河南省安阳县高中数学最新学案 第2章 第15、16课时 数列复习课（学生版） 新人教A版必修5.doc

第15、16课时数列复习课(2课时)【学习导航】知识网络 【自学评价】（一）数列的概念数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。数列的通项公式。求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是 （二）等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质1.等差数列(1)定义 (2)通项公式=+（ ）d=+（ ）d=+-d(3)求和公式(4)中项公式a= 推广：2= (5)性质若m+n=p+q则 若成a.p（其中）则也为a.p。 成 数列。2.等比数列(1)定义(2)通项公式(3)求和公式(4)中项公式。推广： (5)性质若m+n=p+q，则 学习札记若成等比数列 （其中），则成等比数列。 3. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法: (2)通项公式法。(3)中项公式法: 4. 在等差数列中,有关sn 的最值问题：(1)当0,d0时，满足的项数m使得取 。 (2)当0时，满足的项数m使得取 。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2. :适用于其中 是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3. :适用于其中是等差数列，是各项不为0的等比数列。4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法。5.常用结论1） 1+2+3+.+n = 2）1+3+5+.+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 【精典范例】一 函数方程思想在研究数列问题中的运用【例1】（1）首项为正数的等差数列a，其中s=s，问此数列前几项和最大？（2）等差数列a中，s=100，s=300，求s。（3）等差数列的公差不为0，a=15,a,a,a成等比数列，求s。【解】 学习札记二 求数列的通项公式1. 观察法观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。【例2】写出下面各数列的一个通项公式（1），；（2）1，；（3）；（4）21，203，2005，20007，；（5）0.2,0.22,0.222,0.2222,；（6）1，0，1，0，；（7）1，【解】2用心 爱心 专心【例3】已知下列各数列a的前n项和s的公式，求a的通项公式。（1） s=101；（2）s=10+1；【解】评析 已知a的前n项和s求a时应注意以下三点：(1)应重视分类类讨论的应用，要先分n=1和n2两种情况讨论，特别注意由ss= a推导的通项a中的n2。(2)由ss= a，推得的a且当n=1时，a也适合“a式”，则需统一“合写”。(3)由ss= a推得的a，当n=1时，a不适合“a式”，则数列的通项应分段表示（“分号”），即 如本例中（2），（3）。请观察本例中（1）与（2）的差异及联系。2. 累差法若数列a满足aa=f(n)(n),其中f(n)是易求和数列，那么可用累差法求a。【例4】求数列1，3，7，13，21，的一个通项公式。【解】学习札记3. 累商法若数列a满足=f(n)( n),其中数列f(n)前n项积可求，则可用累商法求a.【例5】在数列a中，a=2，a= a,求通项a。【解】 4. 构造法直接求通项a较难求，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项a。【例6】各项非零的数列a，首项a=1,且2s=2asa,n2,求数列的通项a。【解】 三 数列求和数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法。1.公式法能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方法。【例7】数列a的通项a=nn，求前n项和s。【解】2.倒序求和法3.错项求和法【例8】求和s=+。请你独立完成，相信你会有更深的体会。4.裂拆项法【例9】在数列a中，a=10+2n1,求s【解】 学习札记【例10】已知数列a：，求它的前n项和。【解】 四、等差、等比数列的综合问题【例11】已知数列的前n项和=4+2(nn)，a=1.(1)设=-2,求证：数列为等比数列，(2)设cn=,求证：是等差数列. 【解】 【例12】在等比数列中，求的范围.【解】 【例13】设, 都是等差数列，它们的前n项和分别为, , 已知,求；【解】 【追踪训练】1一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项。学习札记2已知, a, , , , 构成一等差数列，其前n项和为n, 设, 记的前n项和为, (1) 求数列的通项公式；(2) 证明：1.3已知等差数列的前n项和为，, 且,21, (1) 求数列bn的通项公式；(2)