高中数学基础知识汇总.pdf

学而思网校 学而思网校 学习有意思 高中高中新课标新课标数学基础知识汇数学基础知识汇整合整合 第一部分第一部分 集合集合 1 1 理解集合中元素的意义 是解决集合问题的关键 元素是函数关系中自变量的取值 还是因变量的取值 还是曲线上的点 2 2 数形结合 是解集合问题的常用方法 解题时要尽可能地借助数轴 直角坐标系或韦 恩图等工具 将抽象的代数问题具体化 形象化 直观化 然后利用数形结合的思想 方法解决 是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 3 3 1 含n个元素的集合的子集数为2n 真子集数为21 n 非空真子集的数为22 n 2 ABABAABB 注意 讨论的时候不要遗忘了A 的情况 3 IIIIII C ABC AC B C ABC AC B 第二部分第二部分 函数函数与导数与导数 1 1 映射 映射 注意 第一个集合中的元素必须有象 一对一 或多对一 2 2 函数值域的求法 函数值域的求法 分析法 配方法 判别式法 利用函数单调性 换元 法 利用均值不等式 22 22 abab ab 利用数形结合或几何意义 斜率 距离 绝对值的意义等 利用函数有界性 x a xsin xcos等 导数法 3 3 复合函数的有关问题 复合函数的有关问题 复合函数单调性的判定 首先将原函数 yf g x 分解为基本函数 内函数 xgu 与外函数 ufy 分别研究内 外函数在各自定义域内的单调性 根据 同性则增 异性则减 来判断原函数在其定义域内的单调性 注意 外函 数 ufy 的定义域是内函数 xgu 的值域 4 4 分段函数 分段函数 值域 最值 单调性 图象等问题 先分段解决 再下结论 5 5 函数的奇偶性函数的奇偶性 1 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件必要条件 2 f x是奇函数 01 0 fx fxf xfxf xf x f x 3 f x是偶函数 01 0 fx fxf xfxf xf x f x 4 奇函数 f x在原点有定义 则 0 0f 5 在关于原点对称的单调区间内 奇函数有相同的单调性 偶函数有相反的单调性 6 若所给函数的解析式较为复杂 应先等价变形 再判断其奇偶性 注 判断函数奇偶性先求函数的定义域 注 判断函数奇偶性先求函数的定义域 6 6 函数的单调性 函数的单调性 学而思网校 学而思网校 学习有意思 1 单调性的定义 f x在区间M上是增 减 函数 12 x xM 当 12 xx 时 12 0 0 f xf x 1212 0 0 xxf xf x 12 12 0 0 f xf x xx 2 单调性判定 定义法 注意 一般要将式子 12 f xf x 化为几个因式作积或作商的 形式 以利于判断符号 导数法 见导数部分 复合函数法 见 2 2 图像 法 注 证明注 证明函数的函数的单调性单调性先求函数的定义域 先求函数的定义域 主要用定义法和导数法 主要用定义法和导数法 7 7 函数的周期性 函数的周期性 1 周期性的定义 对定义域内的任意x 若有 f xTf x 其中T为非零常 数 则称函数 f x为周期函数 T为它的一个周期 所有正周期中最小的称为函 数的最小正周期 如没有特别说明 遇到的周期都指最小正周期 2 函数周期的判定 定义法 试值 图像法 公式法 利用 2 中结论 3 与周期有关的结论 f xaf xa 或 2 0 f xaf x a f x的周期为2a yf x 的图象关于点 0 0 ab中心对称 f x周期 2ab yf x 的图象关于直线 xa xb 轴对称 f x周期为 2ab yf x 的图象关于点 0 a中心对称 直线xb 轴对称 f x周期 4ab 8 8 基本初等函数的图像与性质 基本初等函数的图像与性质 一 1 幂函数 xy R 2 指数函数 1 0 aaay x 3 对 数函数 1 0 log aaxy a 4 正弦函数 xysin 5 余弦函数 xycos 6 正切函数 xytan 7 一元二次函数 2 yaxbxc 8 其它常用函数 正比例函数 0 kkxy 反比例函数 0 k yk x 特 别的 1 y x 函数 0 a yxa x 二 指数与对数的运算 1 分数指数幂 m nm n aa 1 m n m n a a 以上0 am nN 且1n mnm n aaa m nmn aa m mm aba b 2 bNNa a b log NMMN aaa logloglog 学而思网校 学而思网校 学习有意思 NM N M aaa logloglog loglog m n a a n bb m 3 对数的换底公式 log log log m a m N N a 对数恒等式 logaN aN 9 9 二次函数 二次函数 1 解析式 一般式 2 f xaxbxc 顶点式 2 f xa xhk h k 为顶点 零点式 12 f xa xxxx 2 二次函数问题解决需考虑的因素 开口方向 对称轴 端点值 与坐标轴交 点 判别式 两根符号 二次函数问题解决方法 数形结合 分类讨论 二 次 函 数cbxaxy 2 的 图 象 的 对 称 轴 方 程 是 2 b x a 顶 点 坐 标 是 2 4 24 bacb aa 1010 函数图象 函数图象 1 图象作法 描点法 注意三角函数的五点作图 图象变换法 导数 法 2 图象变换 平移变换 yf xyf xa 0 a 左 右 0 yf xyf xk k 上 下 伸缩变换 yf xyfx 0 纵坐标不变 横坐标伸长为原 来的 1 倍 yf xyAf x 0 A 横坐标不变 纵坐标伸长为原来 的A倍 对称变换 yf x 0 0 yfx yf x 0y yf x yf x 0 x yfx yf x y x 1 yfx 翻转变换 yf xyfx 右不动 右向左翻 f x原来在y左侧图 象擦去 yf xyf x 上不动 下向上翻 f x 在x下面无图 象 1111 函数图象 曲线 函数图象 曲线 对称性的证明对称性的证明 1 证明函数 yf x 图像的对称性 即证明图像上任意点关于对称中心 对称轴 的 对称点仍在图像上 2 证明函数 yf x 与 yg x 图象的对称性 即证明 yf x 图象上任意点关于对称 中心 对称轴 的对称点在 yg x 的图象上 反之亦然 曲线 1 0CF x y 关于原点 0 0 的对称曲线 2 C方程为 0Fxy 曲线 1 0CF x y 关于直线0 x 的对称曲线 2 C方程为 0Fx y 学而思网校 学而思网校 学习有意思 曲线 1 0CF x y 关于直线0y 的对称曲线 2 C方程为 0F xy 曲线 1 0CF x y 关于直线yx 的对称曲线 2 C方程为 0F y x f axf bxxR yf x 图像关于直线 2 ab x 对称 特别地 f axf axxR yf x 图像关于直线xa 对称 2f axf axb yf x 的图象关于点 a b对称 特别地 yf x 的图象关于点 0 a对称 f axf ax 1 12 2 函数零点的求法 函数零点的求法 1 直接法 求 0f x 的根 2 图象法 3 二分法 4 零点存在性定理 若 yf x 在 a b上满足 0f af b 则 yf x 在 a b 内至少有一个零点 注 判断方程注 判断方程 0f xg x 的根的个数等价判断两个函数的根的个数等价判断两个函数 f xg x 图像交点的图像交点的 个数 个数 1 13 3 导数导数 1 导数定义 f x在点 0 x处的导数记作 0 00 0 0 lim x x x f xxf x yfx x 2 常见函数的导数公式 C0 1 nn nxx xxcos sin xxsin cos aaa xx ln xx ee ax x a ln 1 log x x 1 ln 3 导数的四则运算法则 2 uu vuv uvuvuvu vuv vv 4 导数的应用 利用导数求切线 注意 所给点是切点吗 所求的是 在 还是 过 该点的切线 利用导数判断函数单调性 0 fxf x 是增函数 0 fxf x 为减函数 0 fxf x 为常数 利用导数求极值 求导数 x f 求方程0 x f的根 列表判断得 极值 利用导数最大值与最小值 求的极值 求区间端点值 如果有 比较 得到最值 第第三三部分部分 三角函数 三角恒等变换与解三角形三角函数 三角恒等变换与解三角形 1 1 1 角度制与弧度制的互化 弧度180 1 180 弧度 1弧度 180 5718 2 弧长公式 弧长公式 lR 扇形面积公式 扇形面积公式 2 11 22 SRRl 2 2 三角函数定义 三角函数定义 角 中边上任意一点P为 x y 设 OPr 则 学而思网校 学而思网校 学习有意思 sin cos yx rr tan y x 3 3 三角函数符号规律 三角函数符号规律 一全正 二正弦 三两切 四余弦 4 4 诱导公式诱导公式记忆规律 记忆规律 函数名不 改 变 符号看象限 5 5 三角函数的对称性与周期三角函数的对称性与周期 1 sin yAx 对称轴 令 2 xkkZ 得对称轴 2 k xkZ 令 xkkZ 得对称中心 0 k kZ 2 cos yAx 对称轴 令 xkkZ 得对称轴 k xkZ 令 2 xkkZ 对称中心 2 0 k kZ 3 三角函数的周期 sin 2yx T cos 2yx T tan yx T 2 sin cos yAxyAxT tan yx T 6 6 三角函数的单调区间 三角函数的单调区间 sinyx 的 单 调 递 增 区 间 为2 2 22 kkkZ 单 调 递 减 区 间 为 3 2 2 22 kkkZ cosyx 的 单 调 递 增 区 间 为 2 2kkkZ 单 调 递 减 区 间 为 2 2kkkZ tanyx 的单调递增区间为 22 kkkZ 注 注 函数函数sin cos yAxkyAxk 的性质研究 可以令Zx 代 入求解 7 7 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 22 sincos1xx sin tan cos x x x 8 8 三角函数的图像变换三角函数的图像变换 纵坐标伸长 1 A 或缩短 01 A 为原来的A倍 横坐标不 横坐标伸长 01 或缩短 1 为原来的 1 倍 纵坐标不变 sinyx 的图像的图像 sin yx 的图像的图像 沿x轴向左 0 或右 0 平移 个单位 学而思网校 学而思网校 学习有意思 注意注意 1 先伸缩后平移 2 不同函数的变换 9 9 两角和与差的两角和与差的正弦 余弦 正切正弦 余弦 正切公式 公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan sincosab 22 sin ab 1010 二倍角公式 二倍角公式 2 sin22sincos sincos 1 2sincos1 sin2 2222 cos2cossin2cos112sin 升幂公式 22 1cos21cos2 cos sin 22 降幂公式 2 2tan tan2 1tan 1 11 1 正正 余弦定理 余弦定理 1 正弦定理2 sinsinsin abc R ABC 2R是ABC 外接圆直径 注 sin sin sina b cABC 2 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC sinsinsinsinsinsin abcabc ABCABC 2 余弦定理 222 2cosabcbcA 等式三个 注 222 cos 2 bca A bc 等式三个 1 12 2 几个公式几个公式 sin yx 的图像 沿x轴向左 0 或向右 0 平移 个单位 sinyx 的图像 sin 2 yAx sin yAx 的图像 cos yAx 的图像 学而思网校 学而思网校 学习有意思 1 111 sin 222 ABC SahabCp papbpcpabc 2 内切圆半径 2 ABC S r abc 外接圆直径2 sinsinsin abc R ABC 1 11 1 已知 已知Aba 时三角形解的个数的判定 时三角形解的个数的判定 由正弦定理计算 sin sin bA B a 利用大边 对大角的关系 1 A 为直角或钝角时 ab 时 无解 ab 时 一解 锐角 2 A 为锐角时 ab 时 一解 一锐角 ab 时 sin1B 两解 一锐角 一钝角 sin1B 一解 直角 sin1B 无解 第四部分第四部分 立体几何立体几何 1 1 三视图与直观图 三视图与直观图 1 画三视图要求 三等 关系正视图与俯视图长对正 正视图与侧视图高平齐 侧视图 与俯视图宽相等 注意实线与虚线表示的意义 2 斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领 注 原图形与直观图面积之比为 2 4 SS 2 2 表 表 侧 侧 面积与体积公式 面积与体积公式 1 柱体 表面积 S S侧 2S底 圆柱侧面积 S侧 2 rh 体积 V S底h 2 锥体 表面积 S S侧 S底 圆锥侧面积 S侧 rl 体积 V 1 3 S底h 3 台体 表面积 S S侧 S上底 S下底 圆台侧面积 S侧 rr l 4 球体 表面积 2 4SR 体积 3 4 3 VR 3 3 位置关系的证明位置关系的证明 主要方法 主要方法 1 直线与直线平行 公理 4 线面平行 线线平行 面面平行 线线平行 2 直线与平面平行 线线平行 线面平行 面面平行 线面平行 3 平面与平面平行 线面平行 面面平行及推论 垂直于同一直线的两平面平 行 4 直线与直线垂直 线面垂直 线线垂直 直接求解异面直线 相交直线 所 成角 5 直线与平面垂直 线线垂直 线面垂直 面面垂直 线面垂直 6 平面与平面垂直 定义 两平面所成二面角为直角 线面垂直 面面垂直 4 4 求角 步骤求角 步骤 找或作角 找或作角 求角 求角 1 异面直线所成角的求法 0 2 平移法 平移直线 构造三角形 补形法 补成正方体 平行六面体 长方体等 发现两条异面直线间的关系 注 还可用向量法 注 还可用向量法 转化为转化为两直线方向向量的两直线方向向量的夹角夹角 或其补角 或其补角 2 直线与平面所成的角求法 0 2 先作垂线 再找射影 直线与射影的夹角为 所求的角 学而思网校 学而思网校 学习有意思 3 二面角的平面角求法 0 定义法 在二面角的棱上取一点 特殊点 作出平面角 再求解 三垂线法 由一个半面内一点作 或找 到另一个半平面的垂线 用三垂线定理或逆定 理作出二面角的平面角 再求解 射影法 利用面积射影公式 cos S S 其中 为平面角的大小 S为原图形 面积 S为射影图形的面积 5 5 求距离 步骤求距离 步骤 找或作垂线段 找或作垂线段 求距离 求距离 点到平面的距离 定义法 点到它在一个平面内的正射影的距离 作垂线 等 体积法 6 6 结论 结论 1 棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么 记原圆锥的高 h 底面积 S 体积 V 小圆锥的高 h 底面积 S 体积 V 23 ShVh ShVh 2 长方体的性质 长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 则 222 coscoscos1 222 sinsinsin2 长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a b c 则体对角线长为 222 dabc 全面积为2 Sabbcca 体积Vabc 3 正方体的棱长为a 则体对角线长为3a 全面积为 2 6Sa 体积 3 Va 4 球与长方体的组合体 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 球与正方体的组合体 正方体的内切球的直径是正方体的棱长 正方体的棱切球的 直径是正方体的面对角线长 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 5 正四面体的性质 设棱长为a 则正四面体的 高 6 3 ha 内切球半径 6 12 a 外接球半径 6 4 a 第第五五部分部分 直线与圆直线与圆 1 1 斜率公式 斜率公式 21 21 yy k xx 其中 111 P x y 222 P xy 直线的方向向量 va b 则直线的斜率为k 0 b a a 2 2 直线方程直线方程 1 点斜式 yyk xx 2 斜截式 ykxb 3 截距式 学而思网校 学而思网校 学习有意思 1 xy ab 4 两点式 11 2121 yyxx yyxx 5 一般式 0AxByC A B不全为 0 3 3 两条直线的位置关系 两条直线的位置关系 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 111 222 lyk xb lyk xb 1212 kk bb 12 1k k 12 l l 有斜 率 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1221 ABA B 且 1221 BCB C 验证 1212 0AABB 不可写成 分式 4 4 直线系 直线系 直线方程 ykxb 0AxByC 平行直线系 ykxm 0AxBym 垂直直线系 1 yxm k 0BxAym 相交直线系 111222 0AxB yCA xB yC 5 5 求解线性规划问题的步骤是 求解线性规划问题的步骤是 1 列约束条件 2 作可行域 写目标函数 3 确定目标函数的最优解 6 6 几个公式几个公式 1 设 11 A x y 22 B xy 33 C x y 线段AB的长度 距离公式 22 1212 ABxxyy 线段AB的中点 1212 22 xxyy ABC 的重心G坐标 123123 33 xxxyyy G 2 点 00 P xy到直线0AxByC 的距离 00 22 AxByC d AB 3 两条平行线 1 0AxByC 与 2 0AxByC 的距离是 12 22 CC d AB 7 7 对 称 问 题对 称 问 题 1 中 心 对 称 与 点 A x y关 于 点 P a b对 称 的 点 的 坐 标 是 0 2 2 Aaxby 2 轴对称 设点 111 M xy与点 222 Mxy关于直线 0l AxByC 对称 则两点满足 以下条件 学而思网校 学而思网校 学习有意思 21 21 1212 1 0 22 yyA xxB xxyy ABC 8 8 圆的方程 圆的方程 1 标准方程 圆心为 a b 半径为r 222 rbyax 2 一般方程 0 22 FEyDxyx 22 40DEF 注 22 0AxBxyCyDxEyF 表示圆0AC 且0B 且 22 40DEF 9 9 圆的方程的求法 圆的方程的求法 待定系数法 几何法 圆系法 1010 点 直线与圆的位置关系 主要掌握几何法 点 直线与圆的位置关系 主要掌握几何法 1 点与圆的位置关系 d表示点到圆心的距离 Rd点在圆上 Rd点在圆内 Rd点在圆外 2 直线与圆的位置关系 d表示圆心到直线的距离 dR 相交 0 dR 相交 0 Rd相离 0 3 圆与圆的位置关系 d表示圆心距 rR 表示两圆半径 且rR rRd相离 rRd外切 rRdrR相交 rRd内切 rRd0内含 1 11 1 与圆有关的结论 与圆有关的结论 1 直线与圆相交所得弦长直线与圆相交所得弦长 22 2ABrd 2 过圆 222 xyr 的点 00 M xy的切线方程为 2 00 x xy yr 3 以 11 A x y 22 B x y为直径的圆的方程 1212 0 xxxxyyyy 第第六六部分部分 圆锥曲线圆锥曲线 1 1 定义 定义 1 椭圆 2 2 2121 FFaaMFMF 2 双曲线 2 2 2121 FFaaMFMF 3 抛物线 MFd 2 2 结论 结论 1 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 若弦端点为 1122 A x yB x y 则 22 1212 ABxxyy 或 2 21 1kxxAB 或 2 21 1 1 k yyAB 注 抛物线 12 ABxxp 学而思网校 学而思网校 学习有意思 2 过两点的椭圆 双曲线标准方程可设为 1 22 nymx nm 同时大于 0 时表示 椭圆 0 mn时表示双曲线 3 双曲线中的结论 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的渐近线 22 22 0 xy ab 共渐进线 b yx a 的双曲线标准方程可设为 22 22 xy ab 为参数 0 双曲线为等轴双曲线 2e渐近线互相垂直 4 抛物线中的结论 抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点弦AB性质 2 12 4 p x x 2 12 y yp pBFAF 2 1 1 以AB为直径的圆与准线相切 以AF 或BF 为 直径的圆与y轴相切 5 焦点三角形问题求解 利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解 3 3 直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线位置关系位置关系问题解法 问题解法 1 相交求弦长 通法 联立直线与圆锥曲线方程 构造一元二次方程求解 注意以下问题 联立的关于 x 还是关于 y 的一元二次方程 直线斜率不 存在时考虑了吗 判别式验证了吗 注 注 直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交 且只有一个交点 直线与抛物线的对称轴平行时 直线与抛物线相交 且只有一个交点 2 设而不求 点差法 代点作差法 处理弦中点问题 步骤如下 设点 1122 A x yB x y 作差得 21 21 xx yy kAB 解决问 题 4 4 求轨迹的常用方法 求轨迹的常用方法 1 定义法 利用圆锥曲线的定义 2 直接法 列等式 3 代入法 又称相关点法或坐标转移法 4 几何法 第第七七部分部分 平面向量平面向量 1 1 向量的模 向量的模 向量AB的大小叫做向量的模 AB 长度为1的向量叫单位向量 AB e AB 2 2 向量的运算 向量的运算 加法 加法 abABBCAC 平行四边形法则与三角形法则 平行四边形法则与三角形法则 减法 减法 abOA OBBA 从减数从减数b的终点点指向被减数的终点点指向被减数a的终点的终点 实数与向量的积 实数与向量的积 实数 与向量a的积是一个向量 记作a 长度为 aa 学而思网校 学而思网校 学习有意思 方向 当0 时 a 的方向与a的方向相同 当0 时 a 的方向与a的方向相反 当0 时 0a 非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 使得ba 向量的数量积 向量的数量积 cosa ba b 0 规定零向量与任一向量的数量积为0 a b 是一个数量 当0 时 a与b同向 当0 2 时 0a b 当 2 时 ab 当 2 时 0a b 当 时 a与b异向 cosb 叫做b在a方向上 的投影 a b的几何意义的几何意义 a的长度a与b在a的方向上的投影cosb 的乘积 3 3 平面向量的基本定理 平面向量的基本定理 如果 12 ee是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一个平面 内的任一向量a 有且只有一对实数 12 使 1 122 aee 4 4 坐 标 运 算 坐 标 运 算 11 ax y 22 bxy 则则 1212 abxxyy 1212 abxx yy 1111 ax yxy 1212 abxxyy 1221 0ababx yx y 1 212 00aba bx xy y 11 A x y 22 B x y 则 2121 ABxx yy 22 1212 ABxxyy 三点共线的充要条件 P A B三点共线 1 且OPxOAyOBxy 第八部分第八部分 数列数列 1 1 定义 定义 1 等差数列 2 2 11n1n Nnnaaaddaaa nnnn 为常数 BnAnsbkna nn 2 2 等比数列 2 1 11 0 2 n nnnn n a aq qaaannN a 学而思网校 学而思网校 学习有意思 0 0 1 0 均为不为 的常数 nn n acqc qSnkkqqqk 2 2 等差 等比数列性质等差 等比数列性质 等差数列 等比数列 通 项 公 式 dnaan 1 1 1 1 n n qaa 前 n 项 和 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 1 11 1 1 1 2 1 11 时 时 n n n n qSna aa qaq qS qq 性 质 nm aanm d mnpq 则 nmpq aaaa 232kkkkk SSSSS 成等 差 2mkmkk aaa 成等 差 mdd n m nm aa q mnpq 则 nmpq a aa a 232kkkkk SSSSS 成等比 2mkmkk aaa 成等比 m qq 3 3 数列通项的求法 数列通项的求法 1 定义法 利用等差 等比数列的的定义 2 公式法 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 3 累加法 nnn caa 1 型 4 累乘法 n n n c a a 1 型 5 构造法 bkaa nn 1 型 转化为 1 xakxa nn 6 迭代法 7 间接法 例如 4 11 4 1 11 nn nnnn aa aaaa 注 当遇到q a a daa n n nn 1 1 11 或时 要分奇数项偶数项讨论 结果是分段形 式 5 5 前 前n项和的求法 项和的求法 公式法 直接运用等差 等比数列的求和公式 倒序相加法 课本推导等差数列求和的方法 适用前后等距离项之和相等 错位相减法 课本推导等比数列求和的方法 适用等差等比数列相结合的新数列 乘 公比再相减 裂项求和法 适用分母有等差数列相邻两项组成的形式等 分项求和法 将数列分成几个数列然后分别求和 6 6 等差数列前 等差数列前 n n 项和最值的求法 项和最值的求法 学而思网校 学而思网校 学习有意思 1 n S最大值 11 00 00 nn n nn aa S aa 或最小值 2 利用二次函数的图象与性质 2 n Sanbn 第九部分第九部分 不等式不等式 1 1 均值不等式 均值不等式 22 0 0 22 abab abab 注意 一正二定三相等 变形 2 2 22 2 Rba baba ab 2 2 最值问题 最值问题 已知yx 都是正数 则有 1 如果积xy是定值p 那么当yx 时和yx 有最小值p2 2 如果和yx 是定值s 那么当yx 时积xy有最大值 2 4 1 s 3 3 解一元二次不等式解一元二次不等式 2 0 0 axbxc 或 若0 a 则对于解集不是全集或空集时 对 应的 解集为 大两边 小中间 如 当 21 xx 2121 0 xxxxxxx 1221 0 xxxxxxxx 或 注 当 2 0axbxc 0a 解集为 解集为 0 0 a R 4 4 含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 当0 a时 有 axaaxax 22 22 xaxaxa 或xa 5 5 分式不等式 分式不等式 1 00 xgxf xg xf 2 00 xgxf xg xf 3 0 0 0 xg xgxf xg xf 4 0 0 0 xg xgxf xg xf 6 6 指数不等式与对数不等式指数不等式与对数不等式 1 当1a 时 f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 当01a 时 f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 3 3 不等式的性质 不等式的性质 abba cacbba cbcaba 学而思网校 学而思网校 学习有意思 dcba dbca bdaccba 0 bcaccba 0 0 babdacdc 0 00 Nnbaba nn 6 6 0ba Nnba nn 4 4 不等式等证明 主要 方法 不等式等证明 主要 方法 1 比较法 作差或作比 2 综合法 3 分析法 第十部分第十部分 复数复数 1 1 复数 zabi aR bR 是实数 0 a b 虚数 0 b 纯虚数 0 0 ba 2 两个复数相等的充要条件 abicdiac bd 3 共 轭 复 数 zabi 的 共 轭 复 数zabi 共 轭 的 性 质 2 2 22 zzzzab a bR 4 复数的模 22 zab 5 复数的运算 四则运算 设 12 zabi zcdia b c dR 1 加 减法按合并同类项法则 12 zzabicdiacbd i 2 乘法按多项式乘法法则 12 z zabicdiacbdadbc i 3 除法 按分母实数化法则 1 22 2 zabiabi cdiacbdbcad i zcdicdi cdicd 6 一些常用结论 虚数单位i的幂运算 41424344 1 1 nnnn ii iii inN 周 期4T 2 11 1 2 11 ii iiii ii 设0a a 的平方根是 ai 7 7 实系数一元二次方程 实系数一元二次方程 2 0axbxc 的解 的解 若 2 40bac 则 2 1 2 4 2 bbac x a 若 2 40bac 则 12 2 b xx a 若 2 40bac 它在实数集R内没有实数根 在复数集C内有且仅有两个共轭复 数根 2 2 4 40 2 bbac i xbac a 第十一部分第十一部分 常用逻辑用语与推理证明常用逻辑用语与推理证明 1 1 四种命题 四种命题 学而思网校 学而思网校 学习有意思 注 原命题与逆否命题等价 逆命题与否命题等价 2 2 充要条件的判断 充要条件的判断 1 定义法 正 反方向推理 2 利用集合间的包含关系 例如 若BA 则A是B成立的充分条件或B是A成 立的必要条件 若AB 则A是B成立的充要条件 3 3 逻辑连接词 逻辑连接词 1 且 and 命题形式 pq p q p q p q p 2 或 or 命题形式 pq 真 真 真 真 假 3 非 not 命题形式p 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 4 4 全称量词与存在量词 全称量词与存在量词 1 全称量词 所有的 任意一个 等 用 表示 全称命题 p xpMx 全称命题 p 的否定 p xpMx 2 存在量词 存在一个 至少有一个 等 用 表示 特称命题 p xpMx 特称命题 p 的否定 p xpMx 5 5 常见结论的否定形式常见结论的否定形式 原结论 否定 原结论 否定 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有 1n 个 小于 不小于 至多有n个 至少有 1n 个 对所有x 成立 存在某x 不成立 p或q p 且q 对任何x 不成立 存在某x 成立 p且q p 或q 第十第十二二部分部分 概率概率 1 1 事件的关系 事件的关系 1 事件B包含事件A 事件A发生 事件B一定发生 记作BA 2 事件A与事件B相等 若ABBA 则事件A与B相等 记作AB 3 并 和 事件 某事件发生 当且仅当事件A发生或B发生 记作AB 或BA 4 并 积 事件 某事件发生 当且仅当事件A发生且B发生 记作AB 或AB 5 事件A与事件B互斥 若AB为不可能事件 AB 则事件A与事件B 原命题 若p则q 逆命题 若q则p 否命题 若p 则q 逆否命题 若q 则p 互 逆 互 逆 互 否 互 否 为 互 为 逆 否 逆 互 否 学而思网校 学而思网校 学习有意思 互斥 6 对立事件 AB为不可能事件 AB为必然事件 则A与B互为对立事件 记BA 2 2 概率公式 概率公式 1 互斥事件 有一个发生 概率公式 P ABP AP B 2 古典概型 A P A 事件 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 3 几何概型 等 区域长度 面积或体积试验的全部结果构成的 积等 的区域长度 面积或体构成事件A AP 第十第十三三部分部分 统计与统计案例统计与统计案例 1 1 抽样方法 抽样方法 1 简单随机抽样 一般地 设一个总体的个数为 N 通过逐个不放回的方法从中抽取一 个容量为 n 的样本 且每个个体被抽到的机会相等 就称这种抽样为简单随机抽样 注 每个个体被抽到的概率为 N n 常用的简单随机抽样方法有 抽签法 随机数 法 2 系统抽样 当总体个数较多时 可将总体均衡的分成几个部分 然后按照预先制定的 规则 从每一个部分抽取一个个体 得到所需样本 这种抽样方法叫系统抽样 注 步骤 编号 分段 在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l 按预先制定的规则抽取样本 3 分层抽样 当已知总体有差异比较明显的几部分组成时 为使样本更充分的反映总体 的情况 将总 体分成几部分 然后按照各部分占总体的比例进行抽样 这种抽样叫分层抽样 注 每个部分所抽取的样本个体数 该部分个体数 N n 2 2 总体特征数的估计 总体特征数的估计 1 众数 在数据中出现次数最多的一个数 频率分布直方图的最高矩形的中点 2 中位数 将数据按大小顺序排列 在数据中位于中间位置的一个数 或最中间两个数 的平均数 3 样本平均数 123 1 1 n n i i xxxx xx nn 3 样本方差 222 22 12 1 11 n ni i sxxxxxxxx nn 5 样本标准差 222 12 1 n sxxxxxx n 学而思网校 学而思网校 学习有意思 注注 方差代表数据的离散程度与稳定情况 方差越小 代表数据越集中或越稳定 3 3 变量间的相关关系 1 相关关系 两个变量之间存在的一种不确定性的关系 可利用样本数据散点图来确定是 否存在相关关系 正相关 散点图中 点散布在从左下角到右上角的区域 负相关 散点图中 点散布在从 左上角到右下角的区域 2 回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 就称这两个变量之 间具有线性相关关系 这条直线叫做