湖南大学电工技术第5章 非正弦周期电流电路分析.doc

11第5章 非正弦周期电流电路分析第5章 非正弦周期电流电路分析5.1 一锯齿波电流的波形如图5.1所示，从表5.1中查出其傅里叶三角级数，并写出其具体的展开式。解 查表5.1，得锯齿波电流的傅里叶级数为：由图5.1可知：（A）（rad/s）将Im和代入傅里叶级数，得：5.2 画出非正弦周期电压（V）的频谱图。解 在无特别说明的情况下，一般所说的频谱是专指幅频谱而言的。由非正弦周期电压u的表达式可知其直流分量为V，一次谐波分量的幅值为V，三次谐波分量的幅值为V，将它们用相应的线段按频率高低依次排列起来，即得到非正弦周期电压u的频谱图，如图5.2所示。 图5.1 习题5.1的图 图5.2 习题5.2解答用图5.3 试求图5.3所示波形的有效值和平均值。分析 求非正弦周期信号的有效值和平均值有两种方法：一种是利用有效值和平均值的定义式计算，另一种是求出非正弦周期信号的傅里叶级数后根据有效值和平均值与各分量的关系计算。由于求函数的傅里叶级数计算繁琐，故在没有求出函数傅里叶级数的情况下，采用第一种方法较为简便。如果已知函数的傅里叶级数，则采用第二种方法较为简便。本题采用第一种方法。解 根据图5.3写出电压u的表达式，为：所以，电压u的有效值为：平均值为：5.4 求下列非正弦周期电压的有效值和平均值。（1）振幅为10V的全波整流电压；（2）（V）分析 第（1）小题利用有效值和平均值的定义式计算较为简便，第（2）小题利用有效值和平均值与各分量的关系计算较为简便。解 （1）振幅为10V的全波整流电压的波形如图5.4所示，由图可知该全波整流电压的表达式为：其有效值为：（V）平均值为：（V） 图5.3 习题5.3的图 图5.4 习题5.4解答用图（2）有效值为：（V）因为非正弦周期信号的平均值就等于其直流分量，所以：（V）5.5 将上题中的两个电压分别加在两个阻值为5的电阻两端，试求各电阻所消耗的平均功率。分析 求非正弦周期电路的平均功率也有两种方法：一种是利用平均功率的定义式计算，另一种是利用平均功率与各次谐波平均功率的关系计算。在没有求出函数傅里叶级数的情况下采用第一种方法较为简便。如果已知函数的傅里叶级数，则采用第二种方法较为简便。所以，本题的第（1）小题采用第一种方法，第（2）小题采用第二种方法。解 （1）因为振幅为10V的全波整流电压的表达式为：将其加在阻值为5的电阻两端时产生的电流为：根据非正弦周期电路平均功率的定义，得：（W）（2）将电压（V）加在阻值为5的电阻两端时产生的电流为：（A）直流分量的功率为：（W）基波的平均功率为：（W）三次谐波的平均功率为：（W）所以，该二端网络的平均功率为：（W）5.6 在如图5.5（a）所示的电路中，已知F，电压u的波形为如图5.5（b）所示的三角波。（1）求电流i；（2）画出i的波形；（3）计算i的有效值和平均值。分析 本题为单一参数电路，电容C的伏安关系为，故可先根据电压波形写出其数学表达式，再利用电容C的伏安关系计算电流i。当然，本题也可先根据电压波形求出其傅里叶级数，然后再根据非正弦周期电流电路的分析方法计算电流i。显然，本题采用第一种方法较为简便。解 （1）根据波形写出电压u的数学表达式，为：根据电容C的伏安关系计算电流i，为：（2）电流i的波形如图5.6所示。（3）电流i的有效值为：（A）平均值为：（A） 图5.5 习题5.6的图 图5.6 习题5.6解答用图5.7 一个线圈连接到电压为（V）的周期性非正弦交流电压源上，如果线圈的电阻和对基波的感抗均为1，求线圈中电流的瞬时值、有效值、平均值以及平均功率。分析 应用叠加定理将各分量单独作用时的结果进行叠加，便可求得在非正弦周期电压作用下流过线圈的电流。计算时需注意，电压的不同谐波分量作用时，电阻R与频率无关，而感抗与频率成正比，因此计算感抗时的频率必须是相应谐波的频率。另外还需注意的是，应用叠加定理时，不能将表示不同频率的电流相量直接相加，更不能将各电流的有效值直接相加。至于平均功率的计算，由于在非正弦周期电流电路中同样只有电阻消耗功率，而电感和电容不消耗功率（即只有瞬时功率，没有平均功率），所以计算k次谐波分量的平均功率时，既可以采用公式，也可以采用公式。解 线圈的等效电路如图5.7（a）所示，图中的电压u为：（V）由于非正弦周期电压u已分解为傅里叶级数，因而可直接分别计算各分量在电路中产生的电流。在外加电压的基波分量u1（角频率为）单独作用下，电路的相量模型如图5.7（b）所示。由于电压u的基波分量u1为：（V）用相量表示，则为：（V）因为线圈的电阻和对基波的感抗均为1，即：（）（）所以，电路中的基波电流相量为：（A）其正弦表达式为：（A）在外加电压的三次谐波分量u3（角频率为3）单独作用下，电路则如图5.7（c）所示。由于电压u的三次谐波分量u3为：（V）用相量表示，则为：（V）这时线圈的电阻仍为1，但电感的感抗为：（）所以，电路中的三次谐波电流相量为：（A）其正弦表达式为：（A）根据叠加定理，把上面求得的基波电流分量及三次谐波电流分量的正弦表达式相加，即得最终结果，为：（A）电流的有效值为：（A）电流的平均值为：基波的平均功率为：（W）或：（W）三次谐波的平均功率为：（W）或：（W）电路的平均功率为：（W） 图5.7 习题5.7解答用图5.8 一RC串联电路，已知电流（A），电压V，功率W，试求电阻R和电容C的值。分析 因为只有电阻R消耗功率，所以，在已知P、I1、I3的值时，电阻R的值可由公式求得。注意电压，其中U1和U3分别为基波电压和三次谐波电压，再利用U1与基波电流和基波阻抗的关系，以及U3与三次谐波电流和三次谐波阻抗的关系，即可计算出电容C的值。计算时还需注意的是，电容的容抗与频率成反比，所以基波的容抗，三次谐波的容抗。解 由于只有电阻R消耗功率，所以，从而解得：（）分别画出基波电流i1和三次谐波电流i3单独作用时的电路，分别如图5.8（a）、（b）所示。由图可得：其中：从而得：即：解之得：F 图5.8 习题5.8解答用图5.9 电路如图5.9所示，电源电压（V），已知，。试求电流的瞬时值、有效值和电路的平均功率。解 由于非正弦周期电压u已分解为傅里叶级数，因而可直接分别计算各分量在电路中产生的电流。在外加电压的基波分量u1（角频率为）单独作用下，电路的相量模型如图5.10（a）所示。由于电压u的基波分量u1为：（V）其相量为：（V）因为：所以，电路中的基波电流相量为：（A）其正弦表达式为：（A）在外加电压的三次谐波分量u3（角频率为3）单独作用下，电路则如图5.10（b）所示。由于电压u的三次谐波分量u3为：（V）其相量为：（V）这时电阻R仍为5，但电容的容抗为：（）所以，电路中的三次谐波电流相量为：（A）其正弦表达式为：（A）根据叠加定理，把上面求得的基波电流分量及三次谐波电流分量的正弦表达式相加，即得最终结果，为：（A）电流的有效值为：（A）基波的平均功率为：（W）或：（W）三次谐波的平均功率为：（W）或：（W）电路的平均功率为：（W） 图5.9 习题5.9的图 图5.10 习题5.9解答用图5.10 电路如图5.11所示，电源电压（V），已知，。试求电流的瞬时值、有效值和电路的平均功率。图5.11 习题5.10的图分析 计算时需注意，电压的不同谐波分量作用时，电阻R与频率无关，而电感L和电容C对不同频率的谐波分量呈现出不同的感抗和容抗，计算感抗和容抗时的频率必须是相应谐波的频率。由于感抗与频率成正比，容抗与频率成反比，因此，对于基波，则对于三次谐波，同理，对于五次谐波，。解 在外加电压的基波分量u1（角频率为）单独作用下，电路的相量模型如图5.12（a）所示。由于电压u的基波分量u1为：（V）其相量为：（V）所以，电路中各支路的基波电流相量为：（A）（A）（A）（A）其正弦表达式为：（A）在外加电压的三次谐波分量u3（角频率为3）单独作用下，电路则如图5.12（b）所示。由于电压u的三次谐波分量u3为：（V）其相量为：（V）所以，电路中各支路的三次谐波电流相量为：（A）（A）（A）（A）其正弦表达式为：（A）在外加电压的五次谐波分量u5（角频率为5）单独作用下，电路则如图5.12（c）所示。由于电压u的五次谐波分量u5为：（V）其相量为：（V）所以，电路中各支路的五次谐波