化归思想与方法.doc

2化归的基本思想数学家G伯利亚在怎样解题中说过：数学解题是命题的连续交换。可见，解题的过程是通过对问题的转化才完成的。化归思想方法是数学中较为一般和基本的数学思想方法。化归思想方法简称“化归”即转化归结的意思。它是把数学中有待解决或难解决的问题（问题A），通过某种转化或手段，归结到某个（或某些）已经解决或者比较容易解决的问题（问题B）且通过B的解决能够得到原问题A的解决用框图（图3）可直观的表示为：从图中就可以看出，化归思想方法包含着三个基本要素：化归对象；化归目标；化归策略。化归对象是对什么问题进行化归（原问题A），它是以往没有解决过的问题，具有繁难、生疏、抽象的特点，没有现成的公式、定理或解决方案；化归目标是要化归到何处(问题B)，它就是 “已经解决过的问题”或转化到“有现成解决方案的问题”；要把化归对象转化到化归目标上来，中间需要一定的数学方法和手段，这个实现转化的方法和手段，就是化归策略。例如：解方程5x-4=2x+11化归对象：5x-4=2x+11 x=? 化归目标是把一个复杂的方程化归为一个更为简单的方程3x=15 x=5 化归的策略就是运用了移项的方法。3寻找化归方向的指导思想化归思想是数学解题的基本思想，解决问题实际上就是把问题通过转化归结为可以解决的问题。为了更好的寻找化归的方向，下面介绍寻找化归方向常用的几种指导思想。3.1、简单化思想简单化是指将原问题中比较复杂的形式、关系结构，将其化归为比较简单的形式、关系结构。这里所说的简单不仅包括问题结构形式简单，还包括问题处理方式、方法上的简单。有些复杂的数学问题直接用常规的解法，解题的过程繁琐，通过对问题的深入观察和研究，将其化归为简单的问题。复杂问题简单化是数学解题中运用最普遍的思考方法，例、 计算分析：这个式子直接看无从下手。但是利用整体替换的方法，可将这个复杂的问题化归为简单的一元二次方程的求解。解:设=2+=2+即-2=0=-1(舍去) ，=2=23.2、和谐化思想和谐化思想就是当我们面临每一道数学题时，都要设法对问题的条件或结论进行变形，使其数或行的表现形式更加适当和均称各量之间配合得更加和谐，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律，以便和谐地利用已有的知识，经验或解题模式，顺利地解出原题例、已知 5sin=sin(2+).求证分析：从角的关系入手，首先考虑结论中的两个角是、而已知条件中的两个角可以用、来表示，然后再利用和差和正余弦公式即可证明：5sin=sin(2+)5sin(+)-=sin()+5sin(+)cos-5cos ()sin= sin()cos+ cos ()sin即 4sin()cos= cos ()sin 3.3、具体化思想具体化思想就是将抽象的问题向较具体的问题转化，以使其中的数量关系更易把握，例如我们可以将抽象的式用具体的形来表示，将抽象的语言描述用具体的形或式来表示，以使问题中的各种概念以及概念之间的相互关系具体明确例、四个不同颜色的小球，放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰好有一个空盒的放法共有几种。分析：把问题具体化，看作四个不同的小球分三堆，在把它看成3个元素占四个位置排列，分成1、1、2有种，排列数为，则有=144种3.4、规范化思想规范化思想是说将待解问题在形式上向该类问题的规范的形式化归，规范的形式是指已建立起来的数学模式，解题方式、方法。因为数学从某种意义来说是关于模式的科学。例、 解方程-+8=2分析：对于这样的形式首先要转化为规范的形式 来进行解题，化为规范形式为-2-8=0才可用根与系数的关系，得到=-2，=43.5、低层次化思想低层次化思想是说，解决数学问题时，应尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数问题，多元问题化为少元问题解决，这是因为低层问题比高层问题更直观