自然数平方和公式的推导与证明.doc

自然数之和公式的推导法计算1，2，3，n，的前n项的和：由 1 + 2 + + n-1 + n n + n-1 + + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”等差数列求和公式的推导一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即1、 思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。我们用两种方法表示： 由+，得 由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。2、 除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如： = = = =这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。 一、 设：S=12+22+32+n2另设：S1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2中的12+22+32+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+22n+22) +( n2+23n+32)+( n2+2nn+n2)=n3+2n(1+2+3+n)+ 12+22+32+n2，即S1=2S+n3+2n(1+2+3+n).(1)第二：S1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2可以写为：S1=12+32+52+ (2n-1)2+22+42+62+(2n)2，其中：22+42+62+(2n)2=22(12+22+32+n2)=4S.(2)12+32+52+(2n-1)2=(21-1)2+(22-1)2+(23-1) 2+ (2n-1) 2= (2212-221+1) +(2222-222+1)2+(2232-223+1)2+ (22n2-22n+1)2=2212+2222+2232+22n2-221-222-223-22n+n=22(12+22+32+n2)-22 (1+2+3+n)+n=4S-4(1+2+3+n)+n.(3)由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+n)+n.(4)由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+n) =8S-4(1+2+3+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+n)+ 4(1+2+3+n)-n = nn2+n(1+n)+2(1+n)-1 = n(2n2+3n+1) = n(n+1)(2n+1) S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+n2= n(n+1)(2n+1)/6(5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位自然数。由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数。二、由自然数平方和公式推导自然数立方和公式设S=13+23+33+n3.(1)有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+13.(2)由(1)+ (2)得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+n3+13 =(n+1)(n2-n+1) + (n+1)(n-1)2-2(n-1)+22) + (n+1)(n-2)2-3(n-2)+32) + . . . + (n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+ n2)即2S=( n+1)2(12+22+32+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-n (n-n+1) .(3)由12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得：2S=(n+1)2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-nn+21+32+n(n-1) =(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+n)+(1+1)1+(2+1)2+(n-1+1)(n-1) =(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n2 (1+n)/2+12+1+22+2+(n-1)2+ (n-1) =(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+(n-1)2+1 +2+ (n-1) .(4)由12+22+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n 2，1+2+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得： 2S=(n+1)3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2 =n2(n+1)2/2即S=13+23+33+n3= n2(n+1)2/4结论：自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数。三、自然数偶数立方和公式推导设S=23+43+63+(2n)3有S=23(13+23+33+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1) 2结论：自然数偶数的立方和公式为2n2(n+1)2，其中2n为最后一位自然偶数。四、自然数奇数立方和公式推导设S=13+23+33+(2n) 3由自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数代入左边有n2(2n+1)2=23+43+63+(2n) 3+13+33+53+(2n-1)3 =2n2(n+1)2+13+33+53+(2n-1)3移项得：13+33+53+(2n-1)3 =n2(2n+1)2-2n2(n+1)2 =n2(2n2-1)结论：自然数奇数的立方和公式为n2(2n2-1)，其中2n-1为最后一位自然奇数，即n的取值。自然数平方和公式的推导与证明（二）这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。12+22+32+42+.n2=? （n2表示nnn2为了好打字）一、推导1、直接推导：1+2+3+4+n=(1+n)*n/2 + + 2+3+4+n=(2+n)*(n-1)/2 + + 3+4+n=(3+n)*(n-2)/2 + + . . . . (i+1)+n=(n+i+1)*(n-i)/2 (i=0,n-1) | | S = (2*n3+3*n2+n-2S)/4两边求一下得所求S此法较为直观正规2、用其他的公式推导：容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +.+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳法易证，而左式可写成1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + . + nxn)+(1+2+.+n)于是1x1 + 2x2 + . + nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1)3、二项式推导：23=13+3*12+3*1+133=23+3*22+3*2+143=33+3*32+3*3+1.(n+1)3=n3+3*n2+3n+1sum up both sides substract common terms:(n+1)3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1= solve for bb=12+22+.+n2此法需要较强的基本功，属奥妙之作4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧）5、用现成恒等式推导二、证明1、数学归纳法12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 当n=1时,显然成立. 设n=k时也成立,即: 12+22+32+k2=k(k+1)(2k+1)/6 那么当n=k+1时,等式的左边等于: 12+22+32+k2+(k+1)2 =k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)2 =(k+1)k(2k+1)/6+(k+1) =(k+1)2k2+k+6k+6/6 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6 而等式的右边等于:(当n=k+1时) (k+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6 即当n=k+1时,等式左边等于等式的右边 所以对于一切n,等式都成立 此法给初中和小学生讲是没法了，现在的教育之痛，用某小学老师的话来说，小学生的题是出给家长作的，呜，砖家当道啊，有没有满足他们拔苗助长嗜好的奥数方法呢2、图形法计算12223242。根据平方的含义和乘法的含义，我们可以将这个算式改写：12=11=1、22=22=22、32=33=333、42=44=4444，则12223242=1223334444。把这10个加数排写在一个三角形内（图1），计算这个算式的和，就是计算这个三角形内所有数的和。（其实学生如果会算自然数n项和，下面的说明就可省了，不过想个个学生成高斯，结果个个搞死了，呵呵）我们对图1进行两次“复制”，得到两个和图1完全相同的三角形，把其中一个逆时针旋转60得到图2，另一个顺时针旋转60得到图3。先把图2和图3重合，得到图4。图4中，重合的两个图形相对应位置的两个数相加，它们的和有什么规律呢？我们发现，从上往下看，第一行两个数的和是8，第二行两个数的和都是7，第三行两个数的和都是6，第四行两个数的和都是5。再把图4和图1重合，得到图5。从