八年级数学上册 第12章 证全等的辅助线作法（第7课时）学案 （新版）新人教版.doc

证全等的辅助线作法一、学习目标1掌握全等三角形中常见辅助线的添加方法；2提高解决实际问题的能力二、知识回顾找全等三角形的方法（1） 可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能相等的三角形中；（2） 可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3） 可以从条件和结论综合考虑，看他们能确定哪两个三角形全等；（4） 若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形三、新知讲解三角形中常见辅助线的作法：（1）连接两点构造全等三角形例如：已知，ac、bd相交于o点，且ab=dc，ac=bd，求证：a=d分析：要证a=d，可证它们所在的三角形abd和dco全等，而只有ab=dc和对顶角两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由ab=dc，ac=bd，如连接bc，则abd和dco全等，所以，证得a=d（2）作倍长中线构造全等三角形若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”例如：如下图：ad为 abc的中线，求证：ab+ac2ad分析：要证ab+ac2ad，由图想到：ab+bdad，ac+cdad，所以有ab+ac+ bd+cd ad +ad=2ad，左边比要证结论多bd+cd，故不能直接证出此题，而由2ad想到要构造2ad，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去因此，可作辅助线：延长ad至e，使de=ad，连接be，ce（3）截长补短构造全等三角形在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目例如：如图，abc中，ab=2ac，ad平分bac，且ad=bd，求证：cdac解析：（截长法）在ab上取中点f，连fdadb是等腰三角形，f是底ab中点，由三线合一知：dfab，故afd90adfadc（sas）acdafd90，即：cdac（4）平移法过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例如：如图，abc中，ab=ac，e是ab上一点，f是ac延长线上一点，连ef交bc于点d，若eb=cf求证：de=df分析：因为de，df所在的两个三角形deb与dfc不可能全等，又知eb=cf，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换，过点e作egcf，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1连接两点证全等（连公共边构造全等）【例1】如图，在四边形abcd中，abcd， adbc，求证：dc=ab，ad=bc总结：四边形问题通常要转化成三角形问题求解，常作辅助线是连接对角线练1已知：如图，ac、bd相交于o点，且ab=cd，ac=bd，求证：a=d2倍长中线证全等（利用中点、中线构造全等）【例2】如图，在abc中，ab=5，ac=3，则中线ad的取值范围是_总结：“倍长中线”的实质是用“sas”构造全等，其中延长中线得到相等的边和对顶角在遇到中点或中线时，通常用这种方法练2如图，abc中，e、f分别在ab、ac上，dedf，d是中点，试比较be+cf与ef的大小3截长法或补短法证全等【例3】如图，已知在abc内，bac=60，c=40，p，q分别在bc，ca上，并且ap，bq分别是bac，abc的角平分线求证：bq+aq=ab+bp总结：1. 截长法：在长边上截取一条与某一短边相同的线段；证剩下的线段与另一短边相等2. 补短法：延长短边；通过旋转等方式使两短边拼合在一起练3如图，adbc，ea，eb分别平分dab，cba，cd过点e，求证：abad+bc五、课后小测一、解答题1如图，abc中，bd=dc=ac，e是dc的中点，求证：ad平分bae2如图，在四边形abcd中，bcba，adcd，bd平分abc，求证：a+c=1803如图在abc中，abac，12，p为ad上任意一点，求证：ab-acpb-pc4如图2，ad为abc的角平分线，abac，求证：ab-acbd-dc5如图，abc是边长为3的等边三角形，bdc是等腰三角形，且bdc=120，以d为顶点做一个60角，使其两边分别交ab于点m，交ac于点n，连接mn，求amn的周长典例探究答案：【例1】【解析】可连接bd，证明adbcbd，进而获得结论证明：如图，连接bdabcd， adbc，1=2，3=4在adb和cbd中，adebcbd（asa）dc=ab，ad=bc练1【解析】根据已知条件证不出全等三角形，也证不出a=d连接bc，在abc和dbc中，ab=cd（已知），ac=bd（已知），bc=bc（公共边），abcdbca=d【例2】【解析】延长ad至e使ae2ad，连接be，cead=de（作图）adc=edb（对顶角）cd=bd（d是中点）adcedb（sas）be=ac=3由三角形三边关系知：ab-be 2adab+be ，即22ad8，故ad的取值范围是1ad4练2【解析】(倍长中线)延长fd至g使fg2df，连bg，eg；由sas可证：fcdgbd，fdgd，在efd和egd中，ed=ed（公共边）edf=edg=90（dedf）fdgd（已证）efdegdegef在beg中，由三角形性质知egbg+be，故：efbe+fc【例3】【解析】证明：(补短法)延长ab至d，使bd=bp，连接dp，在等腰三角形bpd中，可得bdp=40，从而bdp=40=acp，在adp和acp中，adpacp(aas)ad=ac，又qbc=40=qcb，故bq=qcbd=bp，bq+aq=ab+bp练3【解析】证明：（截长法）在ab上取点f，使afad，连fe，adeafe（sas）adeafe，ade+bce180afe+bfe180故ecbefbfbecbe（aas）故有bfbc从而：abad+bc课后小测答案：一、解答题1【解析】证明：延长ae至g使ag2ae，连bg，dg，显然dgac，gdc=acd，由于dc=ac，故adc=dac在adb与adg中，bdac=dg，adad，adb=adc+acd=adc+gdcadg，故adbadg，故有bad=dag，即ad平分bae2【解析】（补短法）延长ba至f，使bfbc，连fd，bdfbdc（sas）故dfbdcb，fddc又adcd故在等腰bfd中dfbdaf故有bad+bcd1803【解析】（补短法）延长ac至f，使afab，连pd，abpafp（sas）故bppf，由三角形性质知：pbpcpfpc bd-de，ab-acbd-dc点评：本题借助角平分线，在角的两边截取相同的线段构造“sas”形式的全等三角形，使得问题顺利得解对线段和差问题，常用截长补短法5【解析】(图形补全法， “截长法”或“补短法”， 计算数值法) ac的延长线与bd的延长线交于点f，在线段cf上取点e，使cebmabc为等边三角形，bcd为等腰三角形，且bdc=120，mbd=mbc+dbc=60+30=90，dce=180-acd=180-abd=90，又bm=ce，bd=cd，cdebdm，cde=bdm，de=dm，nde=ndc+cde=ndc+bdm=bdc-md