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文档简介
平摆线与圆的渐开线 1 渐开线的定义 探究 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上 在绳的外端系上一支铅笔 将绳子拉紧 保持绳子与圆相切而逐渐展开 那么铅笔会画出一条曲线 这条曲线的形状怎样 能否求出它的轨迹方程 动点 笔尖 满足什么几何条件 我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线 相应的定圆叫做渐开线的基圆 几何画板演示 2 渐开线的参数方程 以基圆圆心o为原点 直线oa为x轴 建立平面直角坐标系 设基圆的半径为r 绳子外端m的坐标为 x y 显然 点m由角唯一确定 这就是圆的渐开线的参数方程 3 渐开线的参数方程 渐开线的应用 由于渐开线齿形的齿轮磨损少 传动平稳 制造安装较为方便 因此大多数齿轮采用这种齿形 设计加工这种齿轮 需要借助圆的渐开线方程 在机械工业中 广泛地使用齿轮传递动力 直齿 平行轴齿轮传动机构 圆柱齿轮传动机构 斜齿 齿轮齿条 内齿轮 交错轴齿轮传动机构 斜齿 蜗杆蜗轮 曲齿 人字齿 直齿 相交轴齿轮传动机构 圆锥齿轮传动机构 斜齿 曲线齿 准双曲面齿轮 4 摆线的定义 思考 p51 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记 那么自行车在笔直的道路上行使时 白色印记会画出什么样的曲线 同样地 我们先分析圆在滚动过程中 圆周上的这个动点满足的几何条件 我们把点m的轨迹叫做平摆线 简称摆线 又叫旋轮线 上述问题抽象成数学问题就是 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个定点的轨迹是什么 摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱 5 摆线的参数方程 根据点m满足的几何条件 我们取定直线为x轴 定点m滚动时落在定直线上的一个位置为原点 建立直角坐标系 设圆的半径为r 所以 摆线的参数方程为 6 摆线的参数方程 说明 摆线是研究一个动圆在一条曲线 基线 上滚动时 动圆上一点的轨迹 当基线是直线时 就得到平摆线 当基线是圆且动圆在定圆内滚动时 就得到内摆线 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时 若两圆外切 就得到外摆线
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