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概率论与数理论统计习题答案第一章 随机事件及其概率1.1 随机事件习题1. (1) ;(2) AB=2,4; .2. (1) (2) (3) (4) (5) 3. (1)(2)(3)(4)4. 解: (1) , , (2) 不是, 1.2 概率习题1. 解: 2. 解: 设A=小王能答出甲类问题, B=小王能答出乙类问题,则P(A)=0.7, P(B)=0.4, P(AB)=0.3 (1) (2) (3) 3. 解: , 4. 解: 设A,B,C分别表示订甲、乙、丙报纸，则P(A)=P(B)=P(C)=0.3, P(AB)=0.1,P(BC)=P(AC)= P(ABC)=0. 故所求为5. 解: 当时, P(AB)取最大值, 最大值为0.6;由加法公式故当时, P(AB)取最小值,最小值为0.3.6解: ， 当时，（1）式子等号成立，当时，（2）式子等号成立，当时，（3）式子等号成立.1.3 古典概率1. 解: 所求概率为. 2. 解: 所求概率为. 3. 解: (1) 设A=前两个邮筒各有一封信, B=第二个邮筒恰好被投入一封信,则4. 解: 设A=能被3整除的数, B=能被5整除的数,则mA=33 , mB=20, 所求概率为 5. 解: 所求概率为1.4 乘法公式与全概率公式1. 解: A=雇员有本科文凭,B=雇员是管理人员,(1) ,(2) .2. 解: (1) (3) .3. 解: 设A,B,C分别表示甲、乙、丙抽到难签，则 P甲乙都抽到难签P甲没抽到,乙抽到难签P甲乙丙都抽到难签4. 解:设A表示任意取出的零件是合格品，Bi表示取出第i台车床加工的零件（i=1,2），则(1)由全概率公式得 (2) 由贝叶斯公式得 5. 解:设A表示从乙袋取出一个红球，B表示从甲袋取出一个红球放入乙袋，则(1)由全概率公式得 (2) 由贝叶斯公式得 6. 解:设A表示任意取出一个元件，其使用寿命达到指定要求；分别表示取出甲、乙、丙类元件，则由全概率公式得 1.5 事件的独立性1. 解: 设A和B分别表示甲和乙击中目标,则A和B相互独立,设C表示目标被击中,D表示恰有一人击中目标.则所求概率为 2. 解:设A表示3只全是白球;B表示3只颜色全相同; C表示3只颜色全不相同.则所求概率为 (1) (2) (3) 3. 解:设A表示在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管,Bi表示第i台车床在一小时内不需要工人照管（i=1,2,3），则相互独立,且所求概率为4. 解: 设A,B,C分别表示甲、乙、丙译出密码,则A,B,C相互独立.设D表示密码能被译出, 则所求概率为 5.(1) 证明:由条件可得, P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), , 则=(2) 证明:由已知得 ,则 化简整理得, 即事件A与B独立.6. 解: 设A,B,C分别表示甲、乙、丙击中飞机,D表示飞机被击落,则A,B,C相互独立,且 设Ai表示有i人击中飞机（i=1,2,3），则 则由全概率公式得,飞机被击落的概率为第一章 复习题一. 单选1. D 2. A 3. B 4. C 5. B 6. D 7. A 8. B 9. C 10. A.二. 填空1. 0.9, 2. , 3. 0.8, 4. 7/8, 5. 1/6, 6. 1/3, 7. 13/18, 1/2,8. 0.863, 0.435, 9. 0.06, 10. 0.75.三.计算与证明1. 解: , .2. 解:（1）=0.0372; （2） （3）3解: 则A，B，C至少发生一个的概率为A，B，C全不发生的概率为4解:设A表示任意取出一个产品是次品,分别表示取出一、二、三车间生产的产品，则（1）由全概率公式得 (2) 由贝叶斯公式得 5解:设分别表示第一、第二次取出的零件是一等品,分别表示取出第一、第二箱中的零件，则（1）由全概率公式得 6证明: = = 故 与独立.第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量的概念与离散型随机变量习题1. 解： 又因为 , 所以 .2. 解：设X表示任取3次,取到的不合格品数，则1）有放回 即X的分布律为 X 0 1 2 3 P 2）无放回 即X的分布律为 X 0 1 2 P 3. 解：X的概率分布为X 3 4 5P 0.1 0.3 0.64. 解：设X表示直至取到白球为止,取球的次数，则其概率分布为X 1 2 3 4 P 5. 解：由全概率公式得2.2 0-1分布和二项分布习题1. 解：设A表示“10件中至少有两件一级品”,则P（A）=1=10.9983.2. 解: X 0 1 2 3 4 5 P 0.01024 0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.07776 3. 解：设A表示“4个灯泡中至少有3个能使用1500小时以上”,则P（A）=+=0.6517 4. 解：1）设A表示“恰有3粒种子发芽”,则 2）设B表示“至少有4粒种子发芽”,则0.9962.3 泊松分布习题1. 解：设A表示“一页上至多有一个印刷错误”,则2.解：1）设X表示5分钟内接到的电话个数，则2）设A表示“5分钟内至多接到3个电话”,则=0.8571或=(查表)1-0.1429=0.85713.解：1）设A表示“中午12时至下午3时没有急症病人”, 则 2）设B表示“中午12时至下午5时至少有2个急症病人”,则2.4 随机变量的分布函数习题1. 解：1）2. 解：X 0 1 2 3 4 5 P 0.01024 0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.07776 3. 解：X的分布律为 X -1 0 2 4 P 0.2 0.4 0.3 0.12.5 连续型随机变量习题1. 解：1） 2） 3） 2. 解：1）连续型随机变量的分布函数左连续，则 2） 3）3. 解：1） Y的概率分布为 Y 0 1 2 3 P 2）设B表示“对X的三次独立重复观测中事件A至多出现两次”,则 4.设最高洪水位为X,河堤至少要修c单位高,由题意得：2.6 均匀分布和指数分布习题1. 解：设A表示“3次独立观测中至少有两次观测值大于3”,则2. 解：有实根的条件：所求概率为 3. 解：1） 2）4. 解：设A表示“3只独立元件至少1只在最初200小时内出故障”,则.2.7 正态分布习题1. 2. 解： 3. 解：设X表示螺栓长度，则：4. 解： 设A表示“三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30cm”2.8 随机变量函数的分布习题1. 解：1）Y -3 2 5 6 P 2） Z 1 2 3 4 9 P 2. 解： , 当时，;当Y的密度函数为零.故Y的密度函数为第二章 随机变量及其分布复习题一 选择题1. B 2. B 3. C 4. D 5. C 二 填空题1. 0.592. 3. 4. 分布律：X -1 1 2 P 三 解答题1. 解: X的分布律为 X 1 2 3 4 P 2. 解: X的分布律为 3. 解:设X表示两次调整之间生产的合格品数,则X的分布律为 4. 解: X的概率分布为 设A表示“5道选择题至少答对两题”,则5. 解：1）一天中必须有油船转走意味着“X.3”(查泊松分布表)2) 设设备增加到一天能为y艘油船服务,才能使到达港口的90%的油船可以得到服务.则6. 解： 7. 设A表示“100个男子中与车门碰头人数不多于2个”.8. 解：(1) X的分布函数为 故Y的概率分布律为 Y -1 1 P 1/2 1/2 Y的分布函数为 第3章 多维随机变量及其分布习题参考答案3.1 二维离散型随机变量习题答案1. 解： 在有放回抽样情形下的可能取值为，则的联合分布律为，即的联合分布律为： 在不放回抽样的情形下 的可能取值为，则的联合分布律为 ， 即的联合分布律为： 2. 解： 由的联合分布律的性质：可知 ， 的可能取值为，则关于的边缘分布律为， 即 的可能取值为，则关于的边缘分布律为， 即 与不独立. 因为，由定理3.1可知与不独立. 3. 解：由题意知，则由与独立可知 ，. 即的联合分布律为 4. 解：关于的边缘分布律为 关于的边缘分布律为 由和相互独立，得 所以 ，.3.2 二维连续型随机变量习题答案1. 解： 由二维联合分布函数的性质得： 解三个方程得. 由二维联合密度函数的性质得：当时,. 关于的边缘分布函数为 ， 关于的边缘分布函数为 ， 2. 解： 由联合密度函数的规范性得： ，即 ，由定积分的知识得：，即 . 与相互独立.关于的边缘密度函数为 关于的边缘密度函数为 因为对一切实数成立，所以与相互独立.3. 解： 由联合密度函数的规范性得：, 即 . 关于的边缘密度函数为 因为对一切实数成立，所以与相互独立.4. 解：由题意知与的密度函数分别为 ， 由于与相互独立，则3.6 两个随机变量函数的分布习题答案1. 解为离散型随机变量，其可能的取值是，则 即的分布律 为离散型随机变量，其可能的取值是，则的分布律是 即的分布律 为离散型随机变量，其可能的取值是，则 即的分布律 为离散型随机变量，其可能的取值是，则的分布律是 即的分布律 2. 解：令，则的可能取值为，则的分布律是 即的分布律 3. 解：由题意知与的密度函数和分布函数分别为 ， 则的分布函数为 则的密度函数为 则的分布函数为 则的密度函数为 4. 解：由和相互独立可知 当时，; 当时，综上所述，的密度函数为 第3章 多维随机变量及其分布复习题答案1. 解：由和相互独立可知，; ，. 则和的联合概率分布为 .2. 解：由二维联合概率分布律及其性质可知： ，即 ， 则由随机事件与相互独立可得：, 即 可得：，再有式得：.3. 解：由题意可知的可能取值为，则的联合分布律为 即 4. 解：由题意知的密度函数为，的可能取值为，则的联合分布律为，即： 5. 解：由题意记区域的面积为,则，所以 关于的边缘密度函数为关于的边缘密度函数为 不独立. 因为当时.6. 解：关于的边缘密度函数为关于的边缘密度函数为4.14.2 数学期望习题答案1解： (1) = (2) (3+1)=3(X)1 (3) ()= 2解：(1) =Aarctanx|=Aarctan1arctan(1)=1(2) E(X)=dx=ln(1+)|=0 (2)随机变量X与Y相互独立， E(XY)E(X)E(Y)=4解：P(X=0)=0.3+a P(X=1)=0.3+b, P(Y=0)=0.2 P(Y=1)=0.2+b P(Y=2)=0.2+a 又由分布律的性质，得0.3+a+0.3+b=1,即a+b=0.4 a=0.15, b=0.25 4.3方差习题答案1解：设X表示在取得合格品以前已经取出的废品数，则X0，1，2，3。P（X0），P（X1）P（X2） P（X3）X0123P0+123=0+149=, 故=.2解：3证明：E()=0 D(X*)D()=14解：E()=, D()=.5 解：(z)= ，4.4-4.5 协方差与相关系数习题答案1 解：Cov(X,Y)= =0.456=12; D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 cov(X,Y)=25+36+24=85 D(XY)=D(X)+D(Y)2 cov(X,Y)=25+3624=372 解：(1) P(X+Y=3)=P(0,3)+P(1,2)P(2,1)=0.15+0.20+0.050.40 (2) X的边缘分布： PX=0=PX=0,Y=1+ PX=0,Y=2+ PX=0,Y=3=0.4 PX=1=PX=1,Y=1+ PX=1,Y=2+ PX=1,Y=3=0.4 PX=2=PX=2,Y=1+ PX=2,Y=2+ PX=2,Y=3=0.2即X012P0.40.40.2Y的边缘分布： PY=1=PX=0,Y=1+ PX=1,Y=1+ PX=2,Y=1=0.2 PY=2=PX=0,Y=2+ PX=1,Y=2+ PX=2,Y=2=0.5 PY=3=PX=0,Y=3+ PX=1,Y=3+ PX=2,Y=3=0.3即Y123P0.20.50.3(3)XY012346P0.400.100.250.100.100.05E(X)=0.4+0.4=0.8, E(Y)=0.2+1+0.9=2.1, E(XY)=0.1+0.5+0.3+0.40.3=1.6.Cov(X,Y)=E(XY)EXEY=1.61.68= 0.08E()=0.4+0.8=1.2, E()=0.2+2+2.7=4.9D(X)=E()E(X)2=1.20.64=0.56, D(Y)=E()E=4.94.41=0.49故X与Y的相关系数为： = 0.1527.(4) X与Y不是相互独立的。因为，所以X与Y线性相关，故X与Y必不相互独立。或者PX0,Y=1=0.05 ， PX=0=0.4 ， PY=1=0.2 PX=0PY=1PX0,Y=1 可以得知X与Y不相互独立。第四章 随机变量的数字特征复习题答案一 选择题B D B D C二 填空题 118.4 21 30.9 46三 计算题1.解: =+P( 1x3)= +=a+b+c=2解: E(Z)=E(X)+E(Y)=, Cov(X,Y)= =1,D(Z)=D(X)+D(Y)+cov(X,Y)=Cov(X,Z)= cov(X,+ )= D(X)+cov(X,Y)= 5.15.2 大数定律与中心极限定理习题答案1解:由切比雪夫不等式得:P(|XE(X)|1.645,故拒绝H0 ,认为新工艺下维生素C的含量比旧工艺下含量高.3. 解:由于总体方差未知，用T检验.已知=950，提出假设： 在成立的条件下，检验统计量 计算t值：.确定临界值：查表得=2.0639判断: 由 =-2.0639,故拒绝H0 ,认为在显著性水平下确定这批元件不合格.4. 根据题意,在机器工作正常时, 每罐标准重量为500克，标准差不超过15克.所以机器是否正常工作,要分两步检验.第一步,均值检验: 计算得提出假设： 在成立的条件下，检验统计量 计算t值：确定临界值：查表得=2.2622判断: 由 =|2.4777|2.2622,故接受H0 ,认为每罐标准重量为500克.第二步,方差检验:提出假设： 在成立的条件下，检验统计量 计算值： 确定临界值：查表得 =15.507判断: 由于 4.22215.507, 故接受H0 ,认为每罐重量标准差不超过15克.综合一二两步,故可认为机器工作正常.8.3 两个正态总体的假设检验习题答案1. 解: 由于两总体方差未知且相等，用T检验.计算得=7.18，,且= =8.提出假设：在成立的条件下，检验统计量计算值：确定临界值：查表得=2.1448判断: 由 =|0.243|2.1448,故接受H0 ,认为真丝绸和仿真丝绸的在平均拉伸能量上无差异.2. 解: 由于两总体方差未知且相等，用T检验.已知=13.8，,=提出假设： 在成立的条件下，检验统计量计算值： 确定临界值：查表得=1.7613判断: 由 =-1.7613,故拒绝H0 ,认为处理后材料强度明显提高.3. 解:(1) 检验两台机床的加工精度有无显著差异由于两总体均值未知，用F检验.计算得=19.925，,且.提出假设：在成立的条件下，检验统计量 计算值：确定临界值：查表得=5.70, =0.1953判断: 由0.19535.70,故接受H0 ,认为两台机床的加工精度无显著差异.(2) 检验两台机床加工的轴的平均直径有无显著差异由(1)可知两总体方差相等,故检验如下提出假设：在成立的条件下，检验统计量计算值：确定临界值：查表得=2.1604判断: 由 =|-0.8553|3.58,故拒绝H0 ,认为乙机床的产品直径的方差比甲机床小.第8章 假设检验复习题一 填空1.一;二;一. 2.小概率事件原理. 3. . 4.二,一. 5. 双边,左边,右边. 6. . 7. 方差. 8. .二 单项选择 1. A. 2. C. 3. C. 4. C.三 计算题1.解: 由于总体方差已知，用U检验.计算得=31.25.提出假设： 在成立的条件下，检验统计量 计算U值：确定临界值：查表得=1.96判断: 由|U|=|-2.7835|1.96,故拒绝H0 ,认为这批砖的平均抗断强度为32.50（kg/cm2）不成立.2.解: 由于总体方差未知，用T检验.已知=19.5，提出假设： 在成立的条件下，检验统计量 计算t值：确定临界值：查表得=1.8331判断: 由 =1.41421.8331,故接受H0 ,认为在显著性水平下处理后的废水符合标准.3.解: 由于总体方差未知，用T检验.计算得=67.2，=6.33859提出假设： 在成立的条件下，检验统计量 计算t值：确定临界值：查表得=2.2622判断: 由 =|-2.395|2.2622,故拒绝H0 ,认为患者的脉搏与正常人的脉搏有差异.4.解: 由于均值未知,用检验.计算得提出假设：在成立的条件下，检验统计量 计算值： 确定临界值：查表得=14.449, =1.237判断: 由 16.741114.449,故拒绝H0 , 不能认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为.5. 解:(1)先检验甲乙两批器件的电阻的方差是否相等.由于两总体均值未知，用F检验.计算得=0.14067，,且.提出假设：在成立的条件下，检验统计量 计算值：确定临界值：查表得=7.15, =0.1399判断: 由0.13997.15,故接受H0 ,认为甲乙两批器件的电阻的方差相等.(2) 检验甲乙两批器件的电阻的均值是否相等.由(1)可知两总体方差相等,故检验如下提出假设：在成立的条件下，检验统计量计算值：确定临界值：查表得=2.2281判断: 由 =|1.372|2.2281,故接受H0 ,认为甲乙两批器件的电阻的均值相等.综合(1)(2)步,故不能否认甲乙两批器件的电阻服从同一正态分布.6. 解:(1) 两种棉花所纺纱线的强力的方差是否相等.由于两总体均值未知，用F检验.计算得=1.52，,且.提出假设：在成立的条件下，检验统计量 计算值：确定临界值：查表得=5.12, =0.1754判断: 由0.17542.1604,故接受H0 ,认为两种棉花所纺纱线的强力的均值有显著性差异.第九章 方差分析与回归分析习题参考答案1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显著影响.（，）品种试验结果行和行均值A110713104010A2121315125213A38479287解：r=3, , T=120 , 计算统计值 方差分析表方差来源平方和自由度均方F值