演绎深化——命制平面几何试题的一条重要途径.pdf

2 O O 5 年第5 期 演 绎 深 化 命 制 平 面 几 何 试 题 的 一 条 重 要 途 径 羊 明 亮 湖南师范大学数学与计算机科学学院 4 1 0 0 8 1 平面几何具有深刻的逻辑结构 丰富的 直观背景和鲜明的认知层次 是训练和培养 学生逻辑思维与演绎推理能力的理想素材 因而 在各级数学竞赛中 平面凡何始终占据 重要位置 那么 怎样才能命制出好的几何竞赛题 呢 这其中的方法与技巧 许多文章都作过 介绍 本文仅从演绎深化的四个层次来谈谈 平面几何竞赛题的命制 以求教于同行 1 着眼于扩大条件与结论之间的距离 为了 保持数学竞赛的特色与水准 命题 者常常在题目的创新上花费大量心血 而着 眼于扩大条件与结论之间的距离 演绎出新 题是一种常用的手段 题l 三角形的两顶点与其内心 外心 垂心中的两个心四 点共圆的充分必要条件是 另一顶点处的内角为6 0 题2 设 为 A B C的内心 点 C 分别为边A C A B的中点 射线 交边A B 于点 2 射线 C 交边A C于点C 2 则 s s c 的充分必要条件是 B A C 6 0 其中 题2 的必要性即为第3 l 届 珊O的 一 道预选题 沈文选教授结合上述两题 演绎 出了新的 赛题题3 题3 设点 日分别是锐角 A B C的 内 心和垂心 点 C 分别为边A C A B的 收稿日 期 2 0 0 4 0 8 1 1 修回1 3 期 2 O O 4 1 2 1 3 中点 已知射线 交边A B于点 射线 C 交边 A C的延长线于点 C 2 C 2 与B C 相交于K A 为 B H C的外心 试证 A A 三点共线的充分必要条件是 B K B 和 C K C 2 的面积相等 2 0 0 3 中国数学奥林匹克 题4 A B C的三边长分别为A B c B C 口 C A b A D B E C F分别为 A B C 的三条内角平分线 若A F D E四点共圆 h 一 f I b c 累 让 2 0 0 0 蒙古数学奥林匹克 若不直接给出A F D E四点共圆 而 给出四点共圆的一个必要条件 便得到下面 的题5 题5 设 A B C的三边长分别为A B c B C 口 C A b 口 b c 互不相等 A D B E C F分别为 A B C的三条内角平分线 且 加 证明 2 0 0 3 女子数学奥林匹克 我们再看下面的题6 题 6 如图 1 已知 F G H分 别是平行 四边形 A B C D的四边上任意 的点 0 l 0 2 0 3 G C 图 l 0 分别是 A E F B F G C G H D H E 的外心 求证 四边形 0 0 2 0 3 0 为平行四 维普资讯 1 2 中 等 数 学 边形 冷岗松教授将图1 遮掩一半 扩大与结 论之间的距离 便有如下赛题 题7 如图2 在给 定梯形 A B C D中 A D B C E为边A B上的动 点 0 0 分 别 是 A A E D和A B E C的外 心 求证 0 0 的长为 定值 D 图2 2 0 0 2 西部数学奥林匹克 2 着眼于已有的知识和方法 对于一个已知图形 深入挖掘其隐含的 性质 可以演绎出有价值的新题 题8 在R t A A B C中 A D是斜边上的 高 联结A A B D的内心 与A A C D的内心 2 的直线分别与边 A B及边A C相交于 及 点 A A B C与AA M N的面积分别记为S 与 求证 S 2 T 第2 9 届珊O 若记A A B D A A C D内切圆分别为 o0 o0 两圆的另一条外公切线分别交 边A B A C A D于P Q M 深入探索此图形 的性质 便有了下面的题9 题9 在 R t A A B C中 A D是斜边上的 高 o 0 o 0 分别为A A B D A A C D的内 切圆 两圆的另一条外公切线分别交边A B A C A D于P Q M 求证 1 P B C Q四点共圆 2 2 A M 3 P O Q P O Q 9 0 通过对题8 的深入研究 可以得到一系 列的试题 参见文 1 另外 由已知的静态型图形向未知的动 态型图形探索 也可得到许多新的性质 从而 演绎出新题 由 题8 知 当且仅当R t A A B C为等腰 直角三角形时 S 2 S 现让点 D运 动 笔者发现 取 B C的中点时 不需要等腰 这个条件 也有 S 2 S 题1 O 在R t A A B C中 D为斜边B C的 中点 l 2 分别是A A B D A A C D的内心 过 2 的直线分别交A B A C于 求 证 S 2 S 2 O 0 4 湖南省夏令营测试题 3 着眼于简单 平凡的事实 从一个基本问题或基本图形或一组条件 出发 进行逻辑推理 从易到难 可以演绎出 一 些较难 不平凡的新题 题1 l 如图3 设 C A B E D G分别是锐 角A D B C三边上的 高 则A D B C的垂心 F是AA E G的内心 这是一个平凡的 C D 图3 问 题 对它加以拓广 可演绎出一系列不平凡 的赛题 首先 仍然是高 而 F只是线段 内任一点 便有如下的赛题 题 1 2 如图 4 c 在锐角A D B C中 是边B D上的高 F是线段 内任一 点 D F和B F的延长 线分别交边 B C C D B A D 图4 于G E 求证 G A C E A C 1 9 9 3 澳门数学奥林匹克 第3 轮 注 此题还被选为 1 9 9 4 年加拿大数学奥 林匹克试题及2 0 0 1 年爱尔兰数学奥林匹克 维普资讯 2 O O 5 年第5 期 l 3 试题 若把此题中 锐角三角形 和 F介于c A之问 的限制取消 则结论成立或出现 G A C与 E A C互补之情形 萧振纲教授更进一步 把线段变成向下 凸的折线段B A D 得到了 下面的赛题 题 1 3 如图5 在凸四边形 A B C D 中 对角线 A C平分 B A D 在 C D上取 一 点 E B E 与 A C 相交于 F 延长 D F 交B C于 G 求证 G A C E A C C 图 5 1 9 9 9 全国高中数学联赛 4 着眼于问题的反面或逆命题 一 道试题 可演变出逆命题 否命题 逆 否命题 因此 对已有的竞赛题作逆向 思考或 反面思考 演绎出新题 也是命制平面几何试 题的一种常见且有效的方法 我们熟知这样一个命题 正三角形内任意一点到三边的距离和是 一 定值 此命题的逆命题也成立 即 若三角形内任意一点到三边的距离和是 一 定值 则此三角形为正三角形 现考虑四边形 平行四边形内任意一点 到四边的 距离和是一定值 其逆命题为 题1 4 证明 若凸四边形A B C D内任意 一 点P到边A B B C C D D A的距离之和为 定值 则A B C D为平行四边形 2 0 0 3 西部数学奥林匹克 此题看似简单 但证明的难度却较大 题1 5 已知过 A B C的顶点A的中线 A M和高线A H关于 B A C的角平分线A D对 称 试找出所有满足条件的 A B C 2 0 0 l 匈牙利数学奥林匹克 容易验证 当 A B A C或 B A C 9 0 时 都满足过 A B C的顶点A的中线和高线 关于其角平分线对称 而本赛题就是考虑其 逆命题 可求出满足题意的 A B C为A B A C或 B A C 9 0 参考文献 1 沈文选 直角三角形中的一些数量关系 J 中学数学 湖北 1 9 9 7 7 上接第5页 答案 销售价定为1 6 0 元时 每日的销售的最 大利润是 1 6 O O 元 4 在一个矩形花坛中 修建两相同的喷水器 使 花坛全部能喷到水 已知每个喷水器的喷水区域是 半径为1 0 n l 的圆 问如何设计 求出两喷水器的距