高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.2 排序不等式课件 新人教B版选修45.ppt

2 2排序不等式 1 了解排序不等式的数学思想和背景 2 了解排序不等式的结构与基本原理 3 理解排序不等式的简单应用 1 排序不等式定义 设a1 a2 an b1 b2 bn为两组实数 c1 c2 cn为b1 b2 bn的任一排列 称a1b1 a2b2 anbn为这两个实数组的顺序积之和 简称顺序和 称a1bn a2bn 1 anb1为这两个实数组的反序积之和 简称反序和 称a1c1 a2c2 ancn为这两个实数组的乱序积之和 简称乱序和 定理 排序原理 又称为排序不等式 设a1 a2 an b1 b2 bn为两组实数 c1 c2 cn为b1 b2 bn的任一排列 则有a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 等号成立 反序和等于顺序和 a1 a2 an或b1 b2 bn 排序原理可简记作 反序和 乱序和 顺序和 名师点拨 1 排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题 能构造的和按数组中的某种 搭配 的顺序被分为三种形式 顺序和 反序和 乱序和 对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的 次序 两种较为简单的是 顺与反 而乱序和也就是不按 常理 的顺序了 对于排序原理的记忆 我们只需记住用特殊例子的方法来说大小关系 2 学习排序不等式要抓住它的本质含义 两实数序列同方向单调 同时增加或同时减少 时所得两两乘积之和最大 反方向单调 一增一减 时所得两两乘积之和最小 注意等号成立的条件是其中一序列为常数序列 做一做1 1 已知两组数a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 其中a1 2 a2 7 a3 8 a4 9 a5 12 b1 3 b2 4 b3 6 b4 10 b5 11 将bi i 1 2 3 4 5 重新排列记为c1 c2 c3 c4 c5 则a1c1 a2c2 a5c5的最大值和最小值分别是 a 132 6b 304 212c 22 6d 21 36解析 由排序不等式可知 最大值应为a1b1 a2b2 a3b3 a4b4 a5b5 304 最小值为a1b5 a2b4 a3b3 a4b2 a5b1 212 答案 b 做一做1 2 设a1 a2 a3 0 且a1 a2 a3的任一排列为 a 3b 6c 9d 12 答案 a 2 切比晓夫不等式设a1 a2 an b1 b2 bn为任意两组实数 上述两式中等号当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时成立 做一做2 已知a1 a2 a3 b1 b2 b3 r 且a1 a2 a3 b1 b2 b3 则3 a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 填 号 解析 由a1 a2 a3 b1 b2 b3 根据定理可知 即3 a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 当且仅当a1 a2 a3或b1 b2 b3时等号成立 答案 1 对排序不等式的证明如何理解 剖析 在排序不等式的证明中 用到了 探究 猜想 检验 证明 的思维方法 这是探索新知识 新问题常用到的基本方法 对于数组涉及的 排序 及 乘积 的问题 又使用了 一一搭配 这样的描述 这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法 所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解 对于出现的 逐步调整比较法 则要引起注意 研究数组这种带 顺序 的乘积的和的问题时 这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的 2 排序原理的思想是什么 剖析 在解答数学问题时 常常涉及一些可以比较大小的量 它们之间并没有预先规定大小顺序 那么在解答问题时 我们可以利用排序原理的思想方法 将它们按一定顺序排列起来 继而利用不等关系来解题 因此 对于排序原理 我们要记住的是处理问题的这种思想及方法 同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题 题型一 题型二 题型三 题型四 所证不等式中字母的大小顺序已确定的情况 分析 由于题目条件中已明确a b 0 因此可以直接构造两个数组证明 反思可以直接利用a b 0这一条件构造两个数组 用排序不等式证明 题型一 题型二 题型四 题型三 需对所证不等式中所给的字母顺序作出假设的情况 题型一 题型二 题型四 题型三 反思利用排序原理解答相关问题 必须构造出相应的数组 并且要排列出大小顺序 因此比较出数组中各数间的大小关系是解题的关键 题型一 题型二 题型三 题型四 对所证不等式中字母的大小顺序需要加以讨论 例3 若x 0 求证 1 x x2 x2n 2n 1 xn 分析 题目中只给出了x 0 但对于x 1 x 1没有明确 因而需要进行分类讨论 证明 1 当x 1时 1 x x2 xn 由排序原理 顺序和 反序和 得1 1 x x x2 x2 xn xn 1 xn x xn 1 xn 1 x xn 1 即1 x2 x4 x2n n 1 xn 因为x x2 xn 1为序列1 x x2 xn的一个排列 所以再次由排序原理 乱序和 反序和 得1 x x x2 xn 1 xn xn 1 1 xn x xn 1 xn 1 x xn 1 得x x3 x2n 1 xn n 1 xn 将 和 相加 得1 x x2 x2n 2n 1 xn 题型一 题型二 题型三 题型四 2 当0 x x2 xn 但 仍然成立 于是 也成立 综合 1 2 可知1 x x2 xn 2n 1 xn 反思在没有给定字母大小的情况下 要使用排序不等式 必须限定字母的大小顺序 而只有具有对称性的式子才可以直接限定字母的大小顺序 否则要根据具体情况分类讨论 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点 应用排序不等式时 因忽视等号成立的条件致错 例4 已知a1 a2 a3 b1 b2 b3 1 2 且a1 a2 a3不全相等 b1 b2 b3不全相等 试求式子a1b1 a2b2 a3b3的取值范围 错解 不妨设1 a1 a2 a3 2 c1 c2 c3为b1 b2 b3的一个排列 且1 c1 c2 c3 2 则a1c3 a2c2 a3c1 a1b1 a2b2 a3b3 a1c1 a2c2 a3c3 3 a1b1 a2b2 a3b3 12 a1b1 a2b2 a3b3的取值范围为 3 12 错因分析 由于a1 a2 a3不全相等 且b1 b2 b3也不全相等 故排序不等式中的等号不成立 题型一 题型二 题型三 题型四 正解 以上解答同错解中的过程 3 a1b1 a2b2 a3b3 12 又 a1 a2 a3不全相等 且b1 b2 b3不全相等 等号不成立 a1b1 a2b2 a3b3的取值范围为 3 12 123 1设a b 0 p a3 b3 q a2b ab2 则p与q之间的大小关系是 a p qb p qc p qd p q答案 b 123 2设a1 a2 an都是正数 b1 b2 bn是a1 a2 an的任一排列 则 答案 b 123 3车间里有5台机床同时出了故障 从第