中考数学 常考易错点 4.4 多边形与平行四边形.docVIP

4.4 多边形与平行四边形易错清单1. 平行四边形的性质.【例1】(2014湖南益阳)如图,平行四边形abcd中,e,f是对角线bd上的两点,如果添加一个条件使abecdf,则添加的条件不能是().a. ae=cfb. be=fdc. bf=ded. 1=2【解析】a.当ae=cf无法得出abecdf,故此选项符合题意;b. 当be=fd,平行四边形abcd,ab=cd,abe=cdf.在abe和cdf中,abecdf(sas),故此选项错误;c. 当bf=ed,be=df.平行四边形abcd,ab=cd,abe=cdf.在abe和cdf中,abecdf(sas),故此选项错误;d. 当1=2,平行四边形abcd,ab=cd,abe=cdf.在abe和cdf中,abecdf(asa),故此选项错误;【答案】a【误区纠错】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.注意平行四边形对角线互相平分.2. 平行四边形的判定.【例2】(2014云南)如图,在平行四边形abcd中,c=60,m,n分别是ad,bc的中点,bc=2cd.(1)求证:四边形mncd是平行四边形;(2)求证:bd=mn.【解析】(1)根据平行四边形的性质,可得ad与bc的关系,根据md与nc的关系,可得证明结论;(2)根据根据等边三角形的判定与性质,可得dnc的度数,根据三角形外角的性质,可得dbc的度数,根据正切函数,可得答案.【答案】(1)abcd是平行四边形,ad=bc,adbc.m,n分别是ad,bc的中点,md=nc,mdnc.四边形mncd是平行四边形.(2)如图,连接nd,四边形mncd是平行四边形,mn=dc.n是bc的中点,bn=cn.bc=2cd,c=60,ncd是等边三角形.nd=nc,dnc=60.dnc是bnd的外角,nbd+ndb=dnc.dn=nc=nb,【误区纠错】本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,等边三角形的判定与性质,正切函数.但是要注意一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形.名师点拨1. 掌握多边形内角和公式(n-2)180及外角和均为360这个特征.2. 会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.名师点拨1. 掌握多边形内角和公式(n-2)180及外角和均为360这个特征.2. 会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.提分策略1. 综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.由于平行四边形的对边相等、对角相等,所以利用平行四边形的性质可以探索与证明边角相等的问题,解决此类问题时,一般先判定一个四边形是平行四边形,然后利用其性质得到结论.【例1】如图,在平行四边形abcd中,e、f分别在ad、bc边上,且ae=cf.求证:(1)abecdf;(2)四边形bfde是平行四边形.【解析】(1)由四边形abcd是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质,即可证得a=c,ab=cd,又由ae=cf,利用sas,即可判定abecdf.(2)由四边形abcd是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得adbc,ad=bc.又由ae=cf,即可证得de=bf.根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形bfde是平行四边形.【答案】(1)四边形abcd是平行四边形,a=c,ab=cd.在abe和cdf中,ab=cd,a=c,ae=cf,abecdf(sas).(2)四边形abcd是平行四边形,adbc,ad=bc.ae=cf,ad-ae=bc-cf,即de=bf.四边形bfde是平行四边形.2. 平行四边形的判定.利用平行四边形的性质研究三角形的全等,以及等腰三角形的判定等,也可为了证明一个四边形是平行四边形,先证明两个三角形全等,为进一步证明四边形是平行四边形提供条件.【例2】(2014甘肃白银)d,e分别是不等边三角形abc(即abbcac)的边ab,ac的中点.o是abc所在平面上的动点,连接ob,oc,点g,f分别是ob,oc的中点,顺次连接点d,g,f,e.如图,当点o在abc的内部时,求证:四边形dgfe是平行四边形.【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得debc且de=bc,gfbc且gf=bc,从而得到degf,de=gf,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;【答案】d,e分别是ab,ac边的中点,degf且de=gf.四边形defg是平行四边形.3. 研究一种或多种正多边形的镶嵌问题.(1)判断一种正多边形能否进行平面镶嵌,可以用360除以这个正多边形的内角度数,如果能整除则这个正多边形能进行平面镶嵌.【例3】在下列图形中,单独选用该图形不能进行平面镶嵌的是().a. 正三角形b. 正六边形c. 正方形d. 正五边形【解析】a. 正三角形的一个内角度数为180-3603=60,是360的因数,能镶嵌平面,不符合题意;b. 正六边形的一个内角度数为180-3606=120,是360的因数,能镶嵌平面,不符合题意;c. 正方形的一个内角度数为180-3604=90,是360的因数,能镶嵌平面,不符合题意;d. 正五边形的一个内角度数为180-3605=108,不是360的因数,不能镶嵌平面,符合题意.【答案】d(2)判断不同种的正多边形能否进行平面镶嵌,先求出这些正多边形的内角,建立方程,然后判断这个方程是否有正整数解.【例4】现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张,下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是().a. 正方形和正六边形b. 正三角形和正方形c. 正三角形和正六边形d. 正三角形、正方形和正六边形【解析】a选项,正方形和正六边形内角分别为90,120,由于90m+120n=360,得,显然n取任何正整数时,m不能得正整数,故不能铺满;b选项,正三角形和正方形内角分别为60,90,由于603+902=360,故能铺满;c选项,正三角形和正六边形内角分别为60,120,由于602+1202=360,故能铺满;d选项,正三角形、正方形和正六边形内角分别为60,90,120,由于60+90+90+120=360,故能铺满.【答案】a专项训练一、 选择题1. (2014北京房山区二模)若正多边形的一个外角是36,则该正多边形为().a. 正八边形b. 正九边形c. 正十边形d. 正十一边形2. (2014江苏常州模拟)已知四边形abcd是平行四边形,下列结论中不正确的是().a. 当ab=bc时,它是菱形b. 当acbd时,它是菱形c. 当abc=90时,它是矩形d. 当ac=bd时,它是正方形3. (2014四川乐山模拟)如图,p为平行四边形abcd边ad上一点,e,f分别为pb,pc的中点,pef,pdc,pab的面积分别为s,s1,s2,若s=2,则s1+s2等于().a. 4b. 6c. 8d. 不能确定(第3题)(第4题)4. (2014安徽安庆外国语学校模拟)如图,已知点o是四边形abcd内一点,oa=ob=oc,abc=adc=70,则dao+dco的大小是().a. 70b. 110c. 140d. 1505. (2013浙江海宁部分学校联考)如图,1,2,3,4是五边形abcde的外角,且1=2=3=4=70,则aed的度数是().a. 110b. 108c. 105d. 100(第5题)(第7题)6. (2013内蒙古赤峰模拟)一个多边形的内角和比外角和的3倍少180,则该多边形的边数是().a. 5b. 6c. 7d. 87. (2013云南宣威模拟)如图,在平行四边形abcd中,bad的平分线ae交bc于点e,且ae=be,则bcd的度数为().a. 30b. 60或120c. 60d. 1208. (2013陕西西安模拟)下面给出了四边形abcd中a,b,c,d的度数之比,其中能判定四边形abcd是平行四边形的是().a. 1234b. 2323c. 2345d. 1223二、 填空题9. (2014江苏南京二模)如图,将正五边形abcde的点c固定,并依顺时针方向旋转,若要使得新五边形abcde的顶点d落在直线bc上,则至少要旋转.(第9题)10. (2013湖北枣阳模拟)已知abcd的周长为28,自顶点a作aedc,垂足为e,afbc,垂足为f.若ae=3,af=4,则ce-cf=.三、 解答题11. (2014上海长宁区二模)如图,在abc中,acb=90,d,e分别是bc,ba的中点,连接de,f在de延长线上,且af=ae.求证:四边形acef是平行四边形.(第11题)12. (2014广东深圳模拟)已知:如图,在平行四边形abcd中,连接对角线bd,作aebd于点e,cfbd于点f,(1)求证:aedcfb;(2)若abc=75,adb=30,ae=3,求平行四边形abcd的周长?(第12题)13. (2013浙江湖州中考模拟试卷)如图,abcd中,e,f分别是边ab,cd的中点.(1)求证:四边形ebfd是平行四边形;(2)若ad=ae=2,a=60,求四边形ebfd的周长.(第13题)参考答案与解析1. c解析多边形外角和均等于360,2. d解析 当ac=bd时,它是矩形.因为对角线相等的平行四边形是矩形.3. c解析pef的面积是2,pbc的面积是24=8.pdc,pab的面积和等于pbc的面积均是平行四边形面积的一半,s1+s2=8.4. d解析bao+bco=abo+cbo=abc=70,所以boa+boc=360-140=220,所以aoc=140.5. d解析本题考查多边形的内角和,外角和的概念.6. c解析(n-2)180=3360-180.7. d解析abe是等边三角形.8. b解析平行四边形对角相等.9. 72解析正五边形每个内角相等,均等于, 至少旋转180-108=72后新五边形abcde的顶点d落在直线bc上.11. acb=90, e是ba的中点,ce=ae=be.af=ae,af=ce.在bec中,be=ce且d是bc的中点,ed是等腰三角形bec底边上的中线.ed也是等腰三角形bec的顶角平分线.1=2.aec=180-1-2=180-21.af=ae,f=3 .1=3,1=f=3.在aef中,fae=180-3-f=180-21.aec=f ae,ceaf.又ce=af,四边形acef是平行四边形.(第11题)12. (1)平行四边形abcd,ad=bc,adbc.ade=cbf.又aebd于点e,cfbd