专题：由运动产生的线段和差问题.doc

2012年全国中考数学（100套）压轴题分类解析汇编专题6：由运动产生的线段和差问题1.（2012北京市8分）在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P1（x1,y1）与P2（x2,y2）的“非常距离”，给出如下定义： 若x1x2y1y2，则点P1与点P2的“非常距离”为x1x2； 若x1x2y1y2，则点P1与点P2的“非常距离”为y1y2. 例如：点P1（1,2），点P2（3,5），因为1325，所以点P1与点P2的“非常距离”为25=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）。 （1）已知点，B为y轴上的一个动点， 若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； 直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； （2）已知C是直线上的一个动点， 如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； 如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标。 【答案】解：（1）（0，2）或（0，2）。（2）设C坐标为，如图，过点C作CPx轴于点P，作CQy轴于点Q。 由“非常距离”的定义知，当OP=DQ时，点C与点D的“非常距离”最小，。两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。点C与点D的“非常距离”的最小值距离为，此时。设直线与x轴和y轴交于点A，B，过点O作直线的垂线交直线于点C，交圆于点E，过点C作CPx轴于点P，作CQy轴于点Q，过点E作EMx轴于点M，作ENy轴于点N。易得，OA=4，OB=3，AB=5。由OABMEM，OE=1，得OM=，ON=。设C坐标为由“非常距离”的定义知，当MP=NQ时，点C与点E的“非常距离”最小，。两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。点C与点E的“非常距离”的最小值距离为1，此时，。【考点】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。【分析】（1）根据“非常距离”的定义可直接求出。 （2）解题关键是，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C点到达C点，其与点D的“非常距离”都会增大。故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。 同，同时理解当OC垂直于直线时，点C与点E的“非常距离”最小。2. （2012广西南宁10分）已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（1，y）（1）如图1，若点C（x，0）且1x3，BCAC，求y与x之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点B的坐标为（1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标【答案】解：（1）如图1，过点A作AEx轴于点E在BCD与CAE中，BCD=CAE=90ACE，BDC=CEA=90，BCDCAE，。A（3，4），B（1，y），C（x，0）且1x3，。y与x之间的函数关系式为（1x3）。（2）y没有最大值。理由如下：，又1x3，y没有最大值。（3）如图2，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA，使AA=1，作点B关于x轴的对称点B，连接AB，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小。A（3，4），A（2，4）。B（1，1），B（1，1）。设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得。直线AB的解析式为。当y=0时，解得。线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（，0）。【考点】一次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，轴对称的性质，三角形三边关系。【分析】（1）过点A作AEx轴于点E，先证明BCDCAE，再根据相似三角形对应边成比例即可求出y与x之间的函数关系式。（2）先运用配方法将写成顶点式，再根据自变量x的取值范围即可求解。（3）欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与EF是定长，所以只需BE+AF最小为此，先确定点E、F的位置：过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA，使AA=1，作点B关于x轴的对称点B，连接AB，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则点E、F的位置确定再根据待定系数法求出直线AB的解析式，然后令y=0，即可求出点E的横坐标，从而得出点E的坐标。3. （2012山东滨州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（2，4），O（0，0），B（2，0）三点（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值【答案】解：（1）把A（2，4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得，解这个方程组，得。抛物线的解析式为y=x2+x。（2）由y=x2+x=（x1）2+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB。OM=BM。OM+AM=BM+AM。连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小。过点A作ANx轴于点N，在RtABN中，因此OM+AM最小值为。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。（2）根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交