圆和圆的位置关系.doc

圆和圆的位置关系一、主要教学过程环节一 创设情境，引入课题教师：今天我们要学习圆和圆的位置关系。同学们能举出一些涉及圆和圆的位置关系的生活实例吗？学生举出了很多例子，例如：自行车的两个车轮、奥运五环、硬币的内圆与外圆教师：大家准备如何研究圆和圆的位置关系呢？学生1：做两个圆，看看能摆出哪些不同的位置关系。学生2：先画好一个圆，然后再做一个圆，移动这个圆，看看与前面那个圆有哪些不同的位置关系。教师：同学们是想亲自动手实验来研究圆和圆会有哪些位置关系。好，那大家就动手摆一摆、移一移、画一画、议一议，观察两个圆会有哪些位置关系。环节二 探索决定位置关系的关键因素学生各自动手摆出各种位置关系。教师要求通过小组合作交流、展示，完善两圆的各种位置关系，并让学生说出了所有位置关系。教师：决定不同位置关系的关键因素是什么呢？学生3：决定两圆位置关系的关键因素是公共点的个数。两个圆公共点的个数可能为0个、1个或2个。学生4：公共点为0个时可能出现两种情况，一个圆上的点都在另一个圆的外部，或有一个圆上的点都在另一个圆的内部。学生5：公共点个数为1时，也应分成两种情况。教师：大家分得很清楚。能给这些位置关系命名吗？学生说出外离、内含、外切、内切和相交等。教师：下面请同学们观察屏幕上的动画（课件：两圆的位置关系演示），看看都有哪些位置关系？有大家刚才发现的位置关系吗？教师演示了两个课件。一个是两圆半径保持不变，两圆的圆心距逐渐变小，再逐渐变大；另一个是保持两圆的圆心距不变，一个圆的半径也不变，另一个圆的半径逐渐变大，再逐渐变小。经过课件的观察，教师引导学生再次整理不同的位置关系，按照外离、外切、相交、内切、内含的顺序给出。环节三 探索用圆心距、半径间的关系描述两圆位置关系教师：由点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系的判定，大家想一想，圆和圆的位置关系是否也可由数量关系来判断？大家分组讨论一下。学生6人一组开展讨论。讨论后，教师让各组派代表说。在此基础上，教师总结得出：设两圆半径分别为R、r，圆心距为d。那么（1）dRr两圆外离；（2）d=Rr两圆外切；（3）RrdRr（Rr）两圆相交；（4）d=Rr（Rr）两圆内切；（5）0dRr（Rr）两圆内含。环节四 辨析教师：请大家思考如下问题：（1）为什么“外离”、“外切”对半径没有限制条件，而“相交”、“内切”、“内含”对半径有限制条件？（2）在“内切”和“内含”中，Rr指的是什么？（3）为什么“相交”有R=r的条件？而“内切”、“内含”没有？（4）“内含”时为什么要添上d0？d=0是什么含义？学生的回答比较混乱，道理说不清楚。由此可以看出，学生并没有掌握用两圆的半径、圆心距刻画两圆位置关系的方法。环节五 练习巩固例1 已知O1，O2的半径为，圆心距，=2。（1）如果O1与O2外切，求；（2）如果=7，那么O1与O2有怎样的位置关系？（3）如果=4，O1与O2又有怎样的位置关系？这是一道课本例题。教师采取让学生先动手解决，再让学生说答案的方式进行教学。因为可以套用前面的结论，所以比较顺利地完成本例的教学。但也有学生采用作图的方法，由此可以判断，这部分学生并没有掌握量化的方法。例2根据条件填写下表：两圆位置关系Rrd外离93外切610相交74内切73内含54这是教师补充的题目。仍然采用学生先做、再全班交流的方式进行教学。观察学生的解答，发现很多学生出现不全面的回答，全班交流时也一样：学生6：内切时R=10，因为107=3。教师：“对吗？”很多学生回答“对”。学生7：我觉得还有一种情况，R=4，因为74=3。教师：大家同意吗？为什么会出现两种情况呢？学生7：R可能比7大，也可能比7小。教师：对！我再问一个问题：如果r=2，d=3，R应该是多少呢？学生8：只能为5。因为5与2的差是3，而2比3小，不可能是两圆中大的圆。教师：很好！能否结合图形来说明呢？学生8：画一条长为3的线段。以一个端点为圆心，2为半径画圆，另一个端点在圆外。所以，半径为2的圆不可能在另一个圆的外部，也就不可能是大圆。教师：对！利用数量关系判断时，如果再结合图形来思考，理解会更加深刻。数形结合是一种重要的数学思想。环节六 课堂小结教师：今天我们学习了两圆的位置关系。请同学生思考一下，通过学习，你有哪些收获？除列出知识点，学生还给出了一些宏观的回答，如：要注意应用数形结合的思想，要注意分类讨论，要注意联系实际等等。教师：同学们说得都很好。回顾本课的学习过程，我们先从实际中发现两圆的各种位置关系；然后通过动手操作，对两圆的各种位置关系有了感性认识；通过理性思考，发现了两圆的位置关系取决于它们公共点的个数；从我们的课件演示中可以感受到，变化的过程中两圆半径和圆心距的变化；在此基础上我们得到了用圆心距、两圆半径的大小刻画两圆各种位置关系的方法。正如同学们说到的，解决问题时，要注意运用数形结合、分类讨论的数学思想。环节七 布置作业略。二、问题分析应当说，从一般的教育、心理的观点看，任课教师的表现是可以的。她有很强烈的实践课改新理念的愿望，课堂教学环节非常完整，注意数学与现实生活的联系，想方设法引发学生的兴趣，注重发挥学生的学习积极性，安排学生动手操作、观察、小组合作、师生交流互动等多种学习方式，不把自己的意志强加给学生，总是想法通过问题启发学生思考，恰时恰点地使用了信息技术，教学语言也比较简练，板书也做到了重点突出、线索清晰，为课堂总结打下了较好的基础。但是，如果从“构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”的角度看，本课还有很大的改进余地。面对一个新的研究对象，如何发现和提出值得研究的问题，从哪些角度提出问题，按照怎样的线索、用什么方法研究问题等等，这些因素在本堂课中体现得不够。下面我们来具体讨论几个问题。1本课的教学起点在哪里关于课堂的起点，时下流行的是“情景引入”，往往展示一些现实情景，并要求学生举出生活实例，然后从中抽象出研究的对象。本课也不例外。这样的做法，许多时候是可行的，但并不全面。对“从现实引入”的更全面认识，应从数学知识的发生发展过程需要来考虑，这个“现实”既可以是“生活的现实”，也可以是“数学的现实”。这里，“数学的现实”是在数学知识发展过程中自然而然地提出的问题。随着数学学习的不断深入，学习内容的抽象程度不断提高，更应强调从数学知识发展的逻辑必然性中提出问题。就本课而言，学生从小学就开始接触圆，对它的感性认识非常丰富；前面已经研究了圆的许多性质，对它的理性认识也达到一定水平。特别是，学生已经学过“点与圆的位置关系”、“直线与圆的位置关系”。“圆与圆的位置关系”与它们是“同质”的，而且这三种位置关系的刻画方法完全是一脉相承的，只是复杂程度更高而已。因此，本课的起点，不应是“现实生活中圆与圆的位置关系”，而应是“数学的现实”。具体的，可从如下问题开始：问题一：前面我们研究过“点与圆的位置关系”、“直线与圆的位置关系”。在与圆相关的“位置关系”上，你认为还可以研究什么？问题二：都是研究“与圆相关的位置关系”，所以在研究的过程和方法上，必然有可借鉴的地方。你能回忆一下我们是如何研究前两种位置关系的吗？问题三：你认为我们可以怎样研究圆与圆的位置关系？2本课的重点是什么前已述及，平面几何的学科特点决定了它的学习重点应是几何直观和逻辑推理。显然，“几何直观”就需要充分发挥图形的直观功能，逐步使学生学会“看图思考”、“看图说话”，能从图形中看出门道几何位置关系；而逻辑推理则必须讲究逻辑的起点、过程和结果（前因后果），以及推理的方法和概念的逻辑关系，使学生学会按逻辑关系“有序思考”。如何才能实现这样的目的呢？这就要靠平时注重平面几何的“基本套路”的教学。本质上看，就是数学地认识问题、解决问题的方法的教学。就本课而言，大思路上，前面两种位置关系的研究已经奠定了可以一以贯之的思想方法，即：（1）从定性到定量的过程；（2）定性研究中，发挥图形的直观功能，可以容易地得到位置关系的定性描述；（3）定量研究中，与确定圆的几何要素（圆心、半径）相联系，借助半径与“距离”（点到圆心的距离、直线到圆心的距离）的大小比较，获得定量刻画。因此，研究两个圆的位置关系，可以引导学生按照如下思路展开：定性刻画 先类比点与圆、直线与圆的位置关系的研究方法，借助图形直观，确定圆与圆的相离、外切、相交、内切、内含等五种关系。具体教学时，可以采用前面课例中老师给出的课件。要注意，两种直观方法，一种是“圆心的运动”，另一种是“半径的增加”，其中也有“本质的追究”和“有序的变化”的讲究，由此得到的判定方法都是看“公共点的个数”。不过，0个、1个时都要进一步区分两种情况。定量刻画 再通过问题“在定量刻画点与圆、直线与圆的位置关系时，我们用了怎样的数量关系？”“你能总结一下其中的思想方法吗？”，引导学生回顾定量刻画点与圆、直线与圆的位置关系的思想方法，让学生在“与圆心和半径相联系，借助半径与距离的大小比较进行定量刻画”的思想指导下，结合定性刻画的过程，确定“距离”是“圆心距”，“半径”是“两圆半径的和或差”，把“定性刻画”转化为“数量表示”，从而得到相应的定量刻画表达式。这里，每一种数量关系（不等式）都对应了唯一的位置关系，因此定量刻画是更精细、更准确的。反观前面的课例，在环节二中，教师提出的问题“决定不同位置关系的关键因素是什么呢？”没有体现定性刻画点与圆、直线与圆的位置关系的奠基作用，导致学生的思考“一切从头开始”；在学生以“公共点的个数”为标准作出分类后，也没有追问“你是怎么得到的？”从而失去了思考方法教学的机会；虽然教师采用信息技术予以几何直观，但只问了“看看都有哪些位置关系？有大家刚才发现的位置关系吗？”而没有提示学生注意运动的过程及其本质的追究，导致学生的观察活动表面化。在环节三中，问题“由点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系的判定，大家想一想，圆和圆的位置关系是否也可由数量关系来判断？”虽有类比点和圆、直线和圆位置关系的提示，但“数量关系”太笼统，并没有使学生从类比中明确“用确定圆的要素来刻画两个几何图形位置关系”这一核心思想，因此类比的目的性不强、作用不大。同时，教师在教学中并没有引导学生充分利用定性刻画的结果，没有把“定量刻画”处理成“定性刻画”的数量表示过程。其结果是，学生没有建立起三种位置关系的内在联系，判定圆与圆的位置关系的“标准”模糊不清，学生的讨论杂乱无章，思考的过程是无序的，所获的结论也不是一以贯之的，在学生头脑中仍然没有形成三种位置关系的结构，所以不仅使知识的理解和记忆发生困难，而且从根本上说，是认识问题、解决问题的方法没有得到锻炼，“学会思考”也就大打折扣了，在后面例题教学中出现“丢三落四”的情况是必然的。3本课的难点在哪里，如何突破在前述课例中，教师没有对本课的难点、成因及突破难点的方法作出分析，课堂教学中也没有进行认真处理，而是采取了“告诉”的办法，因此学生虽然知道了五种位置关系对应的量化表示，但他们却不知道是怎么得到的。虽然教师在接着的“辨析”过程中，提出了四个思考题，但学生回答起来很吃力。实际上，这些问题并不是学生在自己的思考过程中自然产生的，他们并不知道老师为什么要问这些问题，因此给出的回答也是既费时又费力，效果很不理想。实际上，研究三种位置关系的思想方法虽然是一脉相承的，但圆与圆的位置关系比点与圆、直线与圆的位置关系复杂得多，因此学习的困难也更大。笔者的课堂观察发现，学生对圆与圆位置关系的定性刻画普遍没有困难；除了“借助圆的几何要素刻画两圆的位置关系”这一思想方法上的难点外，对于“相离”、“外切”和“内切”的定量刻画，在理解了思想方法后也不是难点；难点出在“相交”、“内含”的定量刻画。前已述及，思想方法的突破需要通过概括点与圆、直线与圆的位置关系的定量刻画，把方法提升到“与确定几何对象的要素联系起来（更本质的，就是与基本概念相联系），借助几何要素的数量关系刻画位置关系”。而突破“相交”、“内含”这两个难点，则要体现“定性刻画”的数量化表示的思想，采取“利用极端位置”先易后难的策略，先得到“外切”时圆心距等于两圆半径之和、“内切”时圆心距等于两圆半径之差的绝对值，然后再给出“相交”、“内含”的定量刻画。三、总结总之，按照“构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”的要求，“圆与圆的位置关系”一课应抓住如下几点：1从定性分析到定量刻画。我们对事物的研究，一般都要经历这样的过程。这是一个由表及里、由浅入深、精益求精、直至根本的自然过程。2将点与圆、直线与圆的位置关系的刻画方法“一般化”，获得“利用两个几何图形的要素，确定它们之间的位置关系”的普适性思想方法，并用于研究圆与圆的位置关系。3利用极端位置，采取“先易后难”的策略，先搞定“外切”和“内切”的定量刻画，再突破