数学分析试题

1 第二章 函数 1 函数概念 1 证明下列不等式： (1) x y x y ； (2) 1 2 1 2nnx x x x x x LL； (3) 1 2 1 2( | | | | | |nnx x x x x x x x ）. 2求证 | | | | | |1 | | 1 | | 1 | |a b a ba b a b . 3求证 |m a x ( , ) 22a b a bab ； |m i n ( , ) 22a b a bab . 4已知三角形的两条边分别为 a和 b，它们之间的夹角为 ，试求此三角形的面()s，并求其定义域 . 5在半径为 r的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域 . 6某公共汽车路线全长为 20km，票价规定如下：乘坐 5km 以下（包括 5km）者收费 1 元；超过 5km 但在 15km 以下（包括 15km）者收费 2 元；其余收费 2 元 5 角 . 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形 . 7一脉冲发生器产生一个三角波 . 若记它随时间 t的变化规律为 ()ft，且三个角分别有对应关系 (0) 0f ， (10) 20f ， (20) 0f ，求 ( ) 2 0f t t ，并作出函数的图形 . 8判别下列函数的 奇偶性： (1) 4 2( ) 12xf x x ； (2) ( ) sinf x x x ； (3) 22() xf x x e ； (4) 2( ) l g ( 1 )f x x x . 9判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期： (1) 2( ) cosf x x ； (2) ( ) c o s s i n23xxfx ； (3) ( ) co sf x x ； (4) ( ) tanf x x . 2 10证明 2() 1xfx x 在 ( , ) 有界 . 11用肯定语气叙述函数无界，并证明21()fx x 在 (0,1) 无界 . 12试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数 . 13设 ()fx为定义在 ( , ) 内的任何函数，证明 ()fx可分解成奇函数和偶函数之和 . 14用肯定语气叙述：在 ( , ) 上 (1) ()fx不是奇函数； (2) ()fx不是单调上升函数； (3) ()fx无零点； (4) ()fx无上界 . 2 复合函数与反函数 1 设 ()1 xfx x ，求证 ( ( )f f x x . 2 求下列函数的反函数及其定义域： (1) 112y x xx ； (2) 12 xxy e e x ； (3) 2, 1 , 4 ,2 , 4 .xxxy x xx 3设 ()fx， ()gx为实轴上单调函数，求证 ( ( )f g x也是实轴上的单调函数 . 4设 2, 0 ,1 , 0 ,( ) ( ), 0 . , 0 .xxxxf x g xxx 求复合函数 ( ( )f g x， ()g f x . 5设 2()xfxx ，求nf f f x o oL o1 44 2 4 43次. 6设 ( ) | 1 | | |f x x x ，试求nf f f x o oL o1 44 2 4 43次. 7设 1()fxx ，求 ( ( )f f x， ( ( ( )f f f x， 1()()f fx. 3 初等函数 3 1对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数的图形 ： (1) |yx ； (2) y x x ； (3) tan | |yx ； (4) (2 )y x x ； (5) 2sinyx ； (6) s in c o sy x x . 2若已知函数 ()y f x 的图形，作函数 1 ()y f x ，2 ()y f x ，3 ()y f x 的图形，并说明1 2 3y y y 的图形与 y的图形的关系 . 3若已知函数 ( ) , ( )f x g x 的图形，试作函数 ( ) ( ) ( ) ( )y f x g x f x g x 的图形，并说明 y的图形与 ()fx、 ()gx图形的关系 . 4 作出下列函数的图形： (1) siny x x ； (2) 1sinyx . 5符号函数 0,0 , 0 ,1 , 0 ,xy s g n x xx 试分别作出 sgnx ， sgn )x ， sgn( 2)x 的图形 . 6作出下列函数的图形： (1) cosy sgn x ； (2) 22xyx . 第三章 极限与函数的连续性 1 极限问题的提出 2 数列的极限 1 用定义证明下列数列的极限为零： (1) 2 1lim 1n nn ； (2) sinlimnnn ； (3) limn n ； 4 (4) 2( 1)lim nnnn ； (5) lim ( 1 )n nn ； (6) 10lim!nn n ； (7) lim 1nn n aa ； (8) !limnn nn ； (9) 21 2 3li mn nn L； (10) 1li m 1nn aan . 2用定义 证明： (1) 223lim 21nnnn ； (2) 2limnnnn ； (3) limnn x ，其中 1 ,1 ,nn nnxn nn 为偶数，为奇数；(4) limnn x ，其中 31, 1 ( 1 , 2 , )2 , 23nnknx n k knnnknn L，.3用定义证明： (1) 若 limnn aa ，则对任一正整数 k，有 limnkn aa ； (2) 若 limnn aa ，则 lim |nn aa .反之是否成立？ (3) 若 limnn aa ，且 ab ，则存在 N，当 nN 时，有nab ； (4) 若 limnn aa ，且 0na ，则 limnn aa . 4极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“ ”是逻辑符号，表示“存在” .） (1) ， 0N ，当 nN 时 ,有nxa | - | 0）！； (4) 101, 1 , 1 ,1 nnnxx x nx L. 14若11, 0 ( ) ,x a y b a b 11,2nnn n n n xyx x y y 证明： lim limnnnnxy . 15证明：若 0na ，且1lim 1nnna la ， limnn a . 16设 limnn aa ，证明： (1) 12l i m nn a a a an L；（又问，它的逆命题成立否？） (2) 若 0na ，则12li m n nn a a a a L. 17应用上题的结果证明下列各题： (1) 11 3l i mnnn L ； (2) lim 1 ( 0 )nn aa ； (3) lim 1nn n ； 7 (4) 1lim 0nn n ！； (5) 1l i m nnnn L； (6) 若1li m ( )n nn nb abb ，则 limn nn ba . 18用定义证明下列数列为无穷大量： (1) n ； (2) n！ ； (3) lnn ； (4) 113 n L. 19证明：若 nx 为无穷大量， ny 为有界变量，则 nnxy 为无穷大量 . 20 (1) 两 个无穷大量的和的极限如何？试讨论各种可能性？ (2)讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形； (3)讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形 . 21利用 1lim 1 nn en ，求下列极限： (1) 1lim 1 nn n ； (2) 1lim 11nn n ； (3) 1lim 12nn n ； (4) 21lim 1 nn n . 3 函数的极限 1用极限定义证明下列极限： (1) 21 31lim 29x xx ； (2) 23 31lim 69x xx ； (3) 11lim 21xxx ； (4) 1( 2 ) ( 1)li m 03xxxx ； (5) 22lim 5 3x x ； 8 (6) 21 ( 1) 1lim 21x xxx ； (7) 23lim 9x xx ； (8) 1lim 12x xx ； (9) 2lim1x xxx ； (10) 225lim 11xxx . 2用极限的四则运算法则求下列极限： (1) 2201lim 21xxxx ； (2) 2211lim 21xxxx ； (3) 3230( 1 ) (1 3 )l i m 2xxxxx ； (4) 21limxxxx ； (5) 312lim 3xxx ； (6) 22356limxxx ； (7) 11lim 1nmxxx （ ,nm 为正整数）； (8) 41 2 3lim 2xxx . 3设 ( ) 0fx ，证明：若0lim ( )xxf x A ，则0lim ( )nnxx f x A ，其中正整数 n . 4证明：若0lim ( )xxf x A ，则0lim | ( ) | | |xx f x A ，但反之不真 . 5求下列函数字所示点的左右极限： (1) 21,( ) 1 ,2 , 1 ,xf x xxx 在 =1x ； (2) 21s i n ,(),xxfx xxx 在 =0x ； (3) 2| | 1( ) ,1xfx x x 在 =0x ； (4) 11( ) ,fxxx 在 1=xn ， n是正整数； 9 (5) 2,( ) 0 , 0 ,x xf x xxx 在 =x . 6求下列极限： (1) 221lim 21xxxx ； (2) 57lim 2x xxx ； (3) 2lim ( 1x xx ； (4) 2lim ( 1x xx ； (5) 223limxxxx ； (6) 2sinlim 4x xxx ； (7) coslimxxxx ； (8) l i m1x xxxx . 7用变量替换求下列极限： (1) 01lim x x x ； (2) 0lim ln ( 0 )ax x x a ； (3) lnlim 0ax x ax ； (4) 1lim xx x . 8设 ()fx在 ( , )a 上单调上升， limnn x ，若 li m ( )nn f x A ，求证： lim ( )x f x A （ A可以为无穷） . 9设 ()fx在集合 X上定义，则 ()fx在 X上无界的充要条件是：存在 ,nxX 1, 2,n L ，使 lim ( ) |n fx . 10利用重要极限求极限： (1) 0sin 2limxxx ； (2) 220sinlim (sin )xxx ； (3) 0tan 3lim sin 5xxx ； 10 (4) 30 2 s i n s i nli mx xxx ； (5) 20 c o s 5 c o s 3li mx xxx ； (6) 30 ta n sinlimx xxx ； (7) 0arctanlimxxx ； (8) 0sin 4lim 11xxx ； (9) 201 c o slim 1 c o sxxx ； (10) 0c o s ( a r c c o s )l i mxnx nx 为奇数； (11) 4tan 1lim4xxx ； (12) s i nl i m ,s i nx mx mnnx （ 为 整 数 ）； (13) 2coslim2xxx ； (14) 1lim sinx x x ； (15) l i m c o s c o s x nn ； (16) 2l i m s i n ( 1 )x nn 为整数； (17) lim xx x ； (18) 10l i m (1 ) xx n x n 为整数； (19) c o t0lim (1 ta n ) xx x ； (20) 101lim ( )1 xxxx ； (21) 2132lim ( )31xxxx ； (22) tan2lim (sin ) xx x ； (23) 2221lim1xxxx ； 11 (24) lim 1 nx nxn . 11证明01limcosx x不存在 . 12证明0lim ( )xxDx 不存在，其中 1,(),.xDxx 为有理数，为无理数13求极限 l i m c o s c o s c o s24 2 nn x x x L. 14用定义证明： (1) 若 lim ( )xafx ， lim ( )xag x A ，则 l i m ( ) ( ) xa f x g x ； (2) 若 lim ( )xafx ， li m ( )xag x A ，则 l i m ( ) ( ) xa f x g x . 15若 lim ( )x f x A ， lim ( )x g x B ，证明： l i m ( ) ( ) x f x g x A B . 16证明 lim ( )x f x A 的充要条件是：对任何数列 ()nxn ，有 ( ( )nf x A n . 17证明0lim ( )xxfx 的充要条件是：对任何数列0 ()nx x n ，有 ( ( )nf x A n . 18设函数 ()fx在 (0, ) 上满足方程 (2 ) ( )f x f x ，且 lim ( )x f x A ，证明： ( ) , ( 0 , )f x A x . 4 函数的连续性 1 用定 义证明下列函数在定义域内连续： (1) yx ； (2) 1yx； (3) |yx ； (4) 1sinyx . 2指出下列函数的间断点并说明其类型： 12 (1) 1()f x x x ； (2) 2() (1 )xfx x ； (3) 2 1( ) cosfx x ； (4) ( ) f x x x ； (5) sin()|xfx x； (6) ( ) sgn |f x x ； (7) ( ) sg n (co s )f x x ； (8) ()lnfx x ； (9) , | | 1 ,() 1 , | 1xxfx x ；(10) c o s , | | 1 ,() 21 , | 1x xfxxx ；(11) s i n , ,() 0,xxfx x 为有理数为无理数；(12) ,() ,xxfx 为有理数为无理数.3当 0x 时下列函数无定义，试定义 (0)f的值，使 ()fx在 0x 连续： (1) 31() 11xfx x ； (2) tan 2() xfxx ； (3) 1( ) s in s inf x xx ； (4) () xf x x . 4设 ()fx是连续函数，证明对任何 0c ，函数 , ( ) ,( ) ( ) , ( ) , ( )c f x cg x f x f x cc f x c 是连续的 . 5若 ()fx在0x点连续，那么 ()fx 和 2()fx是否也在0x点连续？反之如何？ 6若函数 ()fx字 0x 点连续，而 ()gx在 0x 点不连续，问此二函数的和、积在0x点是否连续？又若 ()fx和 ()gx在0x点都不连续，问此二函数的和、积在0x点是否必不连续？ 13 7证明若连续函数在有理点的函数值为 0，则此函数恒为 0. 8若 ()fx在 , ab 连续，恒正，按定义证明 1()fx在 ,ab 连续 . 9若 ()fx和 ()gx都在 , ab 连续，试证明 m ax ( ( ) ( )f x g x 和 m in ( ( ) ( )f x g x 都在 , ab 连续 . 10证明：设 ()fx为区间 ( , )ab 上单调函数，若0 ,x a b 为 ()fx的间断点，则必是()fx的第一类间断点 . 11若 ()fx在 , ab ,12 na x x x b L，则在12 , xx 中必有 ，使得 12( ) ( ) ( ) ( ) nf f x f x f xn L. 12研究复合函数 fg o 和 gf o 的连续性 . 设 (1) 2( ) s g n , ( ) 1f x x g x x ； (2) 2( ) s g n , ( ) 1 )f x x g x x x . 13证明：若 ()fx在 , ab 连续，且不存在 ,x a b ，使 ()fx ，则 ()fx在 , ab 恒正或恒负 . 14设 ()fx为 , ab 上的递增函数，值域为 ( ), ( )f a f b ，证明 ()fx在 , ab 上连续 . 15 设 ()fx在 , )a 上连续，且 0 ( ) ( 0 )f x x x ，若10a，1 ( ) ( 1 , 2 , )nna f a n L.求证： (1) limnn a存在； (2) 设 limnn al ，则 ()f l l ； (3) 如果将条件改为 0 ( ) ( 0 )f x x x ，则 0l . 16求下列极限： (1) 1 111lim2xxxxx ； (2) 1lim a r c ta n c o sx x x ； (3) 210lim (cos ) xx x ； (4) 20c o s 5li m 1 ln (1 )xxexxx . 17证明方程 3 0 ( 0 )x p x q p 有且只有一个实根 . 5 无穷小量与无穷大量的比较 1 当 0x 时，以 x为标准求下列无穷小量的阶： (1) sin sinxx ； (2) 1 (1 )1 xx ； 14 (3) 23 |xx ； (4) 1 t a n 1 s i nxx ； (5) ln(1 )x ； (6) 2354xx ； (7) 1n x ； (8) 1xe . 2当 x 时，以 x为标准求下列无穷大量的阶 ： (1) 26xx ； (2) 2 4 54x x x ； (3) 23 1sinx x； (4) 1 1 | |x ； (5) 32123xxx ； (6) 2 1arctanx x. 3当 0x 时，下列等式成立吗？ (1) 2( ) ( )o x o x ； (2) 2( ) ( )O x x ； (3) 23( ) ( )x o x o x g ； (4) 2() ()ox oxx ； (5) 2() ()()ox oxox ； (6) 2( ) ( )o x O x . 4试证下列各题： (1) 32s i n ( ) ( 0 )x x O x x ； (2) 3 2 32 2 ( ) ( )x x O x x ； (3) 0( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )o g x o g x o g x x x ； (4) ( ) ( ) ( ) 0 0m n no x o x o x x m n ； (5) ( ) ( ) ( ) 0 0m n m no x o x o x x m n . 5证明下列各式： (1) ta n ( 0 )x x x : ； 15 (2) a r c s i n ( 0 )x x x : ； (3) a r c t a n ( 0 )x x x : ； (4) 21 c o s ( 0 )x x x :； (5) ( 0 )xe x x : ； (6) ( 1 ) ( 0 ) ,ax x x : 其中. 6运用等价无穷小量求极限： (1) 2 arctanlimcosx xxx ； (2) 2011lim 1 cosxx x ； (3) 20 ln(1 )lim sinx xxx ； (4) 201lim sinxxexx . 7设0( ) ( ) ( )f x g x x x :，证明： ( ) ( ) ( ( ) )f x g x o f x 或 ( ) ( ) ( ( ) )f x g x o g x . 8设 xa 时，1()fx与2()fx维等价无穷小，1()gx与2()gx是等价无穷大，且 22lim ( ) ( )xaf x g x 存在，求证 1 1 2 2l i m ( ) ( ) l i m ( ) ( )x a x af x g x f x g x . 第四章 微商与微分 1 微商概念及其计算 1求抛物线 2yx在 (1,1)A 点和 ( 2,4)B 点的切线方程和法线方程 2若 212S vt gt，求 （ 1）在 1, 1t t t 之间的平均速度（设 1, 0 .1, 0 .0 1t ）； （ 2）在 1t 的瞬时速度 3试确定曲线 lnyx在哪些点的切线平行于下列直线： （ 1） 1yx； （ 2） 23yx 16 4设 2 ,3(), 3 ,xxfxa x b x 试确定 ,ab 的值，使 ()fx在 3x处可导 5求下列曲线在指定点 P 的切线方程和法线方程： （ 1） 2 , ( 2 ,1)4xyP； （ 2） c o s , ( 0 , 1)y x P 6求下列函数的导函数 . （ 1） 3()f x x ； （ 2） 1 0 ,()1 0 ；xxfxx 7设函数 1s i n , 0()0 , 0mxxfx xx （ m 为正整数） 试问：（ 1） m 等于何值时， ()fx 在 0x 连续； （ 2） m 等于何值时， ()fx 在 0x 可导； （ 3） m 等于何值时， ()fx在 0x 连续 8设 ( 0 ) ( 0 ) 0gg， 1( ) s i n 0 ,()0 0 .g x xfx xx 求 (0)f 9证明：若0( )fx存在，则 00 00( ) ( )l i m ( )2xf x x f x x fxx 10设 ()fx是定义在 ( , ) 上的函数，且对任意12, ( , )xx ，有 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x. 若 (0) 1f ，证明任意 ( , )x ，有 ( ) ( )f x f x 17 11设 ()fx是偶函数，且 (0)f 存在，证明： (0) 0f 12设 ()fx是奇函数，且0( ) 3fx，求0( )fx. 13用定义证明：可导的偶 函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数 14求下列函数的导函数： （ 1） 2 siny x x ； （ 2） 2c o s 3y x x x； （ 3） t a n 7 6y x x x ； （ 4） 2s i n 7 c o s 5xy e x x x ； （ 5） 3142y x xx ； （ 6）3735y x x x ； （ 7） 2211 xy x ； （ 8）211y xx ； （ 9）(1 ) ( 2 )xy xx ； （ 10） 1111y xx； （ 11） 11xyx； （ 12）313yxx； （ 13） 3 1ln ny x x xn； （ 14）4co s 1lnxy xx ； （ 15） 1( ) lny x xx； （ 16） c o s ln1x x xy x ； 18 （ 17） 1cosy xx ； （ 18） s i n c o ss i n c o sx x xy x x x ； （ 19） 1sinxxeyx； （ 20） sin lny x x x 15求下列复合函数的导函数： （ 1） 33( 4)yx； （ 2） 2 2 2 2()y x a x a x ； （ 3）22xyax ； （ 4） 33311xyx； （ 5） ln(ln )yx ； （ 6） 1 ln2 axy ax ； （ 7） 22l n ( )y x a x ； （ 8） ln tan2xy ； （ 9） c o s ( c o s )yx ； （ 10） 3c o s c o s 3y x x； （ 11）2312 xye ； （ 12） a r c s i n ( s i n c o s )y x x ； （ 13）22a r c t a n 1 xy x ； （ 14） 2 2xxye ； （ 15） ( 2 ) ( 3 )ln1xxyx； 19 （ 16） 22 s i n 32x xy e x； （ 17） s i n ( , )1kxexykx 为常数； （ 18）2222xy x a xax ； （ 19） s i n c o sny x n x ； （ 20） 11ln xxy 16用对数求导法求下列函数的导函数： （ 1） 11xyxx； （ 2） 2211 1xxyx xx ； （ 3） 2( 1 ) ny x x ； （ 4） ( 0 )xy x x ； （ 5） ln ( 0 )xy x x ； （ 6） 1(1 ) ( 0 )xy x x ； （ 7） t a n ( 0 )xy x x ； （ 8） s i n ( 0 )xy a a 17设 ()fx是对 x 可导的函数，求 dydx： （ 1） 2()y f x ； （ 2） ()()x f xy f e e； （ 3） ( ( ( )y f f f x 18设 ()x 和 ()x 是对 x 可求导的函数，求 dydx： （ 1） 22( ) ( )y x x ； 20 （ 2） ()a r c t a n ( ( ) 0 )()xyxx ； （ 3） () ( ) ( ( ) 0 , ( ) 0 )xy x x x ； （ 4）()l o g ( ) ( ( ) 0