概率论与数理统计习题库,第一章.doc

长沙理工大学二手货QQ交易群146 808 417第一章#00001写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点:（1）掷一颗骰子，出现奇数点（2）将一枚均匀的硬币抛出两次，A:第一次出现正面B:两次出现同一面C:至少有一次出现正面（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只，球的最小号码为1（4）一个口袋中有2只白球、3只黑球、4只红球，从中任取一球，A:得白球，B:不得红球*00001#00002在数学系中任选一名学生，令事件A表示该生为男生，事件B表示该生为三年级学生，事件C表示该生为运动员（） （）叙述事件的意义（） （）在什么条件下ABC=C成立？（） （）什么时候关系式CB是正确的？（） （）什么时候成立？*00002#00003长沙理工大学二手货QQ交易群146 808 417一个工人生产了n个零件，事件Ai =该工人生产得第i个零件是正品i1、2、n用Ai表示下列事件：（） （）没有一个零件是次品；（） （）至少有一个零件是次品；（） （）仅仅只有一个零件是次品；（） （）至少有两个零件是次品*00003#00004A、B是两个事件证明下列关系等价，*00004#00005把A1 A2 A n表示为不相容事件的和*00005#00006长沙理工大学二手货QQ交易群146 808 417证明：若（A-B）（B-A） C，则A（B-C）（C-B）的充要条件是ABC= f*00006#00007一部五卷文集任意地排列到书架上，文卷号自左向右或自右向左恰好为12345的顺序的概率等于多少？*00007#00008在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成分数，求所得分数为既约分数得概率*00008#00009有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9从这五条线段中任取三条，求所取三条线段恰好能构成三角形的概率*00009#00010把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，从这些小立方体中任取一个，求所取小立方体有k面（k=0、1、2、3）涂有颜色的概率*00010#00011一个小孩用13个字母A、A、A、C、E、H、I、I、M、M、N、T、T做组字游戏如随机地排列字母，问他组成MATHEMATICIAN的概率是多少？*00011#00012甲从2、4、6、8、10中任取一数，乙从1、3、5、7、9中任取一数，求甲取的数大于乙取的数的概率*00012#00013在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红车及一只黑车，求它们正好可以互相吃掉的概率*00013#00014一批灯泡有40只，其中有3只是坏的，从中任取5只检查问：（1）5只都是好的概率是多少？（2）5只中有2只是坏的概率是多少？*00014#00015一幢10层楼中的一架电梯在底层走上7位乘客电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，设每位乘客在每层离开是等可能的，求没有两位乘客在同一层离开的概率*00015#00016从一副扑克牌（52）张中任取6张，求得三张红色三张黑色牌的概率*00016#00017掷两个骰子，求所得的两个点数一个恰是另一个的两倍的概率*00017#00018掷三颗骰子，求所得的三个点数中最大的一个恰是最小的一个的两倍的概率*00018#00019一个班上有2n个男生及2n个女生，把全班学生任意地分成人数相等的两组，求每组中男女生人数相等的概率*00019#00020某城市共有自行车10000，牌照编号从00001到10000问事件偶然遇到一辆牌照编号中有数字8的自行车的概率是多少？*00020#00021从n个数1、2、3、n中随机地取出两个数（不重复），问其中一个小于k（1kn），另一个大于k的概率是多少？*00021#00022有2n个数字，其中n个是0，n个是1从中任取两数，求所取两数之和为0或为偶数的概率*00022#00023在十个数字0、1、2、9中任取四个数（不重复），能排成一个四位偶数的概率是多少？*00023#00024四颗骰子掷一次至少得一个一点与两个骰子掷24次至少有一次得两个一点，哪一个概率大？*00024#00025从一副扑克牌（52张）中任意抽出10张，问（） （）至少有一张A的概率是多少？（） （）至少有两张A的概率是多少？*00025#00026一个中学有十五个班级，每班选出三个代表出席学生代表会议，从45名代表中选出15名组成工作委员会求下列事件的概率（） （）一年级（一）在委员会中有代表；（） （）每个班级在委员会中均有代表*00026#00027设甲袋中有a只白球b只黑球，乙袋中有c只白球d只黑球今从两袋中各取一球，求所得两球颜色不同的概率*00027#00028一口袋中有a只白球b只黑球，从中连续取球三次（不返回），求三只球依次为黑白黑的概率*00028#00029从数1、2、3、n中随机地取出两个数，求所取两数之和为偶数的概率*00029#00030任取两个正整数，求它们之和为偶数的概率*00030#00031任取一个正整数，求下列事件的概率：（） （）该数的平方的末尾数字是1；（） （）该数的四次方的末尾数字是1；（） （）该数的立方的最后两位数字是1*00031#00032设每个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一星期中的某两天但不是都在同一天的概率*00032#00033一个小组有8个学生，问这8个学生的生日都不相同的概率是多少？（一年有365天）*00033#00034n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（） （）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边；（） （）甲、乙、丙三人坐在一起；（） （）若n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率*00034#00035把n个0与n个1随机地排列，求没有两个1连续在一起的概率*00035#00036从一个装有白球、黑球与红球各n个的口袋中任取m个球，求其中有m1个白球、m2个黑球、m3个红球的概率（m1+ m2 +m3=m）*00036#00037从一个装有n个白球、n个黑球的口袋中逐一取球（不返回，直至取完为止），求黑白球恰好相间取出的概率*00037#00038从一个装有a个白球、b个黑球的口袋中逐一取球（不返回），直至留在袋中的球都是同一中颜色为止求最后是白球留在袋中的概率*00038#00039有mn个球，其中一个是黑球，一个是白球，其余的都是红球把这mn个球放在m个袋中，每袋放n个球求黑球与白球恰好在一袋中的概率*00039#00040从n双尺码不同的鞋子中任取2r只（2rn）求下列事件的概率：（） （）所取的2r只中没有两只成对；（） （）所取的2r只中只有两只成对；（） （）所取的2r只中只有恰成r对*00040#00041在一口袋中装有n种颜色的球，每种颜色的球只有k只从中任取r只（rn），求所取r只球颜色全部都不相同的概率*00041#00042把n根同样长的棒都分成长度为1与2之比的两根小棒，然后把2n根小棒任意地分成n对，每对又接成一根新棒求下列事件的概率：（） （）全部新棒都是原来分开的两根小棒相接的，（） （）全部新棒的长度都与原来的一样*00042#00043一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾然后请另一人把六个头两两相连接，六个尾两两相连接求放开手后六根草恰好连成一个环的概率试把该结果推广到2n根草的情形*00043#00044把n个不同的球随机地放入n个匣子中去，求恰有一个空匣的概率*00044#00045一个教室共有n+k个座位，随机地坐上n个人求其中指定的s个座位(sn)都坐上了人的概率*00045#00046设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住(nN)求下列事件的概率：（） （）指定的n个房间里各有一人住的概率，（） （）恰有n各房间，其中各住一人*00046#00047甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n 次求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数的概率*00047#00048从数1、2、3、N中不重复地任取n个数(nN)按大小排成一列：x1x2xmn），求至少连续出现m次正面的概率*00069#00070掷均匀硬币直至第一次出现连接两个正面为止，求这时共掷了n次的概率*00070#00071在线段(0,1)中任取十个点，求其中三点在区间（0,1/4）中，四点在区间（1/4,2/3），三点在区间（2/3,1）中的概率*00071#00072有两只口袋，甲袋中3只白球2只黑球，乙袋中装有2只白球5只黑球任选一袋，并从中任取一球，问此球是白球的概率是多少？*00072#00073袋中装有m(m3)个白球和n个黑球的罐子中失去一个球，但不知是什么颜色，为了猜测它是什么颜色，随机地从罐子中取两个球，结果均为白球，问失去的是白球的概率是多少？*00073#00074袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取5个球放入空袋中，再从此5个球中任取3个球放入另一个空袋中，最后从第三个袋子中任取一球为白球，问第一次取出的球均为白球的概率？*00074#00075一个质点从平面上某一点开始等可能地向上、下、左、右四个方向游动，每次游动的距离为1求经过2n次游动后回到出发点的概率*00075#00076写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点。（1） （1） 掷一颗骰子，出现奇数点。（2） （2） 将一枚均匀硬币抛二次，A：第一次出现正面，B：两次出现同一面，C：至少有一次出现正面，（3） （3） 一个口袋中有五只外形完全相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取3只球，球的最小号码为1。*00076解：（1）设S 为样本空间，A为所求事件，则S=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5。（2）设S 为样本空间，则S =OO，O，O， 正面，O 反面。A=O，B=OO，C=O，O，。（3）设S 为样本空间，A为所求事件，则S=123，124，125，134，135，145，234，235，245，345，A=123，124，125，134，135，145。#00077靶子由10个同心圆组成，半径分别为r1、r2、r10，且r1 r2、 r10，以事件Ak表示命中半径为rk的圆内，叙述下列事件的意义。（1） （2） （3）*00077解：（1）命中半径为r6的圆内，（2）命中半径为r1的圆内，（3）命中点在半径为r1的圆外，半径为r2的圆内。#00078将下列事件用A、B、C表示出来（1） （1） A发生，（2） （2） A与B都发生而C不发生，（3） （3） 三个事件都发生，（4） （4） 三个事件中至少有一个发生，（5） （5） 三个事件中恰好有一个发生，（6） （6） 三个事件中至少有两个发生，（7） （7） 三个事件中恰好有两个发生，*00078解：（1） A (5) (2) (6) (3) (3) ABC (7) (4) (4) ABC#00079把A1A2 An表示为互不相容事件的和。*00079解：A1A2 An =A1( A2- A1) ( A3- A1A2) (An- A1A2 An-1)。#00080设A、B为两个事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7。问（1）在什么条件下P(AB)取最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P(AB)取最小值，最小值是多少？*00080解： P(AB)= P(A)+P(B)P(AB)（1） （1） 显而易见，当AB时P(AB) 最小，则P(AB) 最大，其最大值为P(A)+P(B)P(AB)= P(A)=0.6。（2） （2） 当P(AB)=1时，P(AB) 最小，其最小值为0.3。#00081设A1、A2为两个事件，证明（1）P(A1A2)= 1-P()-P()+P()（2）1-P()-P() P(A1A2) P(A1A2) P(A1) +P(A2)*00081证明：（1）P(A1A2)=1-P()=1-P()=1-P()-P()+P()。 （2）显然，P(A1A2) =1-P()-P()+P()1-P()-P() 由于 A1A2 A1A2，所以P(A1A2) P(A1A2)， 而 P(A1A2)= P(A1)+P(A2)P( A1A2) P(A1) +P(A2)， 从而有 1-P()-P() P(A1A2) P(A1A2) P(A1) +P(A2)#00082A、B为两个事件且P(A)=1/2，P(B)=1/2，证明P(AB)=P()。*00082证明：P(AB)= P(A)+P(B)P(AB)=1P(AB)= P()#00083A、B、C为三个事件且P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/8，求A、B、C中至少有一个发生的概率。*00083解：P(ABC)既为所求。由于ABC AB， 从而P(ABC) P(AB)，故P(ABC)=0。P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C)- P(AB)- P(BC)- P(AC)+ P(ABC)=1/4+1/4+1/4-0-0-1/8+0=5/8#00084一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、10的球。今从袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率，（2）最大号码为5的概率，（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率。*00084解：以三个球相应号码的组合为样本点构成样本空间S，则样本空间S中的样本点个数mS=120。 设 事件 A=“最小号码为5”， B=“最大号码为5”， C=“一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5”。A中的样本点个数mA= =10， P(A)= mA/ mS=1/12，B中的样本点个数mB= =6， P(B)= mB/ mS=1/20，C中的样本点个数mC= =20， P(C)= mC/ mS=1/6，#00085在1500个产品中有400个次品，1100个正品。任取200个，求（1）恰好有90个次品的概率；（2）至少有两个次品的概率。*00085解：设 事件 A=“恰好有90个次品”， B=“至少有两个次品”。样本空间S中的样本点个数mS=，A中的样本点个数mA= ，P(A)= mA/ mS= 8.23407 10-10P(B)=1(+)/1#00086从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。*00086解： 以抽出任意4只鞋子的排列为样本点构成样本空间S，则样本空间S中的样本点个数mS=10987=5040。设事件A=“4只鞋子中至少有两只能配成一双”，则中的样本点个数m=10864。从而， P(A)=1- P()=110864/（10987）=13/21。#00087甲袋中3个球的编号分别为1、2、3，乙袋中3个球的编号分别为4、5、6。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为偶数号球的概率是多少？*00087解：以(a,b)表示样本点，其中a是从甲袋中取出的球的球号，b是从乙袋中取出的球的球号，则样本空间S如下S =(1,1), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)。设A=“从乙袋中取出偶数号球”。则A= (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,4), (3,6)。mS=12，mA=7，则P(A)=7/12。#0008850只铆钉随机地取来用于10个部件上，其中有3个铆钉为次品。若每个部件用3只铆钉，问3个次品铆钉恰好用于同一部件的概率是多少？*00088解：假设每个铆钉都已编号，则样本空间S中的样本电数mS= 。设A i =“3个次品铆钉恰好用于地i部件” i=1、2、10A=“3个次品铆钉恰好用于同一部件”A i中的样本点个数mAi= ，P(A i)= mAi/ mS=1/19600。A= ，则P(A)=1/1960#00089已知P()=0.3，P(B)=0.4，P()=0.5，求P(B |)。*00089解：P(B |)=1/4#00090已知P(A)=1/4，P(B | A)=1/3，P(A | B)=1/2，求P(AB)。*00090解：P(AB)= P(A)+ P(B)- P(AB)P(AB)= P(B | A) P(A)=1/12，P(B)= P(AB)/ P(A | B)=1/6，从而P(AB)=1/3。#00091掷两颗骰子，已知掷两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。*00091解：设事件A=“两颗骰子点数之和为7”，B=“其中有一颗为1点”。所求概率为P(B | A) （1） （1）以(a ,b)记样本点，其中a ,b分别为第一、二骰子的点数。事实上 A=(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)，由题义得P(B | A)=1/3。（2） （2）AB=(1,6), (6,1)，P(A)=6/36=1/6，P(AB)=2/36=1/18， P(B | A)= (1/18)/(1/6)=1/3#00092以往的资料表明，某一3口之家患某种传染病的概率有以下规律。P(孩子得病)=0.6，P(母亲得病|孩子得病)=0.5，P(父亲得病|母亲及孩子得病)=0.4。求母亲及孩子得病但是父亲未得病的概率。*00092解：设事件A=“孩子得病”， 事件B=“母亲得病”，事件C=“父亲得病”。则P(A)=0.6，P(B | A)=0.5 ，P(C|BA)=0.4，母亲及孩子得病但是父亲未得病的概率即为P(BA)= P(BA)- P(CBA)= P(A) P(B | A)- P(A) P(B | A) P(C|BA)=0.18#00093事件A、B相互独立且P(A)=p，P(B)=q。求P(AB)、P(B)、P()、P(AB)、P(B) 、P()。*00093解： P(AB)= P(A) P(B)= pq。P(B)= P()P(B)=(1- p) q。P()=P()P()=(1- p)(1- q)。P(AB)= P(A) +P(B)P(AB)= p+qpqP(B)= P()+P(B)P(B)= (1p)+q(1p) q=1p+ pq。P()=1P(AB)=1pq#00094一个大学生想借一本专业书，决定到三家图书馆去借。每家图书馆有这本书的概率为1/2，若有，该书被借出的概率也为1/2。假设三家图书馆采购、出借图书是相互独立的，问该学生能够借到书的概率是多少？*00094解： 设事件A i =“第i家图书馆有这本书”， i =1、2、3事件B i =“从第i家图书馆借到这本书”， i =1、2、3事件C =“该学生能够借到书”。由题义知P(A i)=1/2，P(B i | A i)=1/2，从而P(B i A i)=1/4，事实上B i A i ，则P(B i)=1/4，i =1、2、3。进一步B 1 ，B 2 ，B 3相互独立，则P(C)=1-=1-=1-(1-1/4)(1-1/4)(1-1/4)=37/64#00095如图，1、2、3、4、5表示继电器触点。假设每个触点闭合的概率为p，且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。1-20题图*00095解：设事件A i =“第i个继电器触点闭合”， i =1、2、3、4、5事件C =“LR是通路”。事实上C = A 1 A 4 A 1 A 3 A 5 A 2 A 5 A 2 A 3 A 4= A 1 (A 4 A 3 A 5) A 2 (A 5 A 3 A 4)P(C)=P(A 1 (A 4 A 3 A 5)+P(A 2 (A 5 A 3 A 4)-P(A 1 A 2 (A 4 A 3 A 5) (A 5 A 3 A 4)=2 P(A 1 (A 4 A 3 A 5)-P(A 1 A 2)P(A 4 A 5 A 3 A 4 A 3 A 5 A 3 A 4 A 5)=2 P(A 1)P(A 4 A 3 A 5)- P(A 1 A 2)P(A 4 A 5 A 3 A 4 A 3 A 5)=2 p(p+ p2- p3)- p2(3 p2-3 p3+ p3)=2(p2+ p3- p4)- (3 p4-2 p5)=2 p2+2 p3- 5 p4+2 p5#00096袋中有10个球，其中9个白球，1个红球。10个人依次从袋中各取一个球。每个人取一球后不再放回。问第一人、第二人、最后一人取得红球的概率是多少？*00096解：设事件A i =“第i人取得红球”， i =1、2、10。显然A i, i =1、2、10互不相容，所以有A i,（i j）。进一步有Ak=， k =2、3、10显然P(A 1)=1/10，P()=9/10。 从而P()=1/9 ，P()=8/9P(A 2)=P()=P()P()=(1/9)(9/10)=1/10，从而P()=1/8P(A 3) =P()=P()P()P()=(1/8)( 8/9)( 9/10)=1/10。同理有 P(A i)=1/10, i =1、2、10#00097设有甲乙两袋，甲袋中装有m只白球、n只红球，乙袋中装有M只白球、N只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为白球的概率是多少？*00097解：设事件A=“从甲袋中取出一白球”， 事件B=“从乙袋中取出一白球”。P(B)= P()P()+P()=#0009