第一章_牛顿力学的基本原理_习题解答.doc

第一章_牛顿力学的基本原理_习题解答_By XuJie1.1、 细杆绕固定点以匀角速率转动，并推动小环在固定的钢丝上滑动，点与钢丝间的垂直距离，如图所示。求小环的速度和加速度。解：建立如图一维坐标系，以O点在上的投影为原点。设C点位于处，由题意在中有：因，而于是求导有 1.2、椭圆规尺的两端点分别沿相互垂直的直线槽及滑动，已知端以匀速运动（如图所示）。求椭圆规尺上点的轨道方程、速度及加速度的大小和。解：建立如图所示的直角坐标系，设点的坐标为。在椭圆规尺运动过程中，点的横、纵坐标可以写成：，消去可得点的轨迹：点的速度为：又点的速度为：，坐标为所以，从而有代入可得于是点的速度大小为：，点的加速度为：点的加速度大小为：1.3、一半径为的圆盘以匀速角速率沿一直线滚动（如图所示）。求圆盘边上任意一点的速度和加速度（以、点的连线与铅直线间的夹角表示）；并证明加速度矢量总是沿圆盘半径指向圆心。解：建立如图所示的直角坐标系设初始时刻点的坐标为，为任意常数点的横纵坐标可以表示成：，于是点的速度为：点的加速度为：又，说明了加速度 沿径向。1.4、一半径为的圆盘以匀角速率在一半径为的固定圆形槽内作无滑动地滚动(如图所示)。求圆盘边上点的速度和加速度(用参量和表示)。解：建立如图所示的极坐标系；若圆盘初始时刻从连心线与铅直线成角滚下。因圆盘在固定圆形槽内作无滑动地滚动，约束条件为：求导得：对于点有：即求导有：由图中的几何关系知：与间的夹角为与间的夹角为所以有， 代入表达式有： 1.5、已知某质点的运动规律为：，和都是非零常数（i）写出质点轨道的极坐标方程；（ii）用极坐标表示出质点的速度和加速度解：（i）由极坐标系和直角坐标系的关系可知：，又，消去可得：所以质点的轨道的极坐标方程可写成：（ii）已知，故；据质点的轨道极坐标方程可得：在极坐标系中，质点的速度为：代入可得：在极坐标系中，质点的加速度为：又代入可得质点的加速度为：1.6、已知一质点运动时，径向和横向的速度分量分别是和，这里和是常数。求出质点的加速度矢量。解：在极坐标系中，质点的加速度为：由已知和极坐标系中质点的速度表达式可知： ，易得：，由有，即，化简并代入和的值可得：于是有，从而质点的加速度矢量为：1.7、质点作平面运动，其速率保持为常量。证明质点的速度矢量与加速度矢量正交。证明：要证明质点的速度矢量与加速度矢量正交，在数学关系上表现为：由于质点作平面运动，在运动平面上建立直角坐标系若质点的位移矢量表示为：则速度矢量为：，加速度矢量为：所以由于质点速率保持为常量，设此常量为，那么有对求一阶导有：所以，证毕另外，本题也可在平面极坐标系中进行证明，不过稍显繁杂一些。1.8、一质点沿心脏线以恒定速率运动。求出质点的速度和加速度。解：由质点的轨迹方程可知，选取极坐标系较为简捷。在极坐标系中，质点的速度为： 由于质点速率恒定为，所以有：又已知，故代入，化简得：于是 从而质点的速度为： 在极坐标系中，质点的加速度为：由和可知：从而质点的加速度为：1.9、已知质点按，运动。分别求出质点加速度矢量的切向和法向分量，径向分量和横向分量。解：由质点的时间参量方程，消去时间参量可得质点的轨迹方程：从轨迹方程的形式可知，选取极坐标系较为简捷。在极坐标系中，质点的加速度为：由，可知：，代入加速度表达式有：所以加速度矢量的径向分量为：加速度矢量的横向分量为：又在极坐标系中，质点的速度为：。所以代入，可解得：在自然坐标系中，又同一加速度在不同坐标系下并不改变其大小，所以有：，那么所以加速度矢量的径向分量为：加速度矢量的横向分量为：注意：这里要注意区分极坐标系和自然坐标系中的，从而绕过的方式求1.10、质点以恒定速率沿一旋轮线运动，旋轮线方程为，。证明质点在方向作等加速运动。证明：要证明质点在方向作等加速运动，用数学关系式表现为：，为某一常量。由旋轮线方程为，可解得：，又知质点的速率恒定为所以有：，化简有： 代入可得：那么，证毕1.11、一质点沿着抛物线运动(如图所示)，其切向加速度的量值是法向加速度量值的倍。若此质点从正焦弦的一端点以速率出发，求质点到达正焦弦的另一端点时的速率。解：由于已知切向加速度的量值是法向加速度量值的倍，即，那么选择自然坐标系较为简捷。又质点的轨迹方程为，所以又可用直角坐标系。在自然坐标系中，加速度为：其中，即，化简后，再分离变量积分可得：，c为积分常数。又；对抛物线方程求导有：，即由初始条件，质点在端点的速率为可知，即代入A点的速率表达式可得：在端点时，即代入B点的速率表达式可得：用B点的速率表达式除以A点速率的表达式可得：化简可得B点的速率为：1.12竖直上抛一小球，设空气阻力恒定。证明小球上升的时间比下落返回至原地点的时间短。证明：小球受力分析如图所示，建立一维坐标系。由于小球是作竖直上抛运动，所以小球运动至最高点时的速度为0，设小球能上升的最大高度为；小球上升的加速度为，上升的时间为；小球下降的加速度为，下降的时间为。小球受到的阻力恒定，不妨设恒定常数为，且。小球在上升阶段时：受力为：运动学方程为：，在下降阶段受力为：受力为：运动学方程为：，由于，所以，证毕。1.13、质量为的质点，自离地面高度处竖直下落。若空气阻力与质点速度的平方成正比，比例常数为，试讨论此质点下落过程中的运动状况。解：小球受力分析如图所示，建立一维坐标系。空气阻力与质点速度的平方成正比，质点受力为：运动学方程为：质点运动的初始条件为：时，求解运动学方程，化简有：分离变量可得：两边积分有：，解得：再次分离变量，然后积分：，解得：求导有：，由上式质点的位移、速度和加速度的表达式可知：当时，说明了此时质点做匀速直线运动。由质点的合力表达式知，此时质点所受合力为0。于是质点在离地面高度处竖直下落的运动情况为：质点在离地面不高的情况下，为有限数时，随着速度的增大，质点所受合外力不断减小，质点做加速度减小的变加速直线运动。质点在离地面很高的情况下，随着速度的增大，阻力也增大，质点做加速度减小的变加速直线运动，直到与重力相等，此后，质点做匀速直线运动。1.14、将一质量为的质点以初速率与水平线成角度抛出，此质点受到空气阻力是其速度的倍，这里是常数。试求当此质点的速度与水平线之间的夹角又为角度时所需的时间。解：质点受到重力和阻力，如图所示，选取自然坐标系。质点受到的合力为：在自然坐标系下有： (1) (2)化简(2)式有： (3)代入(1)式有：，分离变量可得： (4)对(4)积分有： 式中为积分常数。即 (5)初始条件：时，。代入(5)式得：可解得的值为： (6)代入(5)有： 又，把(3)式代入有：把(5)式代入可得：，分子分母同除以有：由于的取值范围为，两边积分可得：计算可得：把(6)式中的值代入化简可解得：1.15、一质量为的质点用一长度为不可伸长的轻绳悬挂于一小环上，小环穿于一固定的水平钢丝上，其质量为。开始时，小环静止质点下垂，处于平衡状态。今若沿钢丝的水平方向给质点以大小为的初速度，证明若轻绳与铅垂线之间的夹角是时，小环在纲丝上仍不发生滑动，则钢丝与小环间的摩擦系数至少是，此时绳中的张力为证明：质量为的质点和质量为的小环受力分析如图，由于小环在钢丝上不滑动，小环静止，质点做圆周运动。对质点有： 对小环有：，又质点只有重力做功：对以上几式化简可得：，证毕1.16、滑轮上绕有轻绳，绳端与一弹簧的一个端点联结，弹簧的另一端挂一质量为的质点，如图所示，当滑轮以匀角速率转动时，质点以匀速率下降。若滑轮突然停止转动，试求弹簧的最大伸长及弹簧中的最大张力。已知弹簧受作用力时的静止伸长是解：当滑轮以匀角速率转动时，质点以匀速率下降，此时质点受力平衡，弹力等于重力，伸长量为，那么弹簧的倔强系数为：。当滑轮突然停止转动时，质点和弹簧以及滑轮系统级只有弹力和重力做功，机械能守恒有：解得，那么最大张力为：也可用动能定理求解1.17、两个同样的轻质弹簧，劲度系数为，自然长度是，在它们中间竖直地串接一质量为的质点。弹簧的另外两个端点分别固定于点和点，如图所示，间的高度差是。设开始时质点静止于的中点，求质点的运动规律。解：因胡克定律中弹簧的伸长量是以弹簧的平衡位置为参考点。现假定质点朝轴正向移动了处，那么以为端点的弹簧，伸长量为：弹力为：以为端点的弹簧，伸长量为：弹力为：由牛顿第二定律可得质点的运动学方程：即代入和相应数据化简可得：齐次方程属于典型的简谐振动，通解为：，为常数。观察非齐次方程的形式，可设特解为常数，代入非齐次方程可求得：所以非齐次方程的通解为：求导有：由初始条件，当时，代入质点的位移和速度解中有：，于是有：，其中所以质点的位移为：，速度为：1.18、两个质量都是的质点和质点用一自然长度为的轻质弹簧相连，置于光滑水平桌面上，如图，弹簧的劲度系数为，开始时刻，两质点处于静止状态，弹簧呈自然长度；而后，质点沿方向受到一大小为的恒力作用。分别求出质点和的运动规律。解：建立如图所示的一维坐标系，并取质点静止时的位置为原点，那么质点在初始时刻的位置为。设任意时刻质点的坐标为，质点的坐标为，质点和与弹簧构成的系统质心坐标为，那么在质心系中质点的坐标为，质点的坐标为。初始条件，时：质心坐标：，质点的坐标：，在质心坐标系中，质点和的受力分析如图所示，竖直方向受力平衡，没有画出。由相对运动知： (1)对于系统有： (2)积分两次并利用初始条件有：， (3)在质心坐标系中对质点： (4) (5)联立(1)(5)式可得利用常微分方程知识求解得：， 式中，为待定常数。代入初始条件可求得：由质心定义，可得1.19、一质点从一光滑圆柱表面最高点处，自静止自由下滑，如图所示，问质点滑至何处将脱离圆柱表面？解：设质点在圆柱表面上运动时与铅垂线之间的夹角为，圆柱的半径为质点沿光滑圆柱表面自静止自由下滑，轨迹为圆弧，选择自然坐标系较为简捷。质点受力分析如图所示。质点在法向运动学方程为： (1)质点在整个运动过程只有重力做功，据动能定理有： (2)联立(1)和(2)式有：由于脱离圆柱表面的条件就是质点对圆柱表面的压力为0可知，1.20、一纲丝弯成尖端朝上的摆线：，上面穿有一质量为的小环。今若小环在钢丝的最低点处获得大小为的初速度，开始沿摆线滑动。求当小环的速度方向与水平线成角度时，小环的速率。已知小环与钢丝间的摩擦系数为。解：取摆线一段，作受力分析如图所示，为质点运动方向和水平线间的夹角。由轨迹方程知，质点作平面曲线运动，选择自然坐标系较为简捷。 (1) (2)又 (3)因 (4)联立(1)、(2)、(4)有： (5)由(3)式关系，把(5)两边同时乘以可得： (6)(6)式是一个关于的非齐次一阶微分方程，因非齐次一阶微分方程的解为，代入初始条件，时，可求得通解。即当小环的速度方向与水平线成角度时，小环的速率为：1.21、如图，用细线将 质量为的圆环悬挂起来，环上套有两个质量都是的小环，它们可以在大环上无摩擦地滑动。若两小环同时从大环顶部由静止向两边滑动，证明如果，大环将会升起；此时角是多大？解：两小环受力分析(实线)和大环受力分析(虚线)如图所示。小环