Stolz定理的若干应用.doc

苏州科技学院毕业论文Stolz定理的若干应用 XXXX(XXXXXX大学 XXXXXX专业XXX级XX班)摘 要极限思想是许多科学领域的重要思想之一为了解决求极限的问题，本文介绍了计算极限的一种方法Stolz定理，并对Stolz定理的结论进行了推广本文先叙述有关Stolz定理的一些已知结论，然后通过实例说明Stolz定理及其推广的有关结论在极限求解中的应用Stolz定理可以说是数列的LHospital法则，它对求数列的极限很有用Stolz定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz定理可变得十分容易Stolz定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz定理的数列情形、函数情形关键词 Stolz定理；数列；函数；极限Some applications of Stolz theoremsZHANG Ran(Grade 2004 Class (2)Information and Computing ScienceCollege of Mathematics and PhysicsUniversity of Science and Technology of Suzhou)AbstractThe limit thought is one of many scientific field important thoughtsIn order to solve asks the limit the question，this article introduced the computation limits one methodStolz theorem，and has popularized the conclusion of Stolz theoremThis article first narrates related Stolz theorem some known conclusions，then in the limit solution through the example explained the application of the Stolz theorem and its popularized related conclusionThe Stolz theorem can be said to be sequence LHospital principle，it is very useful to asks the sequence the limitThe Stolz theorem can be popularized to the situation with the limit of function，some questions use the Stolz theorem to become very easyThe Stolz theorem is important theorem to prove the limit existence of the sequence and functionThis article has given the Stolz theorem the situation of sequence and the situation of functionKeywords Stolz theorem; sequence; function; limit目 录摘要 关键词Abstract Keywords1 引言 12 序列形式的Stolz定理 12.1 型Stolz公式 12.2 型Stolz公式 32.3 序列形式的Stolz定理应用 43 函数形式的Stolz定理 103.1 型Stolz公式 103.2 型Stolz公式133.3 函数形式的Stolz定理应用14结论 18致谢 19参考文献 2041 引言极限论是数学分析的基础，极限问题是数学分析中困难问题之一中心问题有两个：一是证明极限存在，二是求极限的值两问题有密切关系：若求出了极限的值，自然极限的存在也被证明反之，证明了存在性，常常也就为计算极限铺平了道路讲述极限论，通常先讲序列极限，然后讲函数极限两类极限，有平行的理论，类似的方法，彼此有着深刻的内在联系极限思想是许多科学领域的重要思想之一因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常局限，不仅计算量大，而且不一定能求出结果为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法本文介绍了计算极限的一种方法Stolz定理，并对Stolz定理的结论进行了推广，讨论如何利用Stolz定理计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想本文先叙述有关Stolz定理的一些已知结论，然后通过实例说明Stolz定理及其推广的有关结论在极限求解中的应用Stolz定理可以说是数列的LHospital法则，它对求数列的极限很有用Stolz定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz定理可变得十分容易Stolz定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz定理的数列情形、函数情形2 序列形式的Stolz定理2.1 型Stolz公式定理2.1 (型Stolz公式) 设严格递增(即有)，且若，则(其中为有限数，或)证 1(为有限数的情况)因为严格递增，所以，记 (1)按已知条件有，即，当时，有由(1)得 两边同时除以，再同时减去，得因为，故，使得时有于是所以2(的情况)因为，所以对，当时，即 时， (2)且有 所以当时，严格递增(2)式中令 ，然后相加，可得令，知，即于是 严格递增，且由1的结论得，故3(的情况)只要令即可转化为2中的情况注 ，一般推不出例如，这时虽然，但不趋向注 若，在Stolz定理中设，因为，所以因而Stolz定理是它的推广形式2.2 型Stolz公式 定理2.2 (型Stolz公式) 设时，严格0(严格单调下降趋向零)若，则(其中为有限数，或)证 1(为有限数的情况)因为时，严格0(严格单调下降趋向零)所以，按已知条件，可知，,当时，有即 可得 令，得 ，即所以2(的情况)因已知，所以对，当时，有推得令，得，即 故3(的情况)只要令即可转化为2中的情况注 Stolz定理只是给出了极限存在的充分条件，并非必要例如，虽然不存在，但是却有另外，定理2.1其名为型，其实只要求分母(严格单调上升趋向无穷大)，至于分子是否趋向无穷大，无关紧要定理2.2是名副其实的型因为定理要求分子、分母都以0为极限因此，Stolz定理为求某些待定型极限提供了一个有用的工具2.3 序列形式的Stolz定理应用Stolz定理，对于求序列的极限十分有用例1 应用Stolz定理求极限：(1) ；(2) 解 (1) 由Stolz定理，得(2) 因为，所以，由Stolz定理，得例2 设，证明：证 设，则，使得由于，故单调减因此，当时，有，可知令，对递推公式取极限，得即是单调减的无穷小量，利用Stolz定理例3 设数列收敛于，则当时，有证 由Stolz定理，有Stolz定理，必要时可以重复使用例4 设，其中，求解 由于单调增且发散于，由Stolz定理有时问题经过处理之后，方能应用Stolz定理例5 设试证：极限存在时，证 因，只须证明第一项趋于零为了利用，特令，则知，且于是所以例6 设，当时有极限；为单调增的正数数列，且证明：证 设由于，所以由Stolz定理，得例7 求解 先取对数，再求极限应用Stolz定理，得故例8 设数列，满足：，其中证明：证 显然成立设若，显然有若，则令，由知，是严格增加的正无穷大的数列，应用Stolz定理得所以，即例9 设为自然数，求下列各极限：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解 (1) 设，因为，所以单调增，且又于是，由Stolz定理得(2) 因为，现设，因为，所以单调增，且又故由Stolz定理得：当为自然数时(3) 设，则单调增，且又因为所以，由Stolz定理(4) 设，则由知，单调增，且又因为，所以注意仍为型，且满足Stolz定理条件可知故3 函数形式的Stolz定理为了求非导函数的待定式的极限，在Stloz定理的基础上，给出了Stloz定理的推广定理，并对定理进行了证明3.1 型Stolz公式定理3.1 (型) 若为常数，() ；() (当时)，且，在内闭有界(即指：，在上有界)；() 则(其中为有限数，或)证 1(为有限数的情况)按已知条件(当时)，及知，当时有， (1)记 (2)则在除以，减去，得由(1)式知 ，因为，按条件，在上有界，即，使得于是但(当时)，故，当时有所以 (3)故，总及，使得从而由(3)式知 即2(为的情况)因及，故，当时，从而，有由此两边同时除以，得注意到在上有界，而，所以，时，于是因，及，使得故即3(为的情况)可考虑即可转化为2中的情况3.2 型Stolz公式定理3.2 (型) 设T0，且() ；() ；() 则(其中为有限数，或)证 1(为有限数的情况)因为所以按已知条件，可知，当时，有对，由此可得因为，令，得即故2(为的情况)因，所以，当时，推得令，得，即故3(为的情况)可考虑即可转化为2中的情况3.3 函数形式的Stolz定理应用有些问题应用上述定理可变得十分容易如例1 (Cauchy定理) 若在内有定义，且内闭有界(即，在上有界)，则(1) ；(2) ，当右边极限存在时成立证 (1) 令，则，(取)，且又和在上内闭有界，故当存在时，可知存在，且有(2) 已知，令，则，(取)，且由于在上内闭有界，则在上也内闭有界又在上内闭有界，故当存在，从而也存在时，可知存在，且有例2 设在上有定义，内闭有界，(=有限数，或)则证(为，也成立)例3 设函数和在区间上满足 (1) ；(2) 、可导，且；(3) 则证 由条件(2)可知，以下验证和在上满足定理3.1(型)的条件(取) 1) 由条件(2)，利用Lagrange中值定理知，有，即，成立而由条件(1)，已成立2) 由条件(2)知，和在上连续，从而内闭有界3) 由条件(2)和(3)，利用Cauchy中值定理知，有，成立从而有由定理3.1(型)，得证在上述条件下成立结 论Stolz定理与LHospital法则是数学分析中处理“”型和“”型极限的两个重要工具，它们分别适用于变量为“离散的”和“连续的”情形Stolz定理实质上是已知数列与正无穷大数列的各自相邻两项增长率之比的极限，来求得的极限这与求函数极限时，已知的极限来求的极限(型)的情形(LHospital法则)有相似之处Stolz定理常用于分子或分母是某一和式的极限求法，应用该定理时，要注意验证定理各条件在同一题目中，只要定理条件满足，Stolz定理可连续使用对于可导函数来说“”型和“”型可以互相转化，LHospital法则是求待定式极限的一个有力工具，但是对非导函数而言，求待定式极限的值比较复杂Stolz定理可以说是数列的LHospital法则，它对求数列的极限很有用Stolz定理还可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz定理可变得十分容易，此定理为推广求非导函数的待定式的极限提供一种非常有效的方法因此，Stolz定理是求解证明数列和函数极限存在性的重要定理讨论Stolz定理在求解数列和函数极限问题中的应用是一件很有意义的工作，我们应掌握并灵活运用Stolz定理致 谢在本次毕业论文的撰写过程中xxx老师给予了我极大的帮助和支持在此，我谨对xxx老师的细心指导和帮助表示由衷的感谢!参 考 文 献1 江泽坚，吴智泉，周光亚数学分析北京：人民教育出版社，19782 常庚哲，史济怀数学分析教程南京：江苏教育出版社，19983 华东师范大学数学系数学分析北京：高等教育出版社，19864 孙本旺，汪浩数学分析中的典型例题和解题方法长沙：湖南科学技术出版社，19815 裴礼文数学分析中的典型问题与方法北京：高等教育出版社，20026 刘泽庆数学分析的典型方法与例题选讲大连：大连海事大学出版社，19977 李惜雯数学分析例题分析及难点注释(上册)西安：西安交通大学出版社，20048 赵显曾，黄安才数学分析中的方法与题解西安：陕西师范大学出版社，20059 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏数学分析学习指导书(上册)北京：高等教育出版社，200410 李成章，黄玉民数学分析上册(第二版)北京：科学出版社，200411 李克典，马云苓数学分析选讲夏门：夏门大学出版社，2006附录A 外文参考文献（译文）函数的极限4.1 定义 令和是度量空间，假设，将映入内且是的极限点凡是我们写当是，或 (1)的时候，就是存在一个点具有以下的性质：对于每个，存在着，使得 (2)对于满足 (3)的一切成立 记号和分别表示和中的距离如果和(或)换成实直线，复平面或某一欧氏空间，那么，距离和自然该换成绝对值或相应的范数应当注意，但是上面的定义中，并不一定要求是的点此外，即使，也完全可能我们还可以将这个定义用序列的极限改述为：4.2 定理 令，和是定义4.1说的那些，那么 (4)当且仅当 (5)对于中合于 ， (6)的每个序列成立证 假定(4)成立，取中满足(6)的给定了，那么就有，使得当且时，同样又有使得当时，这样，对于，我们有这就证明了(5)成立反过来，假定(4)不成立这时便有某个，使得对于每个，都有点(依赖于)，对这个来说，但取，我们就在中找到一个满足(6)，但使(5)式不成立的序列 推论 如果在有极限，那么这极限是唯一的这可以由定理3.2(b)及定理4.2推出来4.3 定义 设有定义在上的两个复数和，我们用表示一个函数，它给的每个点配置的数是我们用类似的方法定义两个函数的差，积及商，约定商只定义在的那些使的点上如果给的每点配置同一个数，那么就叫做一个常数函数，或简单地叫做一个常数，并记作设和都是实函数，如果对于每一个来说，那么有时为了简便，就记作类似地，如果和把映入内，便用，来定义及；再若是实数，便定义4.4 定理 假设，是度量空间，是的极限点，与是上的复函数，而且，那么(a) ，(b) ，(c) ，假定证 依照定义4.3，这些论断可以从序列的类似性质(定理3.3)直接推出来评注 如果如果与将映入内，那么(a)仍然成立，而(b)就要变为()(参看定理3.4)为了使我们能在广义实数系中作运算，我们用领域的说法把定义4.1重述一遍，借以扩大它的范围对于任一实数，我们已经定义了的领域就是任一开区间4.5 定义 对于任一实数，合于的实数的集叫做的一个领域，记作类似地，集是的一个领域4.6 定义 设是定义在上的实函数，与在广义实数系中如果对于的每个领域存在着的一个领域，使得不空，并且对一切，有我们说当时 稍一考虑即可看出，当和是实数时，这与定义4.1是一致的同定理4.4类似的定理仍然成立它的证明并没有什么新的东西为了完备起见，我们把它叙述出来4.7 定理 设与定义在上，假定当时，；那么(a) 则有，(b) ，(c) ，(d) 只要(b)，(c)，(d)的右端有定义注意，是没有定义的 附录B 外文参考文献（原文）Limits oF Functions4.1 Definition Let and be metric spaces；suppose ， maps into ，and is limit point of We write as ，or (1)if there is a point with the following property：For every there exists a such that (2)for all points for which (3) The symbols and refer to the distances in and ，respectivelyIf and/or are replaced by the real line，the complex plane，or by some euclidean space ，the distances ， are of course replaced by absolute values，or by norms of differencesIt should be noted that ，but that need not be a point of in the above definitionMoreover，even if ，we may very well have We can recast this definition in terms of limits of sequences：4.2 Theorem Let ，and be as in Definition 4.1Then (4)if and only if (5)for every sequence in such that ， (6)Proof Suppose (4) holdsChoose in satisfying (6)Let be givenThen there exists such that if and Also，there exists such that implies Thus，for ，we have ，whice show that (5) holdsConversely，suppose (4) is falseThen there exists some such that for every there exists a point (depending on )，for which but Taking ，we thus find a sequence in satisfying (6) for which (5) is false Corollary if has a limit at ，this limit is uniqueThis follows from Theorems 3.2(b) and 4.24.3 Definition Suppose we have two complex functions， and ，both defined on By we mean the the function which assigns to each point of the number Similary we define the difference ，the product ，and the quotient of the two functions，with the understanding that the quotient is defined only at those points of at which If assigns to each point of the same number ，then is said to be a constant function，or simply a constant，and we write If and are real function，and if for every ，we shall sometimes write ，for brevitySimilarly，if and map into ，we define and by，；And if is a real number，4.4 Theorem Suppose ，a metric space， is a limit point of ， and are complex functions on ，and，Then(a) ，(b) ，(c) ，if Proof In view of Theorem 4.3，these assertions follow immediately from the analogous properties of sequences (Theorem 3.3)Remark If and map into ，then (a) remains true，and (b) becomes ()(Compare Theorem 3.4)To enable us operate in the