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第第 13 周习题课内容周习题课内容 积分计算和应用 一 积分 广义积分 计算 1 6 0 2 dxxx 解 注意到函数在不同区间内取值为常数 再结合积分的区间可加性 x 6 5 2 5 4 2 4 3 2 3 2 2 2 1 2 1 0 2 6 0 2 543210 dxxdxxdxxdxxdxxdxxdxxx 285 3 5 3 4 3 3 3 2 3 6 5 3 5 4 3 4 3 3 3 2 3 2 1 3 xxxxx 2 2 0 dxe x 解 注意到等价于21 x e2ln0 x 等价于32 x e3ln2ln x 此外 所以 87 2 e8ln27ln 利用积分的区间可加性 2 7ln 7ln 6ln 6ln 5ln 5ln 4ln 4ln 3ln 3ln 2ln 2ln 0 2 0 7654321 dxdxdxdxdxdxdxdxe x 7ln 14 7ln2 7 6 7 ln6 5 6 ln5 4 5 ln4 3 4 ln3 2 3 ln22ln 3 022 1 51 1 dx xx I 解 考虑变换txtan 2 0 a 解 将曲线写成参数形式 tax 3 cos tay 3 sin 20 t 则 tta dt dx sincos3 2 tta dt dy cossin3 2 dtttadt dt dy dt dx ds cossin 3 22 再利用函数的周期性和对称性 atdtatdttadtttal62sin6cossin12 cossin 3 2 0 2 0 5 求由星形线 绕x轴旋转所成旋转体体积 如图 3 23 23 2 ayx 0 a 解 由方程 解出 3 23 23 2 ayx 33 23 22 xay 任取处厚度的微元 aax dx 绕 x 轴旋转一周后得到薄片的体积微元 dxydV 2 3 3 2 3 2 2 xay 关于求和 积分 便得所求体积 aax dxxadxyV 0 33 23 22 2 a dxxxaxaa 0 2 3 4 3 2 3 2 3 4 2 33 2 3 105 32 a 三 积分的物理应用 1 半圆形平板闸门垂直放入水中 直径与水平面重合 水的密度为 1 求闸门受的压力 解 垂直向下为x轴建立坐标系 记R为闸门半径 则深度x处闸门宽度为 22 2xR 该深度处高度为的闸门微元所受压力为 dx dxxRxdp 22 2 闸门面积乘以深度乘以水的密度 关于求和 积分 便得总压力 0 Rx 3 0 22 3 2 2RdxxRxp R 2 直径 1 米高为 2 米的直立圆桶盛满了水 桶底有直径为 1 厘米的小孔 水从小孔中流出 的速度为ghv26 0 米 秒 其中 g 是重力加速度 h为瞬间桶内水深 问水全部流完需 要多少时间 解 圆桶直径1 R 米 小孔直径01 0 r 米 小孔流速ghv26 0 米 秒 设时段内水深的增加为dh dt 根据水量守恒 流出的水量 桶中水量的减少 可列出方程 dhRvdtr 22 负号表示水深减小 因而 ghr R vr R dh dt 26 0 2 2 2 2 利用不定积分得到 Ch gr R dh ghr R t 2 2 2 2 6 026 0 注意初始时水深 也即 0 tHh H gr R C 2 2 6 0 所以 6 0 2 2 hH gr R t Hh 0 其中 2 H 米 是最大水深 令0 h 便得到水