 提示 20 30 10 解析 1 cos105 sin195 cos105 sin 90 105 cos105 cos105 2cos105 2cos 135 30 2 cos135 cos30 sin135 sin30 答案 2 原式 答案 方法技巧 解决给角求值问题的策略解这类题目的关键是将非特殊角转化为特殊角 充分地拆角 凑角转化为角的正弦 余弦 正切公式 同时灵活运用两角和与差的正弦 余弦及正切公式 变式训练 2015 全国卷 sin20 cos10 cos160 sin10 解题指南 由cos160 cos20 利用两角和的正弦公式求解 解析 选d 原式 sin20 cos10 cos20 sin10 sin30 补偿训练 sin347 cos148 sin77 cos58 的值为 解析 原式 sin 13 360 cos 180 32 sin77 cos58 sin 13 cos32 sin77 cos58 sin13 cos32 sin77 cos 90 32 cos77 cos32 sin77 sin32 cos 77 32 cos45 答案 类型二给值 式 求值 典例 1 已知则cos 2 已知求sin的值 解题探究 1 典例1中sin 的值是什么 提示 由2 典例2中 与已知 的关系是什么 提示 观察发现 解析 1 因为所以答案 2 因为故所以 延伸探究 1 改变问法 典例2中条件不变如何求的值 解析 由典例2解析知又 2 改变问法 典例2中条件不变如何求cos2 的值 解析 由典例解析知又所以由 延伸探究 1知 方法技巧 给值 式 求值的策略解决这类问题的关键在于从整体上把握所求的角与已知条件中角的运算关系 具体有以下几种情况 1 当 已知角 有两个时 所求角 一般表示为两个 已知角 的和或差的形式 2 当 已知角 有一个时 此时应着眼于 所求角 与 已知角 的和或差的关系 然后应用诱导公式把 所求角 变成 已知角 补偿训练 已知向量a cos sin b cos sin a b 求cos 解析 因为a cos sin b cos sin 所以a b cos cos sin sin 因为 a b 所以所以2 2cos 所以cos 类型三辅助角公式的应用 典例 1 函数f x 1 tanx cosx的最小正周期为 a 2 b c d 2 的值是 解题探究 1 典例1中求f x 的最小正周期的关键是什么 提示 关键是利用三角变换公式将f x 化成asin x 的形式 2 典例2中哪一个角 的提示 60 解析 1 选a f x 所以最小正周期t 2 2 原式 cos60 cos15 sin60 sin15 cos 60 15 cos45 答案 延伸探究 若典例1中函数f x 变为 f x 则最小正周期如何 解析 f x 所以最小正周期t 方法技巧 asinx bcosx的化简步骤 1 提常数 即把asinx bcosx提出得到 2 定角度 由我们不妨设sin 则得到 cos sinx sin cosx 3 化简 逆用两角和的正弦公式可得asinx bcosx sin x 变式训练 2015 四川高考 sin15 sin75 的值是 解析 sin15 sin75 sin15 cos15 sin 15 45 答案 补偿训练 1 求y 的最大值和周期 解题指南 把函数的解析式化为y asin 的形式 然后求其最大值和周期 解析 y 当 k z 时 所以函数的最大值是 周期为 2 函数f x sinx cosx的最小正周期是 解析 f x 最小正周期是2 答案 2 3 函数y 2sinx cosx的最大值为 解析 y 2sinx cosx sin x 其中 当sin x 1时 ymax 答案 易错案例求三角函数的值 典例 在三角形abc中 则cosc 失误案例 错解分析 分析上面的解析过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是忽视角的范围导致错误 实际上本题中由cosb 可知b为钝角 则角a为锐角 故cosa的值是正值 自我矫正 因为cosb 所以b为钝角 所以sinb 所以a为锐角 cosa 又c为锐角 则cos