《2.2 椭圆-2.2.2 椭圆的几何性质》导学案1.doc

2.2.2 椭圆的几何性质 导学案 1教学过程一、 问题情境问题1方程+=1表示什么样的曲线？你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？解方案1列表、描点、连线进行作图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题.方案2求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形.方案3只作第一象限内的图形，联想椭圆形状，利用对称性得到其他象限内的图形.1问题2与直线方程和圆的方程相对比，椭圆的标准方程+=1(ab0)有什么特点？2解椭圆方程是关于x，y的二元二次方程；方程的左边是平方和的形式，右边是常数1；方程中x2和y2的系数不相等.二、 数学建构1.结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围.方案1+=1变形为=1-1，即x2a2，所以-axa.同理可得-byb.方案2椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以1，所以-axa.同理可以得到y的范围是-byb.(图1)方案3还可以用三角换元，设=cos，=sin，利用三角函数的有界性，也可以得到x，y的范围.这说明椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形内(如图1).2.继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆的对称性.3在椭圆的标准方程中，把x换成-x，方程并不改变，这说明当点P(x，y)在椭圆上时，它关于y轴的对称点P(-x，y)也在椭圆上，所以椭圆关于y轴对称.同理，把y换成-y，或同时把x，y分别换成-x，-y时，方程都不变，所以椭圆关于x轴和原点都是对称的.因此，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令x=0，得y=b，这说明点B1(0，-b)，B2(0，b)是椭圆与y轴的两个交点.同理，点A1(-a，0)，A2(a，0)是椭圆与x轴的两个交点，这四个点是对称轴与椭圆的交点，称为椭圆的顶点.线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.在椭圆的定义中，2c表示焦距，这样，椭圆方程中的a，b，c就有了明显的几何意义.问题3在椭圆标准方程的推导过程中令a2-c2=b2能使方程简单整齐，其几何意义是什么？解c表示半焦距，b表示短半轴长，因此，连结顶点B2和焦点F2，可以构造一个直角三角形OB2F2，在RtOB2F2内，O+O=B2，即c2+b2=a2.OB2F2称为椭圆的特征三角形.4.圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，椭圆的“圆扁”取决于哪些因素？用什么样的量来刻画椭圆的“圆扁”程度比较合适？方案1用几何画板演示.方案2可以用比值来刻画，当越大，椭圆越圆；当越小，椭圆越扁.方案3还可以用比值来刻画，当越大，椭圆越扁；当越小，椭圆越圆.一般地，我们用比值来刻画椭圆的“圆扁”程度.离心率:焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记为e，即e=.因为ac0，所以0eb0)+=1(ab0)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点坐标(a，0)，(-a，0)，(0，b)，(0，-b)(b，0)，(-b，0)，(0，a)，(0，-a)焦点坐标(c，0)，(-c，0)(0，c)，(0，-c)半轴长长半轴长为a，短半轴长为b，ab长半轴长为a，短半轴长为b，ab离心率e=e=a，b，c的关系a2=b2+c2a2=b2+c2三、 数学运用【例1】求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆.4处理建议由椭圆的方程确定a，b，c的值，从而使问题得以解决.交待清楚作图的几种方法.规范板书解根据椭圆的方程+=1，得a=5，b=3，c=4，所以椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=6，离心率e=，焦点为F1(-4，0)和F2(4，0)，顶点为A1(-5，0)，A2(5，0)，B1(0，-3)，B2(0，3).将方程变形为y=，根据y=算出椭圆第一象限内的几个点的坐标，如下表所示.x012345y32.942.752.41.80先描点画出第一象限的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图). (例1)题后反思本例是对椭圆几何性质的一般检测性训练.一般地，椭圆的画法只需要描出几个点，然后用光滑曲线连结即可，必要时将焦点位置标出.强调快速、较准确地画出椭圆图象是今后学习的一个必要的基本技能.【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1) 经过点P(-3，0)，Q(0，-2)；(2) 焦点在x轴上，长轴长等于20，离心率等于；(3) 焦点在y轴上，长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点P(3，0).处理建议根据条件，寻找椭圆方程中的基本量.规范板书解(1) 由题意知a=3，b=2，长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为+=1.(2) 由题意知2a=20，e=.所以a=10，c=8，所以b=6.又因为焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为+=1.(3) 由题意知焦点在y轴上，所以b=3.又因为长轴长是短轴长的3倍，所以a=9，所以椭圆的标准方程为+=1.题后反思运用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，要熟记离心率公式.变式在(2)、(3)问中将焦点位置的条件去掉，结论如何？5处理建议当焦点位置不确定时，应引导学生分焦点在x轴上或在y轴上两种情况讨论.规范板书解(2) 由题意知2a=20，e=，所以a=10，c=8，所以b=6.所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.(3) 当焦点在x轴上时，a=3，又因为长轴长是短轴长的3倍，所以b=1，所以椭圆的标准方程为+y2=1；当焦点在y轴上时，b=3，又因为长轴长是短轴长的3倍，所以a=9，所以椭圆的标准方程为+=1.因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.题后反思焦点位置发生变化时，a，b对应的值也就不一样了，椭圆的某些几何性质也发生了变化，尤其要紧扣其定义，比如离心率是焦距与长轴长的比值.*【例3】已知椭圆x2+my2=1的离心率为，求m的值.处理建议首先应将椭圆方程化为标准方程形式，然后根据方程的特征求解.规范板书解将椭圆方程化为x2+=1.若焦点在x轴上，则a2=1，b2=，=1-，得m=4；若焦点在y轴上，则b2=1，a2=，=m=1-=，得m=.综上，m=4或.题后反思已知离心率求参数的值是椭圆几何性质的简单运用，含参问题求离心率应考虑焦点的位置.四、 课堂练习1.求下列椭圆的长轴长和短轴长、焦距、离心率、顶点和焦点坐标:(1) 25x2+4y2-100=0；(2) x2+4y2-4=0.解(1) 椭圆方程可化为+=1，所以a=5，b=2，c=.所以长轴长为10，短轴长为4，焦距为2，离心率e=，顶点坐标为(2，0)和(0，5)，焦点坐标为 (0，).(2) 椭圆方程可化为+y2=1，所以a=2，b=1，c=.所以长轴长为4，短轴长为2，焦距为2，离心率e=，顶点坐标为(2，0)和(0，1)，焦点坐标为(，0).2.下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？(1) +=1与25x2+16y2=400；(2) 3x2+4y2=12与+=1.解(1) 椭圆+=1的离心率为，椭圆25x2+16y2=400的离心率为，故第二个椭圆更接近于圆.(2) 椭圆3x2+4y2=12的离心率为，椭圆+=1的离心率为，故第一个椭圆更接近于圆.3.若椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率是.提示=1-e2，所以e=.4.根据下列条件，求椭圆的标准方程:(1) 中心在原点，焦点在x轴上，长轴长、短轴长分别为10和8；(2) 中心在原点，一个焦点坐标为(0，4)，长轴长为10；(3) 对称轴都在坐标轴上，