山东省临沂市高三数学下学期第二次模拟试卷 理（含解析）.doc

2015年山东省临沂市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m的值为（）a2b2cd2设集合m=x|x24x+30，n=x|log2x1，则mn=（）a1，2b1，2）c0，3d（0，33若ab0，则下列结论中正确的是（）aa2b2babb2c（）a（）bd+24已知f（x）=f（x）x是偶函数，且f（2）=1，则f（2）=（）a4b2c3d45执行如图的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）a（9，10）b（12，13）c（13，14）d（13，12）6已知f（x）=exx，命题p：xr，f（x）（0），则（）ap是真命题，p：x0r，f（x0）0bp是真命题，p：x0r，f（x0）0cp是假命题，p：x0r，f（x0）0dp是假命题，p：x0r，f（x0）07若f（x）=sin（2x+），则“f（x）的图象关于x=对称”是“=”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件8已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=lnx+x，若f（a）=g（b）=h（c）=0，则（）acbabbcacabcdacb9设平面区域d是由双曲线y2=1的两条渐近线和抛物线y2=8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）d，则的取值范围是（）a1，b1，1c0，d0，10若对于定义在r上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数（r）使得f（x+）+f（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“特征函数”下列结论中正确的个数为（）f（x）=0是常数函数中唯一的“特征函数”；f（x）=2x+1不是“特征函数”；“特征函数”至少有一个零点；f（x）=ex是一个“特征函数”a1b2c3d4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11已知向量与满足|=2，|=，（），则与的夹角为12某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有种13直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于a，b两点（其中a，b是实数），且aob是直角三角形（o是坐标原点），则点p（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为14已知f（n）=sin（nx）dx，若对于r，f（1）+f（2）+f（n）|x+3|+|x1|恒成立，则正整数n的最大值为15已知点a，b，c，d均在球o的球面上，ab=bc=1，ac=，若三棱锥dabc体积的最大值是，则球o的表面积为三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=2cosxsin（x+）（i）求f（x）的最小正周期；（）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若f（c）=1，sinb=2sina，且abc的面积为2，求c的值17某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是0，100，样本数据分组为0，20），20，40），40，60），60，80），80，100（i）求直方图中x的值；（）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为x，求x的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）18一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面abcd为一个矩形，其中ab=6，ad=4，顶部线段ef平面abcd，棱ea=ed=fb=fc=6，二面角fbca的余弦值为设m，n分别是ad，bc的中点（i）证明：平面efnm平面abcd；（）求直线bf与平面efcd所成角的正弦值19已知an满足2nan+1=（n+1）an（nn*），且a1，1，4a3成等差数列（i）求数列an的通项公式；（）若数列an满足bn=sin（an），sn为数列bn的前n项和，求证：对任意nn*，sn2+20已知函数f（x）=a（x1）2+lnx+1（）当a=时，求函数f（x）的极值；（）当x1，+）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围21已知椭圆c的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（i）求椭圆c的方程；（）直线x=2与椭圆交于p，q两点，p点位于第一象限，a，b是椭圆上位于直线x=2两侧的动点（i）若直线ab的斜率为，求四边形apbq面积的最大值；（ii）当点a，b运动时，满足apq=bpq，问直线ab的斜率是否为定值，请说明理由2015年山东省临沂市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m的值为（）a2b2cd考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 化简复数为a+bi的形式，利用复数的基本概念，列出方程求解即可解答： 解：依题意由复数为纯虚数可知，且，求得m=2故选：a点评： 本题主要考查复数的基本概念与复数的运算解题的关键是利用复数运算法则进行复数的乘法、除法运算，求解时注意理解纯虚数的概念2设集合m=x|x24x+30，n=x|log2x1，则mn=（）a1，2b1，2）c0，3d（0，3考点： 并集及其运算专题： 集合分析： 求出m，n的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可解答： 解：m=x|x24x+30=x|1x3，n=x|log2x1=x|0x2，则mn=x|0x3，故选：d点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础3若ab0，则下列结论中正确的是（）aa2b2babb2c（）a（）bd+2考点： 不等式比较大小专题： 不等式的解法及应用分析： 利用不等式的性质、函数的单调性即可判断出解答： 解：ab0，a2b2，abb2，=2因此只有d正确故选：d点评： 本题考查了不等式的性质、函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4已知f（x）=f（x）x是偶函数，且f（2）=1，则f（2）=（）a4b2c3d4考点： 函数奇偶性的性质；函数的值专题： 函数的性质及应用分析： 直接利用函数的奇偶性化简求解即可解答： 解：f（x）=f（x）x是偶函数，且f（2）=1，f（2）=f（2）2=1则f（2）=f（2）+2=1，f（2）=3故选：c点评： 本题考查函数的奇偶性，函数值的求法，考查计算能力5执行如图的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）a（9，10）b（12，13）c（13，14）d（13，12）考点： 程序框图专题： 图表型；算法和程序框图分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，n的值，当n=4时不满足条件n4，退出循环，输出数对（9，10）解答： 解：模拟执行程序框图，可得x=7，y=6n=1满足条件n4，x=7，y=8，n=2满足条件n4，x=9，y=8，n=3满足条件n4，x=9，y=10，n=4不满足条件n4，退出循环，输出数对（9，10）故选：a点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，y，n的值是解题的关键，属于基础题6已知f（x）=exx，命题p：xr，f（x）（0），则（）ap是真命题，p：x0r，f（x0）0bp是真命题，p：x0r，f（x0）0cp是假命题，p：x0r，f（x0）0dp是假命题，p：x0r，f（x0）0考点： 命题的否定；复合命题的真假专题： 简易逻辑分析： 判断命题的真假，然后利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可解答： 解：f（x）=exx，命题p：xr，f（x）（0），是真命题，它的否定是：x0r，f（x0）0故选：b点评： 本题考查命题的真假的判断，命题的否定，基本知识的考查7若f（x）=sin（2x+），则“f（x）的图象关于x=对称”是“=”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 三角函数的图像与性质；简易逻辑分析： 根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答： 解：若f（x）的图象关于x=对称，则2+=+k，解得=+k，kz，此时=不一定成立，反之成立，即“f（x）的图象关于x=对称”是“=”的必要不充分条件，故选：b点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键8已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=lnx+x，若f（a）=g（b）=h（c）=0，则（）acbabbcacabcdacb考点： 函数的零点专题： 数形结合；函数的性质及应用分析： f（a）=g（b）=h（c）=0即为函数y=2x，y=log2x，y=lnx与y=x的交点的横坐标分别为a，b，c，画出它们的图象，即可得到a，b，c的大小解答： 解：f（a）=g（b）=h（c）=0即为函数y=2x，y=log2x，y=lnx与y=x的交点的横坐标分别为a，b，c，画出它们的图象，由图象可得，acb故选：d点评： 本题考查函数的零点的判断和比较，运用函数和方程的思想和数形结合的思想方法是解题的关键9设平面区域d是由双曲线y2=1的两条渐近线和抛物线y2=8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）d，则的取值范围是（）a1，b1，1c0，d0，考点： 双曲线的简单性质专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先求出双曲线的两条渐近线为，抛物线y2=8x的准线为x=2，结合图象可得在点b（2，1）时，=0，在点o（0，0）时，=1，由此求得目标函数的取值范围解答： 解：双曲线y2=1的两条渐近线为y=，抛物线y2=8x的准线为x=2故可行域即图中阴影部分，（含边界）目标函数z=21中的表示（x，y）与（1，1）连线的斜率，故在点b（2，1）时，=0，在点o（0，0）时，=1，211，1故选：b点评： 本题主要考查抛物线、双曲线的标准方程，以及简单性质，简单的线性规划问题，属于中档题10若对于定义在r上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数（r）使得f（x+）+f（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“特征函数”下列结论中正确的个数为（）f（x）=0是常数函数中唯一的“特征函数”；f（x）=2x+1不是“特征函数”；“特征函数”至少有一个零点；f（x）=ex是一个“特征函数”a1b2c3d4考点： 命题的真假判断与应用专题： 简易逻辑分析： 利用新定义“特征函数”，对a、b、c、d四个选项逐个判断即可得到答案解答： 解：对于，设f（x）=c是一个“特征函数”，则（1+）c=0，当=1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“特征函数”，故不正确；对于，f（x）=2x+1，f（x+）+f（x）=2（x+）+1+（2x+1）=0，即2（+1）x=2，当=1时，f（x+）+f（x）=20；1时，f（x+）+f（x）=0有唯一解，不存在常数（r）使得f（x+）+f（x）=0对任意实数x都成立，f（x）=2x+1不是“特征函数”，故正确；对于，令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）0，f（）f（0）=f（0）20又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根因此任意的“特征函数”必有根，即任意“特征函数”至少有一个零点，故正确对于，假设f（x）=ex是一个“特征函数”，则ex+ex=0对任意实数x成立，则有e+=0，而此式有解，所以f（x）=ex是“特征函数”，故正确故结论正确的是，故选：c点评： 本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解特征函数的概念是关键，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11已知向量与满足|=2，|=，（），则与的夹角为45考点： 平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角专题： 平面向量及应用分析： 直接利用向量垂直的体积转化为数量积为0，然后求解即可解答： 解：向量与满足|=2，|=，（），可得（）=0，即，可得22=0，所以=45故答案为：45点评： 本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力12某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有30种考点： 排列、组合及简单计数问题专题： 排列组合分析： 先不考虑学生甲，乙不能同时参加同一学科竞赛，从4人中选出两个人作为一个元素，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即甲乙两人在同一位置，去掉即可解答： 解：从4人中选出两个人作为一个元素有c42种方法，同其他两个元素在三个位置上排列c42a33=36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有a33种结果，不同的参赛方案共有 366=30，故答案为：30点评： 对于复杂一点的排列计数问题，有时要先整体再部分，有时排列组合和分步计数原理，分类计数原理一起出现，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类13直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于a，b两点（其中a，b是实数），且aob是直角三角形（o是坐标原点），则点p（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为考点： 直线与圆的位置关系专题： 计算题；直线与圆分析： 根据直线和圆的位置关系以及两点间的距离公式即可得到结论解答： 解：aob是直角三角形（o是坐标原点），圆心到直线ax+by=1的距离d=，即d=，整理得a2+2b2=2，则点p（a，b）与点q（1，0）之间距离d=，点p（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为故答案为：点评： 本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力14已知f（n）=sin（nx）dx，若对于r，f（1）+f（2）+f（n）|x+3|+|x1|恒成立，则正整数n的最大值为3考点： 函数恒成立问题；定积分专题： 函数的性质及应用；导数的概念及应用分析： 先根据定积分计算出f（n），再根据绝对值的几何意义求出|x+3|+|x1|的最小值为4，继而得到n的最大值解答： 解：f（n）=sin（nx）dx=cosnx=（coscos0）=，根据绝对值的几何意义，得到|x+3|+|x1|4，对于r，f（1）+f（2）+f（n）|x+3|+|x1|恒成立，+=3+4，正整数n的最大值为3，故答案为：3点评： 本题考查了定积分的计算以及绝对值的几何意义，以及函数恒成立的问题，属于中档题15已知点a，b，c，d均在球o的球面上，ab=bc=1，ac=，若三棱锥dabc体积的最大值是，则球o的表面积为考点： 球内接多面体专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 确定abc=120，sabc=，利用三棱锥dabc的体积的最大值为，可得d到平面abc的最大距离，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球o的表面积解答： 解：设abc的外接圆的半径为r，则ab=bc=1，ac=，abc=120，sabc=，2r=2三棱锥dabc的体积的最大值为，d到平面abc的最大距离为，设球的半径为r，则12=（2r），r=，球o的表面积为4r2=故答案为：点评： 本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定d到平面abc的最大距离是关键三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=2cosxsin（x+）（i）求f（x）的最小正周期；（）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若f（c）=1，sinb=2sina，且abc的面积为2，求c的值考点： 余弦定理；三角函数的周期性及其求法专题： 解三角形分析： （i）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出的值，即可确定出f（x）的最小正周期；（）由f（c）=1确定出c的度数，sinb=2sina利用正弦定理化简得到b=2a，利用三角形面积公式列出关系式，把sinc与已知面积代入求出ab的值，联立求出a与b的值，利用余弦定理求出c的值即可解答： 解：（i）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，=2，f（x）的最小正周期为；（）f（c）=sin（2c+）+=1，sin（2c+）=，2c+，2c+=，即c=，sinb=2sina，b=2a，abc面积为2，absin=2，即ab=8，联立，得：a=2，b=4，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosc=12，即c=2点评： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及三角函数的周期性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键17某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是0，100，样本数据分组为0，20），20，40），40，60），60，80），80，100（i）求直方图中x的值；（）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为x，求x的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）考点： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列专题： 概率与统计分析： （i）由直方图可得：20（x+0.025+0.0065+0.0032）=1，解得x即可（ii）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003220=0.12，即可得出1200个企业中有12000.12个企业可以申请政策优惠（iii）x的可能取值为0，1，2，3，4由（i）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.012520=因此xb（4，），可得分布列为p（x=k）=，（k=0，1，2，3，4），再利用e（x）=4即可得出解答： 解：（i）由直方图可得：20（x+0.025+0.0065+0.0032）=1，解得x=0.0125（ii）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003220=0.12，12000.12=1441200个企业中有144个企业可以申请政策优惠（iii）x的可能取值为0，1，2，3，4由（i）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.012520=0.25=因此xb（4，），分布列为p（x=k）=，（k=0，1，2，3，4），e（x）=4=1点评： 本题考查了频率分布直方图的有关性质、随机变量服从二项分布的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面abcd为一个矩形，其中ab=6，ad=4，顶部线段ef平面abcd，棱ea=ed=fb=fc=6，二面角fbca的余弦值为设m，n分别是ad，bc的中点（i）证明：平面efnm平面abcd；（）求直线bf与平面efcd所成角的正弦值考点： 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角分析： （i）根据线面平行的性质定理推断出efab，又m，n是平行四形abcd两边ad，bc的中点，推断出mnab，进而可知efmn，推断出e，f，m，n四点共面根据fb=fc，推断出bcfn，又bcmn，根据线面垂直的判定定理推断出，bc平面efnm，即可证明平面efnm平面abcd；（）在平面efnm内f做mn的垂线，垂足为h，则由第 （1）问可知：bc平面efnm，则平面abcd平面efnm，进而可知fh平面abcd，又因为fnbc，hnbc，可知二面角fbca的平面角为fnh在rtfnb和rtfnh中，分别求得fn和hn，过h做边ab，cd的垂线，垂足为s，q，建立空间直角坐标系，由此能求出直线bf与平面efcd所成角的正弦值解答： （i）证明：ef平面abcd，且ef平面efab，又平面abcd平面efab=ab，efab，又m，n是平行四形abcd两边ad，bc的中点，mnab，efmn，e，f，m，n四点共面fb=fc，bcfn，又bcab，bcmn，fnmn=n，bc平面efnm，bc平面abcd，平面efnm平面abcd；（）解：在平面efnm内f做mn的垂线，垂足为h，则由第（i）问可知：bc平面efnm，则平面abcd平面efnm，fh平面abcd，又fnbc，hnbc，二面角fbca的平面角为fnh在rtfnb和rtfnh中，fn=，hnhn=fncosfnh=2，fh=8，过h做边ab，cd的垂线，垂足为s，q，以h为坐标原点，以hs，hn，hf方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则f（0，0，8），s（2，0，0），c（2，2，0），d（2，4，0），则=（2，2，8），=（2，2，8），=（0，6，0）设平面efcd的一个法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（4，0，1），设直线bf与平面efcd所成角为，则sin=点评： 本题主要考查了空间点，线面的位置关系，空间的角的计算考查学生的空间想象能力和运算能力属于中档题19已知an满足2nan+1=（n+1）an（nn*），且a1，1，4a3成等差数列（i）求数列an的通项公式；（）若数列an满足bn=sin（an），sn为数列bn的前n项和，求证：对任意nn*，sn2+考点： 数列的求和；数列递推式专题： 等差数列与等比数列分析： （i）2nan+1=（n+1）an（nn*），当n=1时，a2=a1；当n=2时，4a3=3a2由a1，1，4a3成等差数列，解得a1由2nan+1=（n+1）an，可得，利用等比数列的通项公式即可得出；（ii）证明：bn=sin（an）=，利用当x时，sinxx，可得sn2+，令t=+，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出解答： （i）解：2nan+1=（n+1）an（nn*），当n=1时，2a2=2a1，即a2=a1；当n=2时，4a3=3a2a1，1，4a3成等差数列，2=a1+4a3，2=a1+3a1，解得a1=由2nan+1=（n+1）an，可得，数列是首项为，公比为的等比数列，an=（ii）证明：bn=sin（an）=，sn=1+1+，当x时，sinxx，sn2+，令t=+，t=+=+，化简可得：t=sn2+点评： 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知函数f（x）=a（x1）2+lnx+1（）当a=时，求函数f（x）的极值；（）当x1，+）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围考点： 利用导数研究函数的极值专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用分析： （）当时，求导；从而求极值；（）原题意可化为当x1，+）时，不等式f（x）x恒成立，即a（x1）2+lnxx+10恒成立；设g（x）=a（x1）2+lnxx+1（x1），求导=；从而求a解答： 解：（）当时，；由f（x）0解得0x2，由f（x）0解得x2；故当0x2时，f（x）单调递增；当x2时，f（x）单调递减；所以当x=2时，函数f（x）取得极大值；（）因f（x）图象上的点在所表示的平面区域内，即当x1，+）时，不等式f（x）x恒成立，即a（x1）2+lnxx+10恒成立；设g（x）=a（x1）2+lnxx+1（x1），只需g（x）max0即可；由=；（）当a=0时，当x1时，g（x）0，函数g（x）在（1，+）上单调递减，故g（x）g（1）=0成立；（）当a0时，由，令g（x）=0，得x1=1或；若，即时，在区间（1，+）上，g（x）0，函数g（x）在（1，+）上单调递增函数，g（x）在1，+）上无最大值，不满足条件；若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在1，+）上无最大值，不满足条