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文档简介

关于素数有无穷多个的几个证明构造法：1.欧几里得证法：证：假设素数只有有限个，设为q1,q2,.qn，考虑p=q1q2.qn+1。显然，p不能被q1,q2,.qn整除。故存在两种情况：p为素数，或p有除q1,q2,.qn以外的其它素因子。无论何种情况，都说明素数不止有限个。假设错误，所以素数有无穷多个5.2.设p1,.,pn是n个两两不同的素数。再设Ar是其中任意取定的r个素数的乘积。证明：任一pj(1jn)都不能整除p1.pn/Ar+Ar;由此推出素数有无穷多个。证：因为pj若不是Ar的因子，必然是p1.pn/Ar的因子；或者，pj若是Ar的因子，必然不是p1.pn/Ar的因子。因此，p1.pn/Ar+Ar或者是素数，或者除p1,.,pn之外有其它素因子。无论何种情况，都说明素数不止有限个。假设错误，所以素数有无穷多个。3.级数法：假若素数只有有限个p1,.,ps.证明：对任意正整数N必有。由此推出素数有无穷多个。证： (因为任意正整数都可以表示成素数或素数的乘积）故上式成立。因为级数递增，趋于正无穷大，由上式可知：素数有无穷多个。（否则，上式右侧为常值）4.Fermat数法：设n0,Fn=+1.再设mn.证明：若d1,且d|Fn,则d不整除Fm.由此推出素数有无穷多个。证：设2m/2n=r,2n=p则当mn时，必有Fn|-1=(+1)(pr-1-pr-2+.-1)=(+1)=(+1)q=Fm-2.由条件可得：d|Fm-2,又d1,且d|Fn,故d3.则d不整除Fm.当m1,d不整除Am.由此推出素数有无穷多个。证：当mn时必有An|Am-1.方法同上。综上所述：以上证明可以分为两类：第一类：1.2.3.同样用到了反证法，构造法。首先假设素数有有限个，通过构造数列，论证矛盾
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