【全程复习方略】（广东专用）高考数学 第六章 第七节 数学归纳法课时作业 理 新人教A版.doc

【全程复习方略】（广东专用）2014年高考数学 第六章 第七节 数学归纳法课时作业 理 新人教a版一、选择题1.在用数学归纳法证明凸n边形内角和定理时,第一步应验证()(a)n=1时成立(b)n=2时成立(c)n=3时成立(d)n=4时成立2.已知n是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k2且为偶数)时命题为真,则还需证明()(a)n=k+1时命题成立(b)n=k+2时命题成立(c)n=2k+2时命题成立(d)n=2(k+2)时命题成立3.(2013河源模拟)某个命题与正整数n有关,若n=k(kn*)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得()(a)n=6时该命题不成立(b)n=6时该命题成立(c)n=4时该命题不成立(d)n=4时该命题成立4.(2013岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1+(nn*)成立,其初始值至少应取()(a)7(b)8(c)9(d)105.设sk=+,则sk+1=()(a)sk+(b)sk+(c)sk+-(d)sk+-6.用数学归纳法证明+(nn0,n0n*),则n的最小值等于()(a)1(b)2(c)3(d)47.(2013潍坊模拟)对于不等式n+1(nn*),某同学的证明过程如下:(1)当n=1时,1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k1,kn*)时,不等式成立,即k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式也成立.对于上述证法,()(a)过程全部正确(b)n=1时验证不正确(c)归纳假设不正确(d)从n=k到n=k+1的推理不正确8.(能力挑战题)已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nn*,f(n)都能被m整除,则m的最大值为()(a)18(b)36(c)48(d)54二、填空题9.(2013洛阳模拟)用数学归纳法证明1+1)时,第一步应验证的不等式是.10.用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+(n+n)=(nn*)的第二步中,当n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于.11.若数列an的通项公式an=,记cn=2(1-a1)(1-a2)(1-an),试通过计算c1,c2,c3的值,推测cn=.12.已知f(n)=1+(nn*),用数学归纳法证明f(2n)时,f(2k+1)-f(2k)等于.三、解答题13.用数学归纳法证明:+=(nn*).14.用数学归纳法证明不等式:+(nn*且n1).15.(能力挑战题)设f(n)=1+.是否存在关于正整数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+f(n-1)=g(n)f(n)-1对于n2的一切正整数都成立?证明你的结论.答案解析1.【解析】选c.凸多边形至少有三边,所以应验证n=3时成立.2.【解析】选b.因n是正偶数,故只需证等式对所有偶数都成立,因k的下一个偶数是k+2,故选b.3.【解析】选c.由n=k(kn*)成立,可推得当n=k+1时该命题也成立.因而若n=4成立,必有n=5成立.现知n=5不成立,所以n=4一定不成立.4.【思路点拨】用等比数列的前n项和求出不等式的左边,解不等式即可得到初始值.【解析】选b.1+=,整理得2n128,解得n7,所以初始值至少应取8.5.【解析】选c.由已知得sk=+,sk+1=+,因此sk+1=sk+-.6.【解析】选c.当n=1时,左边=1,右边=11=1,不等式不成立;当n=2时,左边=+=3,右边=2,不等式不成立,当n=3时,左边=7,右边=9,不等式成立,当n=4时,左边=15,右边=16,不等式成立,所以n的最小值等于3.7.【解析】选d.从n=k到n=k+1的推理时没有运用归纳假设,因此证明不正确.8.【思路点拨】先求出当n=1,2,3时f(n)的值,由此猜想m的最大值,再用数学归纳法证明结论成立.【解析】选b.由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除,猜想f(n)能被36整除,即m的最大值为36.当n=1时,可知猜想成立.假设当n=k(k1,kn*)时,猜想成立,即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除;当n=k+1时,f(k+1)= (2k+9)3k+1+9=(2k+7)3k+9+36(k+5)3k-2,因此f(k+1)也能被36整除,故所求m的最大值为36.9.【解析】由条件知n的第一个值为2,所以第一步应验证的不等式是1+2.答案:1+,不等式成立.(2)假设当n=k(k2,kn*)时,不等式成立,则+,则当n=k+1时,左边=+=+-+-.当n=k+1时,不等式成立,根据(1)(2)知,原不等式对nn*且n1都成立.15.【解析】当n=2时,得g(2)=2,当n=3时,得g(3)=3,猜想g(n)=n(n2,nn*).用数学归纳法证明猜想成立.(1)当n=2时,左边=f(1)=1,右边=2f(2)-1=1,左边=右边,所以等式成立.(2)假设当n=k(k2,kn*)时等式成立,即f(1)+f(2)+f(k-1)=g(k)f(k)-1,那么当n=k+1时,f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)-1+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)f(k+1)-k=(k+1)f(k+1)-1,也就是说当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知,等式对n2的一切正整数都成立.故存在关于正整数n的函数g(n)=n,使等式对n2的一切正整数都成立.【变式备选】已知函数f(x)=x3-x,数列an满足条件:a11,an+1f(an+1).试比较+与1的大小,并说明理由.【解析】+23-1,由此猜想:an2n-1.下面用数学归纳法证明这个猜想:当n=1时,a121-1=1,结论成立;假设n=k(k1且kn*)时结论成立,即ak2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间1,+)上单调递增知,ak+1(ak+1)2-122k-12k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.由知,对任意nn*,都有an2