高中数学 第一章 计数原理章末复习课课件 新人教A版选修23.ppt

章末复习课 第一章计数原理 1 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 能结合具体问题的特征 合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题 2 理解排列 组合的概念 能利用计数原理推导排列数和组合数公式 掌握组合数的两个性质 并能用它们解决实际问题 3 能利用计数原理证明二项式定理 掌握二项式定理和二项展开式的性质 并能应用它们解决与二项展开式有关的计算和证明问题 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 1 分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案 在第一类方案中有m1种不同的方法 在第二类方案中有m2种不同的方法 在第n类方案中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 2 分步乘法计数原理完成一件事需要n个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事有n 种不同的方法 问题导学新知探究点点落实 m1 m2 mn m1 m2 mn 答案 3 排列数与组合数公式及性质 n m 1 1 答案 4 二项式定理 1 二项式定理的内容 a b n 答案 返回 解析答案 题型探究重点难点个个击破 类型一数学思想方法在求解计数问题中的应用角度1分类讨论思想例1从1 2 3 4 5 6这6个数字中 任取3个数字组成无重复数字的三位数 其中若有1和3时 3必须排在1的前面 若只有1和3中的一个时 它应排在其他数字的前面 这样不同的三位数共有 个 用数字作答 反思与感悟 解析1与3是特殊元素 以此为分类标准进行分类 答案60 反思与感悟 反思与感悟 解答排列 组合中的一些较复杂的问题 常用分类讨论思想 讨论时 要注意不重复不遗漏 对于本题解答中 没有数字1和3 这一类容易被遗漏 跟踪训练1用红 黄 蓝三种颜色对如图所示的三个方框进行涂色 若要求每个小方格 涂一种颜色 且涂成红色的方格数为偶数 则不同的涂色方案种数是 解析因为涂成红色的方格数为偶数 即涂成红色的方格数为0或2 根据分类加法计数原理 可得共有2 6 6 14 种 14 解析答案 解析答案 角度2 正难则反 思想例2平面上有9个点 排成三行三列的方阵 以其中的任意3个点为顶点 共可以组成 个三角形 用数字作答 解析正面考虑 需分类且容易出现遗漏或重复 从反面考虑9个点中有3个点共线的情况的种数 问题则较易解决 9个点中有3个点共线的情况 显然是三行 三列和两条对角线上的点 76 反思与感悟 反思与感悟对于正面处理较复杂或不易求解的问题 常常从问题的对立面去思考 解析答案 跟踪训练2从甲 乙 丙 丁4名学生参加数学 写作 英语三科竞赛 每科至少1人 且每人仅报一科 若学生甲 乙不能同时参加同一竞赛 则不同的参赛方案共有 种 其中有不符合条件的 不同的参赛方案共有36 6 30 种 30 解析答案 类型二排列与组合的综合应用例3有4个不同的球 4个不同的盒子 把球全部放入盒内 1 共有多少种放法 解由分步乘法计数原理可知 共有44 256种放法 2 恰有1个盒子中不放球 有多少种放法 再把取出的2个小球与另外2个小球 即3组 分别放入4个盒子中的3个盒子里 有种不同的放法 解析答案 3 恰有2个盒子中不放球 有多少种放法 解恰有2个盒子中不放球 也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中 有两类放法 第1类 1个盒子中放3个小球 一个盒子中放1个小球 反思与感悟 反思与感悟 排列与组合的综合问题 首先要分清何时为排列 何时为组合 对含有特殊元素的排列 组合问题 一般先进行组合 再进行排列 对特殊元素的位置有要求时 在组合选取时 就要进行分类讨论 分类的原则是不重 不漏 在用间接法计数时 要注意考虑全面 排除干净 解析答案 跟踪训练3 1 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设 其中甲不到银川 乙不到西宁 共有多少种不同派遣方案 解因为甲乙有限制条件 所以按照是否含有甲乙来分类 有以下四种情况 若甲参加而乙不参加 先安排甲有3种方法 若甲乙都参加 则先安排甲乙 有7种方法 解析答案 2 在高三一班元旦晚会上 有6个演唱节目 4个舞蹈节目 当4个舞蹈节目要排在一起时 有多少种不同的节目安排顺序 解第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来 看成1个节目 与6个演唱节目一起排 有 5040种方法 根据分步乘法计数原理 一共有5040 24 120960 种 解析答案 当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时 有多少种不同的节目安排顺序 解第一步将6个演唱节目排成一列 如下图中的 一共有 720种方法 第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间 即 中 的位置 这样相当于7个 选4个来排 一共有 840种 根据分步乘法计数原理 一共有720 840 604800 种 解析答案 若已定好节目单 后来情况有变 需加上诗朗诵和快板2个栏目 但不能改变原来节目的相对顺序 有多少种不同的节目演出顺序 但原来的节目已定好顺序 需要消除 解析答案 类型三二项式定理的应用例4已知在的展开式中 第5项的系数与第3项的系数之比是56 3 1 求展开式中的所有有理项 展开式是常数项 于是有理项为t1 x5和t7 13440 解析答案 2 求展开式中系数绝对值最大的项 所以r 7 当r 7时 又因为当r 0时 t1 x5 当r 10时 所以系数绝对值最大的项为 解析答案 反思与感悟 1 求二项展开式特定项的步骤 反思与感悟 反思与感悟 2 二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项 根据二项式系数的性质对 a b n中的n进行讨论 1 当n为奇数时 中间两项的二项式系数最大 2 当n为偶数时 中间一项的二项式系数最大 3 展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的 需要根据各项系数的正 负变化情况进行分析 如求 a bx n a b r 的展开式中系数的最大项 一般采用待定系数法 设展开式中各项系数分别为a0 a1 a2 an 且第r 1项最大 应用解出r 即得出系数的最大项 解析答案 跟踪训练4 1 1 05 6的计算结果精确到0 01的近似值是 1 0 3 0 0375 0 0025 1 34 1 34 解析答案 2 已知二项式展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍 求n 解令x 1得二项式展开式中各项系数之和为 5 1 n 4n 各项二项式系数之和为2n 由题意得 4n 16 2n 所以2n 16 n 4 解析答案 求展开式中二项式系数最大的项 展开式中二项式系数最大的项是第3项 求展开式中所有x的有理项 所以展开式中所有x的有理项为 解析答案 类型四二项式定理的 赋值 问题例5若 x2 3x 2 5 a0 a1x a2x2 a10 x10 1 求a2 解 x2 3x 2 5 x 1 5 x 2 5 a2是展开式中x2的系数 2 求a1 a2 a10 解令x 1 代入已知式可得 a0 a1 a2 a10 0 而令x 0得 a0 32 a1 a2 a10 32 解析答案 3 求 a0 a2 a4 a10 2 a1 a3 a7 a9 2 解令x 1可得 a0 a2 a4 a10 a1 a3 a7 a9 65再由 a0 a2 a4 a10 a1 a3 a7 a9 0把这两个等式相乘可得 a0 a2 a4 a10 2 a1 a3 a7 a9 2 65 0 0 反思与感悟 与二项式系数有关 包括求展开式中二项式系数最大的项 各项的二项式系数或系数的和 奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和 主要方法是赋值法 通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系 确定给字母所赋的值 有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项 此时要专门求出这一项 而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时 往往要两次赋值 再由方程组求出结果 反思与感悟 解析答案 跟踪训练5 1 已知 1 x 1 x 2 1 x n a0 a1x a2x2 anxn 若a1 a2 an 1 29 n 那么自然数n的值为 a 6b 5c 4d 3解析令x 1得a0 a1 a2 an 2 22 2n 令x 0得 a0 n an 1 a1 a2 an 1 2n 1 n 3 29 n 2n 1 32 25 n 5 b 2 若 1 x x2 6 a0 a1x a2x2 a12x12 则a2 a4 a12 解析对 1 x x2 6 a0 a1x a2x2 a12x12 令x 1得 a0 a2 a10 a12 a1 a3 a9 a11 36 令x 1得 a0 a2 a10 a12 a1 a3 a9 a11 1 由 得 令x 0得 a0 1 364 解析答案 返回 解析答案 达标检测 1 2 3 1 4名大学生到三家企业应聘 每名大学生至多被一家企业录用 则每家企业至少录用一名大学生的情况有 a 24种b 36种c 48种d 60种解析分两类 第一类 有3名被录用 有 24种 第二类 4名都被录用 则有一家企业录用2名 有 36 种 根据分类加法计数原理得 共有24 36 60 种 d 4 解析答案 2 1 x 4 1 x 5 1 x 9的展开式中x3项的系数为 a 120b 119c 210d 209解析 1 x 4 1 x 5 1 x 9展开式中 x3项的系数为 d 1 2 3 4 解析答案 3 四位男生和两位女生排成一排 男生有且只有两位相邻 则不同排法种数是 解析先从4位男生选2位捆绑在一起 和剩下的2位男生 插入到2位女生所形成的3个空中 144 1 2 3 4 解析答案 4 若二项式的展开式中的二项式系数为64 则展开式中的常数项为 解析由已知得 2n 64 n 6 令12 3r 0 解得 r 4 故展开式中的常数项为240 240 1 2 3 4 规律与方法 1 两个计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列 组合中解决问题的重要手段 也是基础方法 尤其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通之处 当遇到比较复杂的问题时 用分类的方法可以有效的将之分解 达到求解的目的 正确地分类与分步是用好两个原理的关键 即完成一件事到底是 分步 进行还是 分类 进行 这是选用计数原理的关键 注意有些复杂的问题往往在分步中有分类 分类中有分步 两个原理往往交错使用 2 排列与组合主要是排列数与组合数计算公式 性质的应用以及排列 组合应用题 排列数与组合数计算公式主要应用于求值和证明恒等式 其中求值问题应用连乘的形式 证明恒等式应用阶乘的形式 在证明恒等式时 要注意观察恒等式左右两边的形式 基本遵循由繁到简的原则 有时也会从两边向中间靠拢 对于应用题 则首先要分清是否有序 是排列问题还是组合问题 有限制条件的排列问题 通常从以下两种途径考虑 1 元素分析法 先考虑特殊元素的要求 再考虑其他元素 2 位置分析法 先考虑特殊位置的要求 再考虑其他位置 组合应用题的难点是与几何图形有关的问题 此时一般要与两个原理结合应用 还要结合图形的实际意义 排列与组合综合应用题中也有很多重点和难点 比如分配问题 一般方法是先分组 后分配 分组问题又要注意均匀分组和不均匀分组的区别 均匀分组在各组逐一满足后还要除以均匀分组组数的全排列 而有公共元素的分配问题 则可以利用图示法求组数 这样可以避免分组中的重复 3 二项式定理这部分常考知识 题型 主要方法以及注意点大体如下 1 与二项式定理有关 包括定理的正向应用 逆向应用 题型如证明整除性 近似计算 证明一些简单的组合恒等式等 此时主要是要构造二项式 合理应用展开式 返回 2 与通项公式有关 主要是求特定项 比如常数项 有理项 x的某次幂等 此时要特别注意二项展开式中第k 1项的通项公式是tk 1 k 0 1 n 其中二项