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文档简介

西北工业大学颅一卜学位论文 摘墨 摘要 工业c t ( i c t ) 是在无损状态下 物体内部几何和材质信息的检测技术。 通过重建物体断层切片扶度图象来获取 由于具有彳i 受材料和结构限制的优点, c t 在发达国家已被广泛应用于各产业部门的无损检测、无损评估与逆向工程等 研究,被誉为当代最佳无损检测手段,具有广阔的应用前景和良好的发展前途。 代数重建算法( a r t ) 是取代滤波反投影算法,解决菲完全投影问题的最有 效方法。但传统a r t 算法运算、存储量较大,重建速度较慢,图象质量较低, 成为算法实用性的瓶颈。本文以此为研究背景,从算法的数学原理出发,结合计 算机并行技术,对a r t 的并行加速和图象质量优化展开研究,并针对超出探测 器尺寸的航空航天大型零部件的无损检测提出了解决方案。 主要研究内容和成果如下: 1 基于数字样品的快速高精度投影算法。针对a r t 算法要求,同时结合 c t 仿真环境特点,研究了基于数字样品模型的二维和三维前向投影算法。提出 了一种对空间体素网格的快速遍历方法,加快了投影速度;引入复化s i m p s o n 积分方法,提高算法对材质非均匀分布零件的投影精度。仿真实验结果表明,算 法在满足功能梯度材料投影精度要求的前提下,相比传统u g 仿真投影算法加速 比达到1 0 0 倍以上,极大地提高了算法的计算速度; 2 快速并行a r t 重建算法。在结合上述快速前向投影算法的基础上,研 究了a r t 算法的数学原理,结合i n t e l 处理器的m m x 、s s e ( 2 ) 等单指令多数据 ( s i m d ) 并行技术,提出了种快速并行的a r t 重建算法。详细讨论了迭代过 程中的加速技术和优化的内存访问方式,给出了最终的算法流程。通过仿真实验, 得到了质量较好的重建结果i 与传统a r t 算法比较,加速比达到2 0 倍左右,增 强了算法的工程实用性。 3 大尺寸零件的重建方法。针对超出探测器尺寸的大型零部件、宽大扁平 零件的无损检测,分剐提出了几种解决方案,通过仿真实验验证了算法的可行性, 得到了可以满足工程应用要求的重建结果。 4 重建图象质量优化方法。根据投影访问规律,针对投影角度的访问顺序, 提出了改进的投影随机访问方法,并在此基础上提出了一种基于零件特征的投影 访问方法,提高了访问角度序列的计算效率,对于不同类型的零件具有自适应的 能力,相比以往投影访问方式,误差降低为1 3 ,较大地提高了重建精度。 关键词: i c t 、代数重建算法、前向投影、s i m d 指令,并行运算、非完全投 影、图像重建、无损检测 两北t 业火学倾l 学位论文 a b s t r a c t l n d u s t r i a lc t ( i c t ) l sat e s t i n gt e c h n o l o g yt h a to b t a i n st h ei n n e ri n f o r m a t i o n i n c l u d i n gg e o m e t r i c s t r u c t u r ea n d m a t er i aj j n g r e d i e n t o f o b j e c t s b v r e c o n s t r u c t i n ag r a yj m a g e so ft h ei n t e r s e c t i o ns l i c e si nt h en o n - d e s t r u c t i v e c o n d i t i o ng i y e nt h em e r i to fi n s u b j e c t i o nt ot h er e s t r i c t i o n so fm a t e r i a ia n d s t r u c t u r e f n m a n yd e v e l o p e dc o u n t r i e s i c ti s w i d e l ya p p l i e d i n t o n o n d e s t r u c t i v et e s t i n g ( n d t ) ,e v a l u a t i o na n dr e v e r s ee n g i n e e r i n gi nm a n y f i e l d s c o n s i d e r e da st h eb e s tn d ta p p r o a c hi nt h em o d e r nw o r l d i c th a s b r o a da p p l i c a t i o np e r s p e c t i v ea n df a v o r a b l ed e v e l o p i n gf u t u r e a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt b c h n o l o g y ( a r t ) i st h em o s te f f i c i e n tm e t h o di o r e p l a c et h ef i l t e rb a c k p r o j e c t i o nr e c o n s t r u c t i o nm e t h o da n dr e s o l v et h e p r o b l e mo fi n c o m p l e t ep r o i e c t i o nd a t a sr e c o n s t r u c t i o n h o w e v e r , c o n v e n t i o n a l a r tb e a r ss o m es h o r f c o m i n g ss u c ha st i m e c o n s u m i n gc o m p u t a t i o n ,h u g e d a t as t o r a g e i o wi m a g eq u a i l t ya n di l lr e c o n s t r u c t i o ne f f i c i e n c y , w h i c hb e c o m e i h eb o t t l e n e c ko fi t su t i l i z a t i o no nt h i sr e s e a r c hb a c k g r o u n d b a s e do nt h e m a t h e m a t i cp r i n c i p l e so fa r t , c o m p r e h e n d i n gc o m p u t i n gp a r a l l e lt e c h n o l o g y , t h i sd i s s e r t a t i o nw i l lr e s e a r c ho na r t l sp a r a l l e la c c e l e r a t i o na n dq u a l i t y o p t i m i z a t i o no fr e c o n s t r u c t i o ni m a g e s a n db r i n gf o r w a r ds e v e r a ja p p r o a c h e s o fn d to fh u g ep a r t si na e r o s p a c ec r a f t sw h o s es i z e sa r ei a r g e rt h a nt h a to f c td e t e c t o r t h ep r i m a r yr e s e a r c hc o n t e n ta n df r u i t sa sf o i l o w i n g : 1 r a p i da n dh i g he f f i c i e n c yp r o j e c t i o na r i t h m e t i cb a s e do np h a n t o m a i m i n ga tt h er e q u i r e m e n t so fa r t , c o m b i n i n gl h es p e c i a l t i e so fc ts i m u l a t i o n c o n d i t i o n ,t h i sd i s s e r t a t i o nr e s e a r c h e so nt h e2 da n d3 df o r w a r dp r o j e c t i o n a r i t h m e t i c sb a s e do np h a n t o mm o d e l ar a p i d v o x e l t r a v e r s i n gm e t h o di s b r o u g h tf o r w a r dt op r o m o t et h ep r o j e c t i o ns p e e d ;c o m p l e xs i m p s o ni n t e g r a li s u s e dt o i m p r o v et h ep r o j e c t i o na c c u r a c yo fp a r t sw i t hh e l e r o g e n e o u s i v d i s t r i b u t i n gm a t e r i a l st h er e s u t t so fs i m u l a t i o ne x p e r i m e n t s i l u s t r a t et h a ti n t h ec o n d i t i o no fs a t i s f y i n gl h ea c c u r a c yr e q u i r e m e n to ff u n c t i o n a l l yg r a d i e n t m a t e r i a l s p r o j e c t i o n ,c o m p a r e dt ot h ec o m m o nu ga r i t h m e t i c ,t h i sm e t h o d r e m a r k a b l ys p e e d su pt h ec o m p u t a t i o nw i t ha c c e l e r a t i n gr a t i oo fm o r et h a n 1 0 0 2 r a p i dp a r a l l e ia r t b a s e do nf h eo r o j e c t i o nm e t h o da b o v e r e s e a r c h i n g o nt h em a t h e m a t i cp r i n c i p l e so fa r t , i n t e g r a t i n gl h es i m dt e c h n o l o g i e ss u c h a sm m x ,s s e ( 2 ) o fi n t e lc p u ,ar a p i dp a r a l l e la r ti sa d v a n c e d t h i s d i s s e r t a t i o nw i l id i s c u s st h ea c c e l e r a t i n gt e c h n i q u e ;ni t e r a t i v ep r o c e s sa n d o p t i m i z e dm e m o r ya c c e s s i n gm o d e nd e t a i l a n dd e m o n s t r a t et h ef i n a l p r o c e d u r eo ft h ea r i t h m e t i cc o m p a r e dt oc o n v e n t i o n a la f 盯:t h i sm e t h o d o b t a i n sa c c e l e r a t i n gr a t i o no fu pt o2 0 ,w h i c hs t r e n g t h e n st h ea p p l i c a t i o n a f t 两北t 业人学坝卜学位论文 a b i l i t yo f a r t 3 r e c o n s t r u c t i o nm e t h o d so fh u g ep a r t s s e v e r a ir e s o l v e n t si sc r e a t e dt o r e c o n s t r u c tp a r t sw i t hh u g es i z e sa n db r o a da n df l a ts h a p e s s i m u l a t i o n e x p e r i m e n t sh a sp r o v e dt h ef e a s i b i l i t yo ft h e s em e t h o d s ,a n dr e c e i v e dr e s u l t s m e e t i n gt h er e q u i r e m e n t so fe n g m e e r m ga p p l i c a t i o n 4 q u a l i t yo p t i m i z a t i o no fr e c o n s t r u c t i o ni m a g e a c c o r d i n gt op r o j e c t i o n a c c e s s i n gp r i n c i p l e a ni m p r o v e d m e t h o di sa d v a n c e dt oo p t i m i z et h e a c c e s s i n gs e q u e n c eo fp r o j e c t i o na n g l e s g r o u n do nt h i s t h i sd i s s e r t a t i o nh a s f i n i s h e dap r o j e c t i o na c c e s s i n ga p p m a c hb a s e do nt h ef e a t u r eo ft h ep a r t w h i c he n h a n c e st h ee f f i c i e n c yo fc o m p u t i n gt h es e q u e n c eo fp r o j e c t i o na n g l e s a n di sp r o v i d e dw i t hs e l f - a d a p t i v ea b i l i t yt op a r sw i t hd i f f e r e n ts h a p e s t h i s o r l ed r a m a t i c a l l yi m p r o v e st h er e c o n s t r u c “o na c c u r a c ya n dr e s u l t s u s t1 3 e r r o ro fp r e v i o u sp r o j e c t i o na c c e s s i n gm e t h o d s k e y w o r d s : i c t ,a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n o l o g y ,f o r w a r dp r o j e c t i o n , s i m di n s t r u c t i o n ,p ar e l l e l c o m p u t a t i o n ,i n c o m p l e t ep r o j e c t i o n ,i m a g e r e c o n s t r u c t j o n n d t 西北工业大学坝l j 学位论文 第一辛绪论 1 1 工业c t 技术概述 第一章绪论 c t ( c o m p m e dt o m o g r a p h y ) 技术是一种在医学诊断治疗和无损检测等领域 得到广泛应用的非破坏性图象获取技术。自1 8 9 5 年伦琴发现x 射线、1 9 7 2 年英 国工程师h o u s f i e l d 研制成功第一台医用c t 检测装置至今,c t 技术无论是在算 法研究还是硬件发展上都得到了长足的进步。目前,在世界上x 射线c t 已经被 广泛应用于航空、航天、军事、冶金、机械、电子、建筑和石油化工等部门的无 损检测、无损评估与逆向工程等研究,扫描对象包括金属机械零件、复合材料零 件甚至硬质木材 1 2 1 ,并已经形成了一个相对独立的技术领域一工业 c t ( i n d u s t r i a lc o m p m e r i z e dt o m o g r a p h y ,i c t ) 。工业c t 技术在国防工业及民用 工业中有着广阔的应用f l i 景,且在许多应用场合中是常规射线实时成像和超声探 伤等方法所不能取代的,被国际无损检测界称为当今世界最佳的无损检测手段。 目前国外先进的工业c t 系统已达到的主要技术指标为:最高空间分辨率 1 0 2 5 1 a m ,最高密度分辨率o 1 0 5 ,最大成像象素4 0 9 6 4 0 9 6 ,最高x 射线 能量6 0 m e v ,可检测最大直径约为4 m 的物体。硬件方面,由于探测器由过去的 单一、线性发展到现在的平板式,射线源的能量也大大提高,因此扫描方式发生 了革命性的变化,c b v c t ( c o n eb e a mv o l u m ec t ) 也即锥束体积c t 将逐渐耿 代以往的单探测器线性扫描和平面扇形束扫描。 我国i c t 研究起步于上世纪九十年代,各大高校和科研院所相继投入精力 进行工业c t 硬件和仿真系统丌发的研究工作。重庆大学在1 9 9 3 年1 0 月率先研 制成功我国第一台实用型工业c t 机;机械工业部北京自动化研究所也于九十年 代初完成h l r t - 1 高低能x 射线通用图象处理系统 1 2 1 ;清华大学物理系“粒子 技术与辐射成像”国家专业实验室先后研制成功基于快速算法和并行计算的体积 c t 样机 1 9 ;华北工学院在九五期间开展了高能x 射线无损检测技术的研究 5 】。 西北工业大学现代设计与集成制造技术实验室中美c b v c t 图象工程中心多 年来一直在进行i c t 的基础理论和工程应用技术方面的研究,成功地开发出一 套基于平板探测器的锥束c t 的仿真软件,目前硬件调试工作也f 在进行中。 西北工业夫学坝 学位论文 第一章绪论 图1 1 v c t 系统i 璺| c t 成象的核心原理是出投影重建图象的理论。自从19 1 7 年j r a d o n 提出著 名的r a d o n 变换,该理论就成为c t 重建技术的重要基础。目前,重建图象的主 要方法分为两类:变换法和级数展丌法。变换法中有两类典型的重建方法:基于 反投影的滤波( 或卷积) 方法和不合反投影步骤的傅旱叶( f o u r i e r ) 重建方法。 变换法的优点是计算量小,重建速度快,对完全投影数据能获得很好的重建质量, 因此目前实用的c t 系统中广泛采用变换法,其最大的缺点是对投影数据的完备 性要求较高。级数展开法是将图象重建阐题转化为求解重建图象各象素值和投影 之间关系的代数方程组。级数展丌法能和特定的成象设备及数据采集物理过程的 特性相结合,并能利用某些先验知识,尤其适合于不能获得完整投影数据场合的 图象重建。级数展开法中以代数重建法( a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h l l j g u e s , a r t ) 最具代表性。h o u s e f i e l d 的第一台c t 实际上用的就是a r t 算法2 3 1 。 1 2 研究背景及意义 本论文题目来源于国家自然科学基金项目( 项目编号5 0 3 7 5 1 2 6 ) 。其目标之 一是建立锥束c t 检测软硬件系统,并解决航空发动机涡轮叶片、航天器复合材 西北丁业人学坝l j 学位论文第一章绪论 料整流罩等复杂零件无损检测应用中的关键技术。 现阶段可实用的工业c t 系统多采用滤波反投影重建算法,该算法是一种解 析重建算法,从数学上讲,只有获得被检试件所有的r a d o n 变换数据( b 口完全 投影数据) 才能精确重建切片图象,即投影应遍及1 8 0 。( 对平行束) 或3 6 0 。 ( 对扇形束) 范围,且应均匀分布,这使被检工件的几何尺寸受到限制,因而在 实际中对些大型构件无法检测或很难检测到完全的投影数据。例如,发动机压 气机盘外缘靠近叶片榫头部位,是应力水平最高的区域,易于发生疲劳,特别是 在飞机起飞发动机处于加力大功率状态时,裂纹迅速扩展并断裂,飞行员来不及 跳伞,造成机毁人亡的严重事故。因此,研制能够在外场条件下,对压气机盘高 应力区微裂纹发展进行无损检测的装备,对于保障飞行安全极为必要。但由于客 观原因,只能对整个压气机盘进行部分扫描,由于所得到的投影数据对整个压气 机盘而言是不完全的,因此滤波反投影算法将无能为力。另外,在天文、物探、 地震成像等领域采样到的数据通常也是不完全的和非等间隔的,同样不能用滤波 反投影法进行重建。为此有必要对不完全投影情况下的图象重建算法进行研究。 代数重建法是提出最早并最为人们熟悉的算法,后文将会提到,它所具有的特点 使其成为解决非完全投影的最有效手段,因此本文拟用代数重建法来进行不完全 投影数据的图象重建。 但代数重建方法运算、存储量较大,重建速度较慢,成为影响其在工程实际 中应用的瓶颈。因此,研究一种快速并行的代数重建算法,显著提高算法速度和 效率,解决非完全投影重建问题,对于航空航天大型零部件的无损检测具有重要 的工程应用价值 6 7 。因此本论文以上述项目需求为背景,针对工程应用中必 须解决的非完整投影数掘的重建问题丌展研究。在现有研究基础上,重点研究提 高代数重建算法的计算效率和图象质量的关键技术,并改进和完善相关仿真工 具。这对于将代数重建方法应用到工业c t 系统中,实现不完全投影数据情况下 的图象重建具有重要的应用价值,既可作为实验室今后在相关领域的研究工作打 下良好的基础,也是进一步开发新一代工业c t 仿真和实验系统的基础。 1 3 国内外研究现状 a r t 算法的本质是用迭代法求解线性代数方程组。迭代重建的概念首先由 两北t 业大学倾i 学位论文 第一章绪论 g o r d o n 、b e n d e r 、h e r m a n 等人于1 9 7 0 年引入图象重建领域。当时遭到了不少学 者的指责。1 9 7 1 年h e r m a n 等人曾同c r o w t h e r 、k l u g 等在j o u r n a lo ft h e o r e t i c a l b i o l o g y 上展开了一场辩论。c r o w t h e r 等认为a r t 的理论根据不足。后来,h e r m a n 等证明迭代重建法是以“估计理论”作为其坚实的数学基础的。为了提高a r t 算法的工程应用性能,学者们先后提出了联合代数重建( s a r t ) 、修改的联合代 数重建( m s a r t ) 、频谱分析图象重建( f s a r t ) 和神经网络重建等新型代数重建 方法,这些技术可以在极少投影数( 4 - - 6 ) 的条件下快速地实现较高质量图象重 建 2 0 1 。近年来人们又提出了不少提高代数重建方法重建速度的方法,如基于块 迭代的修f 的代数重建算法 8 ,h m a l c o l m h u d s o n 提出了子集排序( o r d e r i n g s u b s e t ) 算法 9 ,其核心思想在于利用数据的分组排列提高迭代速度,但仅适用 于广角扇束扫描方式,而且在提高收敛效率,减少迭代次数方面的效果尚不明显。 中国科学技术大学的蒋广胜等应用多线程计算模型和应用程序多线程化在曙光 号上具体实现了代数重建方法的多线程化,取得了一定的加速效率【1 0 】。 由于a r t 算法计算量大、重建时间长,在很长一段时问内限制了其在医学 和工业c t 领域的应用 2 i ,2 2 】。但其对于非完全投影数掘可以进行重建,重建图 象的密度分辨率高,也能保证较好的空间分辨率,抗噪声干扰能力强,如果投影 数据完全,图象质量也可以较好 2 4 ;其次,重建算法简单,适用于不同格式的 采样数据;另外可以结合一些先验知识进行求解【1 1 ,1 3 ,1 4 】。随着科学技术的发 展,计算机的计算速度会越来越快,迭代重建法所需时削较长的缺点将降为次要 矛盾 2 5 ,而它的优点所需投影数较少、较灵活等将更加突出,并将打破目 前商用c t 由滤波反投影重建算法垄断天下的局面。 1 4 论文主要研究内容与章节安排 本论文主要通过理论分析与计算机仿真实验相结合的手段来进行研究,研究 内容主要包含以下几个部分: i c t 的理论及重建算法 代数重建方法原理 快速高精度前向投影算法 4 两北丁业人学坝f 学位论文 第一幸绪论 代数重建算法的并行加速方法 代数重建方法的图象质量优化与应用 本文的章节安排如下: 第一章绪论 概述论文的主要内容。对c t 的历史、i c t 在工业领域中的应用以及i c t 的 成象原理作了综述,然后论述了论文的研究背景、研究意义及研究现状,接着阐 述了本论文的主要研究内容,并对各章节的安排作简要说明。 第二章t c t 理论及重建算法 具体介绍了1 c t 的物理原理和数学理论基础以及几种主要的重建算法,并 简要介绍了几种重建算法的优缺点。 第三章代数重建方法 重点阐述a r t 算法的原理及其实现过程,以及影响a r t 算法收敛的因素, 简要介绍其它代数重建算法。 第四章前向投影算法 介绍前向投影算法的原理及其实现过程,简要介绍s m d 并行技术,在此基 础上具体介绍二维和三维高效前向投影算法,并给出仿真实验结果与分析。 第五章代数重建算法的速度及图象质量改进方法 对重建算法其他环节上对于速度的一些改进手段展开讨论,得到最终的快速 并行代数重建算法步骤;对几种非完全投影数据提出解决方法,给出实验结果; 并针对如何改进图象重建质量,提出两种投影访问角度的分布方法。给出以上算 法的仿真实验结果并加以分析。 第六章总结与展望 总结本文的研究工作,同时提出今后值得进一步进行的研究工作。 1 5 本章小节 本章首先简要介绍了c t 的历史、i c t 在工业领域中的应用,然后论述了论 文的研究背景、研究意义及研究现状,接着阐述了本论文的主要研究内容,并对 各章节的安排作了简要说明。 西北工业大学硕士学位论文 第- 二章c t 璀论披蜃建算法 第二章c t 理论及重建算法 2 1 i c t 的物理原理 工业c t 的基本物理原理与医用c t 相同,均是基于射线与物体的相互作用 原理。当一定能量的x 射线穿越物体时,由于产生光电效应、康普顿效应及电 子对效应等物理过程,入射光子将被物质吸收,使得射线强度发生衰减。 xr 图2 1 射线衰减示意图 如图2 1 所示,束波长为 的平行x 射线束( 也可理解为一条理想的直线) , 穿过厚度为出的样品实体,设x 射线束在穿入样品之前的能量为而,穿出样品 之后的能量为,而穿透厚度为d x ,那么在长度为d x 的路径上x 射线的能量衰 减为d 7 2 ,吨,同时令d f = 一厅出,其中卢称之为线性衰减系数,即: 2 一d y ( 4 d x )f 2 1 1 其中负号表示衰减。它的物理意义为:x 射线穿过单位长度的材质后发生的 能量相对变化。它是物质的特殊属性,表示材料对x 射线的阻碍能力,对于不 同种类的材料,线性衰减系数不同。 对于般的物体,设0 为被测物体某断面的线性衰减系数的分布函数, , 、 则入射强度,。和出射强度,满足: ,= 厶t e x p 7 肛阮y ) 刃7 ( 2 2 ) 6 卅杪吣 睁舒 黑 堕j ! 三些= ! = ;堂! | ! | ! :兰篁笙兰 釜三要旦些望丝垦丝塑! 垄一 y 射线源 、 掣( z ,y ) 讲 ,、 己 , 一、 一 s 7 、 ? ?, 、 坦 一一一“ x 工 , 探测器 图2 2射线投影示意图 其中l = l ( o ,s ) 是穿过物体断面的直线,如图2 2 所示,s 是直线l 到坐标原点的 距离,目是直线的法线与x 轴f 向的央角,d ,为直线上的积分元。对式2 1 两边取对数可得 - n ( 争 = 1 1 1 ,o - i n = 黔删。 由于直线三的法线式方程为x c o s o + y s i n o = - r ,上式等号右边的积分值的积分路径 完全由0 和s 来决定,因此可记 肿,口) = 1 n ( 争】= p ( x ,y ) d l , ( 2 3 ) 定义p ( r ,自) 为射线穿过物体后的投影值。由上式可以看出投影值p ( r ,目) 是被检 物体某断面的线性衰减系数分布函数p 0 ) 沿射线路径的线积分值。变动口和r 可得到各个方向、不同位置上的投影值,在实际c t 系统中相当于扫描过程,也 即投影的获取,而如何出一系列投影值p ( r ,来反求线性衰减系数分柿函数 ) ,也就是由投影重建图象。 2 2c t 图象重建的数学原理 c t 图象重建的思想最早是由丹麦数学家雷登( r a d o n ) 于1 9 1 7 年提出的。 他证明了后束被称为r a d o n 变换的数学定律,阐述了投影图象及其傅立叶中心切 片之间的关系,成为了c t 投影图象重建的数学基础 2 3 。本节将对r a d o n 变换 和投影定理( 中心切片定理) 以二维情况为例进行简要叙述,并引出重建算法。 西北工业大学硕士学位论文第二章c t 理论及重建算法 2 2 1 投影的数学定义及r a d o n 变换 投影是一种变换,其将。一个维函数通过对该函数沿某一特定方向的积分 而变换成一个一1 维函数。例如,二维图象辑雌2 ) 沿x 2 轴方向积分得到一函数: ? 。,( 一) = if ( x l ,x 2 ) d x 2( 2 4 ) 这就是,0 i ,。2 ) 沿x 2 轴的投影。 一般情况下,投影不一定沿菜轴方向。令j f = x l , ,x 2 ,# 为一n 维矢量,以x ) = 厂( x l ,x 2 ,, x n ) y 0 一n 维函数,又令u = 【“l ,“2 ,“】为新的坐标系。设x = u a ,其中 a 为一正交变换。则函数d x ) 在超平面( “i ,“2 ,“,h ,u n ) 上的投影为: 只。( m ,“z ,“。,。,“。) = f ( x it c x n 胁,= f 厂( u a ) 啦 ( 2 5 ) 坐标轴u i 垂直于超平面( “1 ,“2 ,“h ,“,u n ) ,称为投影轴。当n = 2 时,a 也 就是平面旋转矩阵,即a : 。0 8 护3 i “臼1 。 一s i n 臼c o s 占。 ( 2 6 ) 在二维情况下,上述的超平面( “】,“2 ,“,a ,“n ) 退化为一条直线f ,与 x 轴夹目角,如图2 3 所示。利用变换a 将笛卡儿坐标0 ) 转换为极坐标( ,目) , 可以将图象函数_ 狂) 沿,7 yr 的投影表示为2 7 式,所在坐标系如图2 4 所示: p 2 弘川拈一黔舢2 _ 7 ( 而舢a r c t 肌扣( 2 ,) 了 晶( r ) “国 o 、 , 。蝌| | e j j 譬美s x 图2 3 密度函数及其投影函数图2 4r a d o n 变换中所用坐标系统 而又可以根据2 7 式将函数 r 用投影p 表示。将2 7 式称为r a d o n 变换,2 8 式称为r a d o n 反变换。 m 琉班( 专 矩赤掣幽却s , 两北丁业人学倾l 学位论立 第一章c t 理论发晕建算_ 土 2 2 2 投影定理( 傅立叶中心切片定理) 设舷,纠为一二维图象,其傅立叶变换为: f ( ) = f 厂( w ) g 叩加”蚴 ( 2 9 ) 设该图象在z 轴上的投影为邑( x ) = ( z ,y ) 妙,其傅立叶变换为 g 。( “) - e g ,( x ) e - j2 = , x d x = j 抄( y ) g 岔呻 ( 2 ,1 0 ) 将2 9 式与2 ,1 0 式比较,可以得到: g 。( “) = f ( u ,0 ) ( 2 ,1 1 ) 对于与x 轴成任意妒角的轴并上的投影邑( x a ,通过旋转矩阵a 进行变换 可以得到g ( p ,p ) :f ( ) , “2 p ? 鲫。 l v 2 p s m p ( 2 1 2 ) 由此可以得出这样的结论,二维图象删在与x 轴夹伊角的射线上的投影 的傅立叶变换,等于该图象的二维傅立叶变换。图2 5 直观地表明了这种关系。 又y 一维博川变换 一、| j | | 豁,y 罐 、篷 f 。 一维傅、舢f 变换 2 3c t 投影重建概述 卒域 时域 图2 , 5 中心切片定理示意图 c t 重建算法的种类很多,大致可以分为如下几种:反投影重建算法、滤波 9 西北t 业大学顺【:学位论史第二章c t 理论及蓐建算往 反投影重建算法、直接傅立叶变换重建算法和迭代重建算法等。 2 3 1 傅立叶变换重建算法 根据前述中心切片定理,只要获取足够多角度下的投影,对其进行一维傅立 叶变换,就能将数据充满二维傅立叶频域空吲,再进行二维反变换就可以得到重 建图象了 2 6 】。公式如下: s ( x ,y ) = | lf ( u ,v ) 8 。2 。“+ 9 d u d v ( 2 13 ) 傅立时变换重建算法的步骤如下: 1 ) 获取0 1 8 0 。各个角度下的投影( 理论上应为连续无穷多,实际应采取 等间隔采样的方式) : 2 ) 求出各个投影的一维傅立叶变换,根据中心切片定理,这些变换就是图 象二维傅立叶变换经过原点的切片; 3 ) 将这些切片汇集成图象的二维傅立叶变换: 4 ) 对此进行二维傅立叶反变换得到重建图象。 2 3 2 反投影和滤波反投影重建算法 反投影重建算法是基于如下思想获取切片数据的:重建图象数据( 断层平面 上的密度值) 可看作所有经过该点的射线投影之和。所谓反投影是指投影的逆变 换过程:在二:维情况下,某视角妒下的投影数据以( “,) 沿“i 方向的整个空间 均匀地抹一次,从而得到一个二维分布g ( u ,“:) = p 。( “:) ,并赋以密度的量纲, 这就是反投影。图2 6 即为反投影重建的数据流: 原幽象:广 广 重建幽象 h获取投影卜_ 叫反投影重建卜_ _ + 8 ( x ,y j :。二! 坂x ,y ) 图2 6 反投影重建等效系统 从上述描述可以看出,反投影算法实际上是把投影数掘以一种平均的方式反 向累加到投影方向上的每个点上,这样原来图象上密度( 灰度) 为零的点可能 出现大于零的情况,而原来密度较高的点将会降低,因此直接由投影反求重建的 图象比较模糊,信噪比较低,不能直接用于工程或者医学实用。 o 堕! ! 王些叁兰塑! :兰堡丝兰一一 竺= 主竖! 墅鱼些曼些兰! ! 一 在反投影的基础上,学者们提出了名为滤波反投影的一种改进重建方法,即 在获取投影之后,反投影重建之前,加入一个一维滤波器,对投影图象进行预处 理,然后再进行反投影重建。等效系统如图2 7 。 慧扼匦寸怔亟寸恒叵班篡警 j ( x ,y ) : 一 “、“,7 图2 7 滤波反投影重建等效系统 下面给出滤波反投影的数学表达。设待重建图象为厂( z ,y ) = 夕( p ,妒) ,二维 傅立叶变换为f ( u ,v ) = p ( 麒妒) ,根据中心切片定理,k ( p ,妒) 可通过m ) 在不同 视角妒下的投影儿( _ ) 的一维傅立叶变换求得,即 f ( “,v ) = 户( p ,妒) = f1 p 。( x ,) = 己( p ) = p ( p ,妒) ( 2 1 4 ) 由此可得用投影数据重建待建图象的表达式如下: 夕( r ,= 厂( x ,y ) = f m f v ) 】= 4 。1 :e f ( q ,q ) 一“1d q d , = r 户( 卿) 刚刊i p l d p d ( 口= f r p ( 舢) 2 ”“徊”i p l d p d o ( 2 1 5 ) = f 却l l p l p ( p ,妒) e 。2 9 7 。3 8 一计d p 在推导上式时,n n t2 1 1 式,咀及由j a c c o b i 矩阵得出的微分关系式2 1 4 : d ,8 q = i 。d 肿 = l l a o 7 印o p a a c 哆o 3 a ( 妒0 1 d ,d ,1 2 2 7 石r c 。o i 。s 妒f p - 2 2 即r p 。s 。i 。n 妒( o l d 卢d 妒2 4 万2 p ( 2 1 6 ) 对于2 1 5 式的不同数学变形,滤波反投影可以又分为卷积反投影和r a d o n 反变换。对于卷积反投影,首先对2 1 5 式的第二个积分如下转化: l i p l p ( p , o ) e p - - o , o o o - 口 d p = i p l p ( p ,妒) e7 2 。”i 。一,、d p = ( x ,) + p ( x r , 妒) l 。:,。;( 。一, = g ( x ,妒) l :,。日一。) = g r c o s ( o 一妒) ,妒 ( 2 1 7 ) 上式中的g ( _ ,妒) :p ( 耳,妒) + ( x ,) ,f f 日h ( x r ) = f 一:1 ( p ) l ,p ( _ ,妒) = f 一 i p ( p ,妒) l , 从上述推导就可以得出,2 1 7 式的物理意义就是投影p 经过传递函数为 h = i f 、 ( _ ) 】的滤波器滤波后得到了修正以后的投影g ( 一,妒) 在所有通过定点 堕! ! 王些查兰堕! :兰丝堡兰 兰三里翌堡! 墼墨些蔓! 茎一 ( e 目) 时的值。最后将2 1 7 式代入2 1 5 式可以得到下式: 于( r ,臼) = f g r c o s ( 0 一妒) ,o d e ( 2 1 8 ) 2 1 8 就是卷积滤波反投影的表达式,其表述的物理意义是:经过给定点( ,日) 的所有滤波后的射线投影在妒= o 丌范围内的累加,得到( 印点的密度值。 r a d o n 反变换j 的不同在于,将2 1 5 式的第二个积分 p ( p ,妒) g 2 ”州9 训d p ,也即e f p i p ( p ,妒) e j 2 4 “d p ,看作是函数h p ( p ,妒) 在 频域下向空域的反变换,其中x ,是空域变量,而p 是频域变量。r a d o n 反变换公 式即为2 ,8 式,此处不作重复。 滤波反投影重建的步骤与傅立【卜t 变换重建类似,只是在获得各投影的一维傅 立叶变换之后,需要乘上某种形式的滤波函数,再将此结果用修改后的投影函数 作直接反投影,就乎导到了最终的重建图象。 2 3 3 级数展开法 级数展开法是与前述变换法完全不同的一种重建算法。它是建立在对图象网 格离散的基础上,将每个网格内的密度( 灰度) 值看作是一个未知数,将每个经 过重建区域的投影看作是一个方程,通过解方程组的方法求出整个重建图象的灰 度分布。代数重建算法就是级数展开法的最具代表形式。此后的章节将对代数重 建算法展开研究。 2 4 本章小结 本章以二维情况为例,阐述了c t 图象重建的数学原理,介绍了几种具有代 表性的重建算法,并对其优缺点进行了简单比较。 两北丁业人学硕f 学位论文第三章代数量矬算泣 第三章代数重建算法 如上一章所述,代数重建算法( a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m ,以下简称 a r t ) 是级数展丌法的典型方法,最早由k a c z m a r z 在提出“投影方法”的概念 后,根据求解相容线性方程组方法提出的,并由t a n a b e 作了进一步的阐述 2 7 。 本章将就a r t 算法的基本概念和数学原理展丌讨论,并介绍几种具有代表性的 a r t 算法。 3 1a r t 算法原理概述 作为级数展开法的一种,a r t 算法是根据求解线性方程组思想,以解决离 散化数字图象重建为目的的。其主要实现方法可以分n2 t n t 步骤 2 8 : 1 ) 用网格离散化重建图象,并给整幅图象赋以初值: 2 ) 建立重建模型,并根据此模型计算出初始值情况下的图象在各个角 度下的投影; 3 ) 将计算出的投影值与真实投影值进行比较,并掘此采用某种方法修

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