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第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1.集合中元素的三个特性：( ) 2.集合的表示方法：列举法与描述法。1） 列举法：a,b,c2） 描述法： xR| x-32 ,x| x-32二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相等”关系：A=B (55，且55，则5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同时 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算1.并集2.交集3补集检测题1： 1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.若集合M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0，则M与N的关系是 .4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若BC，AC=，求m的值四、函数的有关概念1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数为零底不可以等于零， (5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.u 相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)补充：复合函数：如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。u 复合函数的定义域练习1求定义域 （1） （2）设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ （3）若函数的定义域为，则函数的定义域是 2值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法（一元二次函数 ） (3) 图像法（分段函数一般用） (4)换元法（含根式） (5)分离常数法（分式） （6）单调性法 (7)判别式法 练习2.求值域 (3) (4)3. 函数图象知识归纳A、 描点法：列表-描点-连线B、 图象变换法1) 平移变换：2) 伸缩变换：3) 对称变换： 其他：4区间的概念（左端点小于右端点）5映射： 对于映射f：A（原象）B（象）来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况(注意端点是否包含在内，不重不漏) (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集练习3：画的图像 ，若，则= 二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数：（2）减函数：（3）图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (4)函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法： 任取x1，x2D，且x10时，f(x)1,则需构造某自变量大于0. 解含“f”的不等式，据其单调性。例4： 8函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数：（2）奇函数：（3）图象：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；确定f(x)与f(x)的关系；作出结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)f(x)=0或f(x)f(-x)=1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .（4）奇偶性的应用(A)求函数值。例 5：(B)求解析式。例 6：(C)解抽象不等式. 例7：(D) 画函数图像. 例 8：（5）单调性与奇偶性：例 9：练习5.（1）设是R上的奇函数，且当时,则 在R上的解析式为 （2）设函数判断它的奇偶性并且求证：.（3）9、函数的解析式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法 、替换法、待定系数法（已知函数类型）、换元法、解方程组消元法（式中有f(x)和f(1/x)）练习6. （1）已知函数，求函数，的解析式.（2）已知函数满足，则= 。10函数最大（小）值-方法与求值域类似（勿忘定义域） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；二次函数的区间最值求法： 利用图象求函数的最大（小）值 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；练习7第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中1，且*u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。 当是奇数时，当是偶数时， 例10：2分数指数幂例11：u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义转换：例 12：3实数指数幂的运算性质；（1）（2）（3）4.指数运算的变形技巧：逆用公式、公式变形、整体替换、化异为同、化负为正双重根号。例13：（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（系数为1），其中x是自变量，函数的定义域为R（底数不能是负数、零和1）2、指数函数的图象和性质a10a10a0，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )2.计算： ;= ；= ; = 3.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为 4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a= 5.已知，（1）求的定义域（2）求使的的取值范围第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点例 25：4、二次函数的零点：二次函数（1），方程有两不等实根，二次