全国高中数学竞赛二试模拟训练题(37)(1).doc

加试模拟训练题（37）1、 圆o内切于四边形abcd，与不平行的两边bc、ad分别切于e、f点设直线ao与线段ef相交于k点，直线do与线段ef相交于n点，直线bk与直线cn相交于m点证明：o、k、m和n四点共圆2、 求证：不存在这样一个函数f：n0n0，n00，1，2，3，n，使得对于任何nn0，ff(n)n19873、 将88方格纸板的一角剪去一个22正方形，问余下的60个方格能否剪成15块形如 的小纸片？4、 方程是否有解。5、 设是区间2，100中的整数，证明存在正整数n使得是合数.加试模拟训练题（37）1、 圆o内切于四边形abcd，与不平行的两边bc、ad分别切于e、f点设直线ao与线段ef相交于k点，直线do与线段ef相交于n点，直线bk与直线cn相交于m点证明：o、k、m和n四点共圆【题说】 第二十届(1994年)全俄数学奥林匹克十年级题3【证】 设内切圆o切ab于p点，连结op及pe，则aopfep且都等于的一半，所以o、k、e、p四点共圆.因为opboeb90，所以o、p、e在以ob为直径的圆周上从而k点也在这个圆周上所以bko90同理可证cno90于是onmokm180所以o、k、m和n四点共圆 2、 求证：不存在这样一个函数f：n0n0，n00，1，2，3，n，使得对于任何nn0，ff(n)n1987【题说】第二十八届(1987年)国际数学奥林匹克题4本题由越南提供【证】假设存在这样的函数f，则有f(n1987)fff(n)f(n)1987用归纳法可得 f(n1987m)f(n)1987m(mz)令i，j0，1，2，1986m若f(i)j(mod 1987)设jf(i)1987k，则有f(j)ff(i)1987kff(i)i(mod 1987)因m的元素个数为奇数，故总存在nn，使f(n)n(mod 1987)设f(n)n1987k(kz)，则ff(n)f(n1987k)f(n)1987kn19872k(kz)由题设ff(n)n1987，所以2k1矛盾3、 将88方格纸板的一角剪去一个22正方形，问余下的60个方格能否剪成15块形如 的小纸片？【题说】 第四届(1989年)东北三省数学邀请赛二试题3【解】 如图a，在余下的60个方格中填上1与1，从左到右每列正负相间显然任一块剪下的纸片中，四个数的和为2或2若能剪成15块，设其中和为2的有x块，和为一2的有y块，则这方程组的唯一解xy152不是整数，这就表明不可能剪成15块所述形状的纸片【别解】 若将小方格如图b填上1和1，则任一块剪下的纸片中数字之和为1或1于是15块数字总和不为0，但整个图b数字之和为0矛盾4、 方程是否有解。解 因为，所以。现将x de 小数部分以2为基表示，则由上式可得，上式相加得所以所以，方程无解。应用问题 满足的三元有序无理数组称为平衡的，如果对于每个i都有。如果存在某个j使得称为不平衡的。可以进行如下平衡化操作如果新的三元数组是不平衡的，再次进行平衡化操作。进行有限次操作后是否总能得到平衡的三元数组。5、 设是区间2，100中的整数，证明存在正整数n使得是合数.证 如果x=y，令n=1，则是一个大于2的偶数，故为合数。假设，下面证明存在正整数n，使得是257的倍数，且不等于257。设=257，令。如果，这与条件x,y都大于1矛盾。下面只需要证明存在正整数n，使得是257的倍数。事实上，由于与257互素，故存在正整数q,使