江苏省镇江中学高二数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省镇江中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每空5分，共70分）1若集合a=x|2x3，b=x|x1或x4，则集合ab=2函数y=的定义域是3已知指数函数f（x）=（a1）x在r上单调递减，则实数a的取值范围是4已知函数f（12x）=4x2+2x，则f（3）=5已知函数y=loga（x+3）（a0，a1）的图象恒过定点a，则a的坐标是6若二次函数f（x）=x2axa1在1，+）上单调递增，则a的取值范围为7已知函f（x）=，则f（f（）=8计算： =9已知a=0.40.5，b=0.50.5，c=log0.22，将a，b，c这三个数按从小到大的顺序排列（用“”连接）10函数f（x）=（x+1）（xa）是偶函数，则f（2）=11若函数f（x）=loga（4ax）在区间1，2上单调递减，则a的范围为12若函数f（x）同时满足：对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（x）=0；对于定义域上的任意x1，x2，当x1x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”给出下列四个函数中：（1）f（x）=（2）f（x）=x2（3）f（x）=（4）f（x）=，能被称为“理想函数”的有（填相应的序号）13设已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足mn，且f（m）=f（n），若f（x）在区间m，n2上的最大值为4，则n+m=14函数fm（x）的定义域为r，且定义如下：（其中m是非空实数集）若非空实数集a，b满足ab=，则函数g（x）=fab（x）+fa（x）fb（x）的值域为二.解答题（共6小题，共90分）15画出下列函数的图象，（用虚线保留作图痕迹），并根据图象写出函数的单调区间：（1）f（x）=log2（x+1）（2）f（x）=x22|x|316已知函数f（x）=log2（x+1）的定义域为集合a，集合b=x|ax10，an*，集合c=y|y=，xa（1）求集合c；（2）若c（ab），求a的值17函数f（x）是定义域为r的单调增函数，且f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=log2（1+x）（1）求f（x）的解析式；（2）解关于t的不等式f（t22t）+f（2t25）018某跨国饮料公司对全世界所有人均gdp（即人均纯收入）在0.58千美元的地区销售，该公司在对m饮料的销售情况的调查中发现：人均gdp处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减（1）下列几个模拟函数中（x表示人均gdp，单位：千美元；y表示年人均m饮料的销量，单位：升），用哪个来描述人均饮料销量与地区的人均gdp的关系更合适？说明理由；（a）f（x）=ax2+bx（b）f（x）=logax+b（c）f（x）=ax+b（2）若人均gdp为2千美元时，年人均m饮料的销量为6升；人均gdp为4千美元时，年人均m饮料的销量为8升；把你所选的模拟函数求出来；（3）因为m饮料在n国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件影响，m饮料在人均gdp不高于3千美元的地区销量下降5%，不低于5千美元的地区销量下降5%，其他地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求在0.58千美元的地区中，年人均m饮料的销量最多为多少？19已知函数f（x）=|x|+1（x0）（1）当m=2时，判断f（x）在（，0）的单调性，并用定义证明（2）若对任意xr，不等式 f（2x）0恒成立，求m的取值范围；（3）讨论f（x）零点的个数20一般地，若f（x）的定义域为a，b，值域为ka，kb，（ab），则称a，b为函数f（x）的“k倍保值区间”特别地，若f（x）的定义域为a，b，值域也为a，b，（ab），则称a，b为函数f（x）的“保值区间”（1）若1，b为g（x）=的保值区间，求常数b的值；（2）问是否存在常数a，b（a2）使函数h（x）=的保值区间为a，b？若存在，求出a，b的值，否则，请说明理由（3）求函数p（x）=x2+的2倍保值区间a，b2015-2016学年江苏省镇江中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每空5分，共70分）1若集合a=x|2x3，b=x|x1或x4，则集合ab=x|2x1【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】直接利用交集运算得答案【解答】解：a=x|2x3，b=x|x1或x4，则集合ab=x|2x3x|x1或x4=x|2x1故答案为：x|2x1【点评】本题考查了交集及其运算，是基础的概念题2函数y=的定义域是1，+）【考点】函数的定义域及其求法【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】由log2（4x3）0，利用对数函数的单调性即可得出【解答】解：由log2（4x3）0，4x31，解得x1函数y=的定义域是1，+）故答案为：1，+）【点评】本题考查了对数函数的单调性、根式函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题3已知指数函数f（x）=（a1）x在r上单调递减，则实数a的取值范围是（1，2）【考点】指数函数的单调性与特殊点【专题】函数的性质及应用【分析】对于指数函数y=ax（a0且a1），当a1时，单调递增；当0a1时，单调递减，由此可解【解答】解：因为指数函数f（x）=（a1）x在r上单调递减，所以有0a11，解得1a2故答案为：（1，2）【点评】本题考查指数函数的单调性，对于指数函数y=ax（a0且a1），其单调性受a的范围的影响4已知函数f（12x）=4x2+2x，则f（3）=2【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可【解答】解：函数f（12x）=4x2+2x，则f（3）=f（12（1）=42=2故答案为：2【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力5已知函数y=loga（x+3）（a0，a1）的图象恒过定点a，则a的坐标是【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】由loga1=0，知x+3=1，求出x，y，由此能求出点p的坐标【解答】解：loga1=0，x+3=1，即x=2时，y=，点p的坐标是p故答案为：【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错6若二次函数f（x）=x2axa1在1，+）上单调递增，则a的取值范围为a2【考点】二次函数的性质【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】若二次函数f（x）=x2axa1在1，+）上单调递增，则1，解得答案【解答】解：二次函数f（x）=x2axa1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，若二次函数f（x）=x2axa1在1，+）上单调递增，则1，即a2，故答案为：a2【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键7已知函f（x）=，则f（f（）=【考点】分段函数的应用；函数的值；对数的运算性质【专题】函数的性质及应用【分析】利用分段函数直接进行求值即可【解答】解：由分段函数可知f（）=，f（f（）=f（2）=故答案为：【点评】本题主要考查分段函数求值，比较基础8计算： =11【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值【专题】计算题【分析】利用对数的运算法则、对数恒等式、指数幂的运算法则即可得出【解答】解：原式=3+=3+4+22=11故答案为：11【点评】本题考查了对数的运算法则、对数恒等式、指数幂的运算法则，属于基础题9已知a=0.40.5，b=0.50.5，c=log0.22，将a，b，c这三个数按从小到大的顺序排列cba（用“”连接）【考点】对数值大小的比较【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数y=x0.5在（0，+）单调递增判断，和中间变量0，判断【解答】解：y=x0.5在（0，+）单调递增，00.40.50.50.5，0ab，c=log0.220cba故答案为：cba【点评】本题考查了幂函数的单调性，对数的性质，属于容易题10函数f（x）=（x+1）（xa）是偶函数，则f（2）=3【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；综合法；函数的性质及应用【分析】由题意可得，f（x）=f（x）对于任意的x都成立，代入整理可得（a4）x=0对于任意的x都成立，从而可求a，即可求出f（2）【解答】解：f（x）=（x+1）（xa）为偶函数f（x）=f（x）对于任意的x都成立即（x+1）（xa）=（x+1）（xa）x2+（a1）xa=x2+（1a）xa（a1）x=0a=1，f（2）=（2+1）（21）=3故答案为：3【点评】本题主要考查了偶函数的定义的应用，属于基础试题11若函数f（x）=loga（4ax）在区间1，2上单调递减，则a的范围为（1，2）【考点】复合函数的单调性【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用【分析】由对数式的底数大于0可得内函数t=4ax为减函数，结合复合函数的单调性可得a1，求出内函数在1，2上的最小值，再由最小值大于0求得a的范围，取交集得答案【解答】解：a0，函数t=4ax为减函数，要使函数f（x）=loga（4ax）在区间1，2上单调递减，则外函数y=logat为定义域内的增函数，a1，又内函数t=4ax为减函数，内函数t=4ax在1，2上的最小值为42a由42a0，得a2a的范围为（1，2）故答案为：（1，2）【点评】本题考查与对数函数有关的复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题12若函数f（x）同时满足：对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（x）=0；对于定义域上的任意x1，x2，当x1x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”给出下列四个函数中：（1）f（x）=（2）f（x）=x2（3）f（x）=（4）f（x）=，能被称为“理想函数”的有（4）（填相应的序号）【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【专题】证明题；新定义【分析】先理解已知两条性质反映的函数性质，f（x）为奇函数，f（x）为定义域上的单调减函数，由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可【解答】解：依题意，性质反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，（1）f（x）= 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（，0），（0，+），故排除（1）；（2）f（x）=x2 为定义域上的偶函数，排除（2）；（3）f（x）=1，定义域为r，由于y=2x+1在r上为增函数，故函数f（x）为r上的增函数，排除（3）；（4）f（x）=的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故（4）为理想函数故答案为 （4）【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法13设已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足mn，且f（m）=f（n），若f（x）在区间m，n2上的最大值为4，则n+m=【考点】函数的最值及其几何意义【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由题意可知log2m=log2n，从而可得mn=1；从而解得【解答】解：y=log2x在其定义域上单调递增，又f（x）=|log2x|，且mn，f（m）=f（n），log2m=log2n，mn=1；f（x）在区间m，n2上的最大值为4，2log2n=4，故n=4，m=，n+m=；故答案为：【点评】本题考查了对数函数的性质应用及绝对值函数的应用14函数fm（x）的定义域为r，且定义如下：（其中m是非空实数集）若非空实数集a，b满足ab=，则函数g（x）=fab（x）+fa（x）fb（x）的值域为0【考点】函数的值域【专题】新定义【分析】对g（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到g（x）的值域【解答】解：当xa时，xb，但x（ab），f（ab）（x）=1，fa（x）=1，fb（x）=1，g（x）=fab（x）+fa（x）fb（x）fb（x）=1+1（1）=0；当xb时，xa，但x（ab），f（ab）（x）=1，fa（x）=1，fb（x）=1，g（x）=fab（x）+fa（x）fb（x）=1+（1）1=0；综上，g（x）的值域是0故答案为：0【点评】本题主要考查了函数的值域、分段函数，解题的关键是对于新定义的函数fm（x）的正确理解，是新定义题目二.解答题（共6小题，共90分）15画出下列函数的图象，（用虚线保留作图痕迹），并根据图象写出函数的单调区间：（1）f（x）=log2（x+1）（2）f（x）=x22|x|3【考点】函数的图象；函数单调性的性质【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用【分析】（1）作函数y=log2x的图象，向左平移1个单位即可，从而写出单调区间；（2）作函数f（x）=x22|x|3的图象，从而写出单调区间【解答】解：（1）作函数y=log2x的图象，向左平移1个单位即可，如下图；，f（x）=log2（x+1）的单调递增区间 （1，+）；（2）作函数f（x）=x22|x|3的图象如下，故函数的单调递增区间 （1，0）和（1，+），单调递减区间 （，1）和（0，1）【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，同时考查了图象的变换16已知函数f（x）=log2（x+1）的定义域为集合a，集合b=x|ax10，an*，集合c=y|y=，xa（1）求集合c；（2）若c（ab），求a的值【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合【分析】（1）由f（x）=log2（x+1）的定义域为集合a，求出a的集合，由集合b=x|ax10，an*，求出b的集合，然后再由指数函数的性质求出集合c（2）由集合a，集合b求出ab，再由c（ab），即可得到a的值【解答】解：由函数f（x）=log2（x+1）的定义域为集合a，得a=（1，+），集合b=x|ax10，an*=x|，（1）集合c=y|y=，xa，在（1，+）上单调递减，则，则 c=；（2）由于an*，b=，则，由c（ab），得a2即a=1或2【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合的包含关系判断及应用，是基础题17函数f（x）是定义域为r的单调增函数，且f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=log2（1+x）（1）求f（x）的解析式；（2）解关于t的不等式f（t22t）+f（2t25）0【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】（1）根据函数奇偶性的性质进行求解即可（2）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可【解答】解：（1）当x0时，x0，f（x）=f（x）=log2（1x），当x=0时，由于f（x）为奇函数，f（x）=0综上，（少了x=0的情况得5分）（2）f（t22t）+f（2t25）0f（t22t）f（2t25），由于f（x）为奇函数，则f（t22t）f（5t2），由于f（x）在r上单调递增，则t22t52t23t22t50【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键18某跨国饮料公司对全世界所有人均gdp（即人均纯收入）在0.58千美元的地区销售，该公司在对m饮料的销售情况的调查中发现：人均gdp处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减（1）下列几个模拟函数中（x表示人均gdp，单位：千美元；y表示年人均m饮料的销量，单位：升），用哪个来描述人均饮料销量与地区的人均gdp的关系更合适？说明理由；（a）f（x）=ax2+bx（b）f（x）=logax+b（c）f（x）=ax+b（2）若人均gdp为2千美元时，年人均m饮料的销量为6升；人均gdp为4千美元时，年人均m饮料的销量为8升；把你所选的模拟函数求出来；（3）因为m饮料在n国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件影响，m饮料在人均gdp不高于3千美元的地区销量下降5%，不低于5千美元的地区销量下降5%，其他地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求在0.58千美元的地区中，年人均m饮料的销量最多为多少？【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）考虑到a，b，c，d四个函数中只有a符合题意，因为b，c，d三个函数是单调函数（2）用待定系数法求出a的解析式可得（3）根据题中人均gdp的要求范围把x的取值分成三段，分别求出每一段的最大值，并比较去最大即可【解答】解：（1）由于（b）、（c）、（d）三个函数，在0.5，8上均为单调函数，而（a）为二次函数，不单调，故（a）更适合（2）由题意a=，b=4则，x0.5，8（3）设受事件影响后，各地区m饮料销售量为g（x），则当x0.5，3时，y= （x4）2+8，在x0.5，3上递增，所以ymax=当x5，8时，y= （x4）2+8，在x5，8上递减，所以ymax=当x（3，5）时，y= （x4）2+8，4（3，5），所以ymax=比较大小得：当x=4时，ymax=答：当人均gdp在4千美元的地区，人均a饮料的销量最多为【点评】考查学生会根据实际问题选择函数类型，会用不同的自变量取值求二次函数的最值及比较出最值19已知函数f（x）=|x|+1（x0）（1）当m=2时，判断f（x）在（，0）的单调性，并用定义证明（2）若对任意xr，不等式 f（2x）0恒成立，求m的取值范围；（3）讨论f（x）零点的个数【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性【专题】函数的性质及应用【分析】（1）当m=2时，利用函数单调性的定义即可判断f（x）在（，0）的单调性，并用定义证明（2）利用参数分离法将不等式 f（2x）0恒成立，进行转化，求m的取值范围；（3）根据函数的单调性和最值，即可得到结论【解答】解：（1）当m=2，且x0时，是单调递减的证明：设x1x20，则=又x1x20，所以x2x10，x1x20，所以所以f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），故当m=2时，在（，0）上单调递减的（2）由f（2x）0得，变形为（2x）22x+m0，即m2x（2x）2而，当即x=1时，所以（3）由f（x）=0可得x|x|x+m=0（x0），变为m=x|x|+x（x0）令作y=g（x）的图象及直线y=m，由图象可得：当或